88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 5 - היסטוריית גרסאות

אריאל: /* תרגיל */

2021-07-27T14:49:53Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:49, 27 ביולי 2021
שורה 113:		שורה 113:
	יהיו <math>X=\mathbb{Z}, Y=\{0\}</math>. אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן <math>g(\{\})\neq g(\{0\})</math> ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y.		יהיו <math>X=\mathbb{Z}, Y=\{0\}</math>. אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן <math>g(\{\})\neq g(\{0\})</math> ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y.

	==== תרגיל ====		==== תרגיל (בהרצאה בד"כ) ====
	תהיינה A,B קבוצות לא ריקות. הוכיחו כי:		תהיינה A,B קבוצות לא ריקות. הוכיחו כי:
	# אם קיימת <math>f:A\to B</math> חח"ע אזי קיימת <math>g:B\to A</math> על.		# אם קיימת <math>f:A\to B</math> חח"ע אזי קיימת <math>g:B\to A</math> על.

אריאל: /* תרגיל */

2021-07-27T14:48:15Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:48, 27 ביולי 2021
שורה 24:		שורה 24:

	==== תרגיל ====		==== תרגיל ====
	הוכיחו/הפריכו: תהי f פונקציה <math>f:X \to Y</math> ותהיינה <math>A,B \subseteq Y</math>. אזי		הוכיחו/הפריכו: תהי f פונקציה <math>f:X \to Y</math> ותהיינה <math>Z,W\subseteq X, A,B \subseteq Y</math>. אזי
	# <math>f^{-1}[A]\cap f^{-1}[B]=f^{-1}[A\cap B]</math>		# <math>f^{-1}[A]\cap f^{-1}[B]=f^{-1}[A\cap B]</math>
	# <math>f^{-1}[A]\cup f^{-1}[B]=f^{-1}[A\cup B]</math>		# <math>f^{-1}[A]\cup f^{-1}[B]=f^{-1}[A\cup B]</math>
	# <math>f^{-1}[A\setminus B]=f^{-1}[A]\setminus f^{-1}[B]</math>		# <math>f^{-1}[A\setminus B]=f^{-1}[A]\setminus f^{-1}[B]</math>
			# <math>f^{-1}[A]\triangle f^{-1}[B]=f^{-1}[A\triangle B]</math>
			# <math>f[Z]\triangle f[W]=f[Z\triangle W]</math>

	פתרון: תחשבו		פתרון: תחשבו. עדיף את שני האחרונים, כי הראשונים לפעמים נעשים בהרצאה.

	====תרגיל====		====תרגיל====

גלעד997: /* תרגיל */

2019-08-06T10:22:10Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:22, 6 באוגוסט 2019
שורה 112:		שורה 112:

	==== תרגיל ====		==== תרגיל ====
	~~תהא~~ <math>f:A\to B</math> ~~פונקציה בין קבוצות לא ריקות. הוכיחו כי~~		תהיינה A,B קבוצות לא ריקות. הוכיחו כי:
	~~# אם f~~ חח"ע אזי קיימת <math>g:B\to A</math> על.		# אם קיימת <math>f:A\to B</math> חח"ע אזי קיימת <math>g:B\to A</math> על.
	# ~~במידה ו~~ A,B סופיות: f חח"ע אמ"מ <math>\|A\|\leq \|B\|</math>		# אם A,B סופיות: קיימת <math>f:A\to B</math> חח"ע אמ"מ <math>\|A\|\leq \|B\|</math>
	# ~~במידה ו~~ A,B סופיות: f על אמ"מ <math>\|B\|\leq \|A\|</math>		# אם A,B סופיות: קיימת <math>f:A\to B</math> על אמ"מ <math>\|B\|\leq \|A\|</math>

	=== פונקציות המכבדות יחס שקילות ===		=== פונקציות המכבדות יחס שקילות ===

Relweiz: /* תרגיל */

2019-07-31T08:18:57Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:18, 31 ביולי 2019
שורה 171:		שורה 171:
	'''אזהרה!''' ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך)		'''אזהרה!''' ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך)
	==== תרגיל ====		==== תרגיל ====
	תהיינה <math>f:A\to B, g:B\to C</math> פונקציות כך ש <math>g\circ f</math> חח"ע. הוכיחו כי <math>g\|_{~~Img~~(f)}</math> חח"ע.		תהיינה <math>f:A\to B, g:B\to C</math> פונקציות כך ש <math>g\circ f</math> חח"ע. הוכיחו כי <math>g\|_{Im(f)}</math> חח"ע.

	הוכחה: אם ~~מצמצם~~ את הטווח והתחום של הפונקציות, <math>f':A\to ~~Img~~(f), g\|_{~~Img~~(f)}:~~Img~~(f):\to C</math>, נקבל כי <math>g\circ f=g\|_{~~Img~~(f)}\circ f'</math> חח"ע ובנוסף <math>f'</math> חח"ע ועל. מכאן ש <math>g\|_{~~Img~~(f)}=g\circ f\circ f'^{-1}</math> חח"ע כהרכבה של חח"ע.		הוכחה: אם נצמצם את הטווח והתחום של הפונקציות, <math>f':A\to Im(f), g\|_{Im(f)}:Im(f)\to C</math>, נקבל כי <math>g\circ f=g\|_{Im(f)}\circ f'</math> חח"ע ובנוסף <math>f'</math> חח"ע ועל. מכאן ש <math>g\|_{Im(f)}=g\circ f\circ f'^{-1}</math> חח"ע כהרכבה של חח"ע.

Relweiz: /* תרגיל */

2019-07-31T07:54:18Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:54, 31 ביולי 2019
שורה 57:		שורה 57:
	דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1,2\}\to \{1\}</math> (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר <math>A=\{2\}</math> ומתקיים <math> f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A</math>		דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1,2\}\to \{1\}</math> (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר <math>A=\{2\}</math> ומתקיים <math> f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A</math>

	===תרגיל===		===תרגיל (בXI)===
	תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq Y</math>. הוכח <math> f(f^{-1}(A)) \subseteq A</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> על		תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq Y</math>. הוכח <math> f(f^{-1}(A)) \subseteq A</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> על

שורה 69:		שורה 69:

	דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1\}\to \{1,2\}</math> המוגדרת <math>1\mapsto 1</math>. אזי נגדיר <math>B=\{1,2\}</math> ומתקיים <math> f(f^{-1}(B)) =\{1\}\neq B</math>.		דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1\}\to \{1,2\}</math> המוגדרת <math>1\mapsto 1</math>. אזי נגדיר <math>B=\{1,2\}</math> ומתקיים <math> f(f^{-1}(B)) =\{1\}\neq B</math>.



	===תרגיל ממבחן (קצת משודרג)===		===תרגיל ממבחן (קצת משודרג)===

Relweiz: /* תרגיל */

2019-07-31T07:53:58Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:53, 31 ביולי 2019
שורה 44:		שורה 44:
	'''הערה''' הטענה נכונה אם <math>f</math> חח"ע. הוכיחו!		'''הערה''' הטענה נכונה אם <math>f</math> חח"ע. הוכיחו!

	===תרגיל===		===תרגיל (בהרצאה בד"כ)===
	תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הוכח <math>A \subseteq f^{-1}(f(A))</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> חח"ע		תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הוכח <math>A \subseteq f^{-1}(f(A))</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> חח"ע

שורה 56:		שורה 56:

	דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1,2\}\to \{1\}</math> (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר <math>A=\{2\}</math> ומתקיים <math> f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A</math>		דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1,2\}\to \{1\}</math> (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר <math>A=\{2\}</math> ומתקיים <math> f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A</math>


	===תרגיל===		===תרגיל===

אחיה בר-און: /* תרגיל ממבחן (קצת משודרג) */

2019-07-30T11:58:46Z

תרגיל ממבחן (קצת משודרג)

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:58, 30 ביולי 2019
שורה 80:		שורה 80:
	'''פתרון.'''		'''פתרון.'''

	1.(ב XI) ''' f על אמ"מ g חח"ע '''		1. נמצא ב XI הטענה ''' f על אמ"מ g חח"ע '''
	בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח <math>f^{-1}(B)=g(B)=g(A)=f^{-1}(A)</math> נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על) <math>B=f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(A))=A</math>		בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח <math>f^{-1}(B)=g(B)=g(A)=f^{-1}(A)</math> נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על) <math>B=f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(A))=A</math>

אחיה בר-און: /* תרגיל ממבחן (קצת משודרג) */

2019-07-30T11:57:47Z

תרגיל ממבחן (קצת משודרג)

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:57, 30 ביולי 2019
שורה 80:		שורה 80:
	'''פתרון.'''		'''פתרון.'''

	1. ''' f על אמ"מ g חח"ע '''		1.(ב XI) ''' f על אמ"מ g חח"ע '''
	בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח <math>f^{-1}(B)=g(B)=g(A)=f^{-1}(A)</math> נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על) <math>B=f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(A))=A</math>		בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח <math>f^{-1}(B)=g(B)=g(A)=f^{-1}(A)</math> נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על) <math>B=f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(A))=A</math>

שורה 118:		שורה 118:
	# אם f חח"ע אזי קיימת <math>g:B\to A</math> על.		# אם f חח"ע אזי קיימת <math>g:B\to A</math> על.
	# במידה ו A,B סופיות: f חח"ע אמ"מ <math>\|A\|\leq \|B\|</math>		# במידה ו A,B סופיות: f חח"ע אמ"מ <math>\|A\|\leq \|B\|</math>
	# במידה ו A,B סופיות: f על אמ"מ <math>\|B\|\leq \|A\|</math>		# במידה ו A,B סופיות: f על אמ"מ <math>\|B\|\leq \|A\|</math>

	=== פונקציות המכבדות יחס שקילות ===		=== פונקציות המכבדות יחס שקילות ===

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2019-07-30T11:25:29Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:25, 30 ביולי 2019
שורה 25:		שורה 25:
	==== תרגיל ====		==== תרגיל ====
	הוכיחו/הפריכו: תהי f פונקציה <math>f:X \to Y</math> ותהיינה <math>A,B \subseteq Y</math>. אזי		הוכיחו/הפריכו: תהי f פונקציה <math>f:X \to Y</math> ותהיינה <math>A,B \subseteq Y</math>. אזי
	# <math>f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)=f^{-1}(A\cap B)</math>		# <math>f^{-1}[A]\cap f^{-1}[B]=f^{-1}[A\cap B]</math>
	# <math>f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)=f^{-1}(A\cup B)</math>		# <math>f^{-1}[A]\cup f^{-1}[B]=f^{-1}[A\cup B]</math>
			# <math>f^{-1}[A\setminus B]=f^{-1}[A]\setminus f^{-1}[B]</math>

	פתרון: תחשבו		פתרון: תחשבו

אחיה בר-און: /* פונקציה מצומצמת */

2019-07-30T10:41:48Z

פונקציה מצומצמת

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:41, 30 ביולי 2019
שורה 172:		שורה 172:

	'''אזהרה!''' ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך)		'''אזהרה!''' ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך)
			==== תרגיל ====
			תהיינה <math>f:A\to B, g:B\to C</math> פונקציות כך ש <math>g\circ f</math> חח"ע. הוכיחו כי <math>g\|_{Img(f)}</math> חח"ע.

			הוכחה: אם מצמצם את הטווח והתחום של הפונקציות, <math>f':A\to Img(f), g\|_{Img(f)}:Img(f):\to C</math>, נקבל כי <math>g\circ f=g\|_{Img(f)}\circ f'</math> חח"ע ובנוסף <math>f'</math> חח"ע ועל. מכאן ש <math>g\|_{Img(f)}=g\circ f\circ f'^{-1}</math> חח"ע כהרכבה של חח"ע.