88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 5/פתרון - היסטוריית גרסאות

OfirSh ב־09:18, 17 ביוני 2012

2012-06-17T09:18:08Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:18, 17 ביוני 2012
שורה 56:		שורה 56:

	מתקיימים כל התנאים כדי שההתכנסות במ"ש הזו, תגרור את ההתכנסות במ"ש של הסדרה המקורית.		מתקיימים כל התנאים כדי שההתכנסות במ"ש הזו, תגרור את ההתכנסות במ"ש של הסדרה המקורית.


			==2.==

			הופיע במבחן באונ' ת"א:
			[http://math-wiki.com/images/2/2c/11Infi2TestsSolsOri.pdf 2008, מועד ב' (סודין)]

			==3.==

			הופיע במבחן באונ' ת"א:
			[http://math-wiki.com/images/2/2c/11Infi2TestsSolsOri.pdf עמוד 10 שאלה 5]

			==4.==

			התרגיל כולו מופיע ב[http://math-wiki.com/images/0/0c/09Infi2sol10.pdf תרגיל 10].

OfirSh: /* ד */

2012-06-17T09:08:17Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:08, 17 ביוני 2012
שורה 52:		שורה 52:

	<math>f'_{n}(x)=arctan(nx)+\frac{nx}{1+(nx)^{2}}</math>, מספיק נשראה שכל אחד מהמחוברים מתכנס במ"ש בקטע <math>[1, \infty)</math>.		<math>f'_{n}(x)=arctan(nx)+\frac{nx}{1+(nx)^{2}}</math>, מספיק נשראה שכל אחד מהמחוברים מתכנס במ"ש בקטע <math>[1, \infty)</math>.

			מכאן, מראים שהפוקנציות מונוטוניות יורדות בקטע ואז משתמשים במבחן הlimsup.

			מתקיימים כל התנאים כדי שההתכנסות במ"ש הזו, תגרור את ההתכנסות במ"ש של הסדרה המקורית.

OfirSh: יצירת דף עם התוכן "== 1. == ברמת העיקרון חלקים מהשאלה הופיעו בתרגיל 10 משנה שעברה. ===א=== מופיע ב[http://math-wiki.com/images/0/0c..."

2012-06-17T06:05:28Z

יצירת דף עם התוכן "== 1. == ברמת העיקרון חלקים מהשאלה הופיעו בתרגיל 10 משנה שעברה. ===א=== מופיע ב[http://math-wiki.com/images/0/0c..."

דף חדש

== 1. ==

ברמת העיקרון חלקים מהשאלה הופיעו בתרגיל 10 משנה שעברה.

===א===
מופיע ב[http://math-wiki.com/images/0/0c/09Infi2sol10.pdf תרגיל הבית]

===ב===

קל להבחין כי לכל x בתחום מתקיים: <math>\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}sin(e^{n}x)=0</math>. (חסומה כפול 0)

נראה שההתכנסות הינה במ"ש באמצעות מבחן הlimsup:

<math>0\leq \lim_{n \to \infty} \text{sup}|\frac{sin(e^{n}x)}{n}-0|\leq \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0</math>

ולכן סדרת הפונקציות מתכנסת במ"ש ל0.

===ג===

<math>\lim_{n \to \infty}nsin(\frac{x}{n})=\lim_{n \to \infty}\frac{sin(\frac{x}{n})}{\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty}x\frac{sin(\frac{x}{n})}{\frac{x}{n}}=x</math>

לכן סדרת הפונקציות מתכנסת ל<math>f(x)=x</math>.

נראה שההתכנסות אינה במ"ש. נניח בשלילה ששהתכנסות במ"ש, אז מכיוון שמדובר בסדרה של פונקציות אינטגרביליות אמור להתקיים:

<math>\int_{0}^{x}nsin(\frac{t}{n})dt \to \int_{0}^{x}tdt</math> כאשר <math>n \to \infty</math>, ואפילו במ"ש.

אולם מתקיים,

<math>\int_{0}^{x}nsin(\frac{t}{n})dt=n^{2}cos(\frac{x}{n})-n^{2} \to 0\neq \int_{0}^{x}tdt=\frac{x^{2}}{2}</math>

ולכן מתקבלת סתירה להנחה שההתכנסות הינה במ"ש.

===ד===
מופיע ב[http://math-wiki.com/images/0/0c/09Infi2sol10.pdf תרגיל הבית].

'''דרך אלטרנטיבית:'''

ראשית, נבדוק את ההתכנסות הנקודתית: <math>\lim_{n \to \infty}x \cdot arctan(nx)=\frac{\pi}{2} x</math>.

על מנת להוכיח את ההתכנסות במידה שווה, נפצל את הבדיקה לשני קטעים: <math>[1, \infty),[0,1]</math>.

'''בקטע הסגור,''' נוכל להפעיל את [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%93%D7%99%D7%A0%D7%99 משפט דיני] (בדקו שכל התנאים אכן מתקיימים!).

'''בקטע הפתוח שנותר,''' נביט בסדרת הנגזרות ונוכיח שהיא מתכנסת במ"ש.

<math>f'_{n}(x)=arctan(nx)+\frac{nx}{1+(nx)^{2}}</math>, מספיק נשראה שכל אחד מהמחוברים מתכנס במ"ש בקטע <math>[1, \infty)</math>.