88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 8 - היסטוריית גרסאות

שגיא401: /* אקסיומת הבחירה ואקסיומות שקולות */

2022-08-15T13:56:03Z

אקסיומת הבחירה ואקסיומות שקולות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:56, 15 באוגוסט 2022
שורה 13:		שורה 13:

	*'''הלמה של צורן.''': תהי A קבוצה סדורה חלקית '''לא ריקה''' כך שלכל שרשרת המוכלת בA קיים חסם מלעיל מA. אזי קיים בA איבר מקסימלי (איבר שאין איבר שונה ממנו הגדול ממנו).		*'''הלמה של צורן.''': תהי A קבוצה סדורה חלקית '''לא ריקה''' כך שלכל שרשרת המוכלת בA קיים חסם מלעיל מA. אזי קיים בA איבר מקסימלי (איבר שאין איבר שונה ממנו הגדול ממנו).
	*'''עקרון המקסימום של האוסדורף''': כל שרשרת מוכלת בשרשרת מקסימלית (שרשרת ~~מקססימאלית~~ = שרשרת שלא מוכלת ממש באף שרשרת אחרת. לחילופין, כל איבר שנוסיף לשרשרת תגרום לה לא להיות שרשרת)		*'''עקרון המקסימום של האוסדורף''': כל שרשרת מוכלת בשרשרת מקסימלית (שרשרת מקסימאלית = שרשרת שלא מוכלת ממש באף שרשרת אחרת. לחילופין, כל איבר שנוסיף לשרשרת תגרום לה לא להיות שרשרת)

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2021-08-29T16:02:56Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:02, 29 באוגוסט 2021
שורה 164:		שורה 164:

	לכן <math>\|\hat{B}\|\leq a</math> ונבחר קבוצה אחת A ששייכת T (קיימת לפי סעיף א) ונחליף אותה ב <math>A\cup\hat{B}</math>. מכיוון ש a עוצמה אינסופית נקבל כי <math>A\cup\hat{B}</math> מעוצמה a גם כן (בצירוף <math>\|\hat{B}\|\leq a</math>) וקיבלנו כעת קבוצות זרות שכל אחת מעוצמה a שהאיחוד של כולם שווה ל B כנדרש		לכן <math>\|\hat{B}\|\leq a</math> ונבחר קבוצה אחת A ששייכת T (קיימת לפי סעיף א) ונחליף אותה ב <math>A\cup\hat{B}</math>. מכיוון ש a עוצמה אינסופית נקבל כי <math>A\cup\hat{B}</math> מעוצמה a גם כן (בצירוף <math>\|\hat{B}\|\leq a</math>) וקיבלנו כעת קבוצות זרות שכל אחת מעוצמה a שהאיחוד של כולם שווה ל B כנדרש

	~~===תרגיל===~~

	~~תהא <math>X</math>. קבוצה <math>F\subseteq P(X)</math> תקרא בוב אם:~~

	~~א. <math>X\in F</math>~~

	~~ב. <math>B,C\in F \Rightarrow B\cap C \in F</math> (סגורה לחיתוכים סופיים)~~

	~~ג. <math>B \in F \land B\subset C \Rightarrow C\in F</math> (סגורה כלפי מעלה)~~

	~~הוכח שלכל קבוצה <math>A\subseteq P(X)</math> קיים <math>F</math> בוב מינמאלי שמכיל אותה~~
	~~(כלומר אם <math>A\subseteq F'</math> בוב וגם <math>F'\subseteq F</math> אזי <math>F=F'</math>)~~


	~~====הוכחה====~~
	~~===== לפי הלמה של צורן =====~~
	~~נגדיר <math>\{F\|A\subseteq F \land F \; is \; bob\}</math> ונגדיר יחס <math>R</math> של "הכלה הפוכה"~~
	~~(<math>ARB\iff B\subseteq A</math> ) (האוסף לא ריק כי <math>P(X)</math> היא בוב שמכיל את A )~~
	~~אזי לכל שרשרת <math>\{F_i\}_{i\in I}</math> של בובים יש איבר מקסמאלי ביחס ל <math>R</math> שהוא~~
	~~<math>F:=\bigcap_{i\in I}F_i</math>. נראה ש <math>F</math> בוב.~~

	~~א. <math>\forall i: X\in F_i</math> ולכן נמצא גם בחיתוך.~~

	~~ב. <math>B,C\in F \Rightarrow \forall i B,C\in F_i \Rightarrow \forall i B\cap C \in F_i \Rightarrow \ B\cap C \in F</math>~~

	~~ג. באופן דומה.~~

	~~לפי הלמה של צורן קיים איבר מקס' ביחס ל <math>F'</math> שזה איבר מיני' ביחס להכלה רגילה.~~

	~~===== לפי עקרון המקסימום של האוסדורף =====~~
	נגדיר <math>\mathcal{O}=\{F\|A\subseteq F \land F \; is \; bob\}</math> כל קבוצות בוב שמכילות של A, מסודרת לפי היחס "הכלה הפוכה" (כלומר במקום <math>\subseteq</math> נעבוד עם <math>\supseteq</math>). מתקיים כי <math>\{P(X)\}</math> היא שרשרת (שימו לב ש <math>P(X)</math> היא בוב ומכילה את Aׂ) ולכן מוכלת בשרשרת מקסימאלית <math>\mathcal{C}</math>.
	~~נגדיר <math>F=\cap_{F'\in \mathcal{C}}F'</math>.~~

	~~ט: F היא בוב שמכילה את A.~~

	~~ה: כיוון שכל <math>F'\in \mathcal{C}</math> מכיל את A אז גם החיתוך של כולם. נראה ש F היא בוב:~~


	~~א. לכל <math>F'\in \mathcal{C}</math> היא בוב ולכן <math> X\in F'</math> ולכן נמצא גם בחיתוך.~~

	~~ב. נניח <math>B,C\in F</math> אזי לכל <math>F'\in \mathcal{C}</math> מתקיים <math>B,C\in F'</math> ולכן <math>B\cap C\in F'</math>~~
	~~ולכן <math>B\cap C\in \cap_{F'\in \mathcal{C}}F' = F</math>~~

	~~ג. נניח <math>B \in F \land B\subset C </math> אזי לכל <math>F'\in \mathcal{C}</math> מתקיים <math>C \in F'</math> ולכן <math> C\in F'</math>~~
	~~ולכן <math> C\in \cap_{F'\in \mathcal{C}}F' = F</math>~~

	~~ט: F היא בוב '''מינימאלית''' שמכילה את A~~

	ה: נב"ש <math>\hat{F}</math> מוכלת ממש ב F והיא בוב שמכילה את A. אזי אם נצרף את <math>\hat{F}</math> ל C נקבל שרשרת שמכילה ממש את C בסתירה למקסימאליות של C
	~~(שהרי לכל <math>F'\in \mathcal{C}</math> מתקיים <math>F'\supseteq F \supseteq \hat{F}</math>)~~

	===תרגיל===		===תרגיל===

אחיה בר-און: /* לפי עקרון המקסימום של האוסדורף */

2021-08-27T11:52:20Z

לפי עקרון המקסימום של האוסדורף

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:52, 27 באוגוסט 2021
שורה 163:		שורה 163:
	אם <math>a<\|\hat{B}\|</math> אז לפי סעיף א' קיימת לה תת קבוצה <math>\hat{A}</math> מעוצמה a. לפי הגדרה <math>\hat{B}</math> מתקיים כי <math>\hat{A}</math> זרה לכל קבוצה ב T ולכן <math>T\cup \{\hat{A}\}\in \mathcal{O}</math> ואם נוסיף אותה ל C נקבל שרשרת שמכילה ממש את C בסתירה למקסימאליות של C.		אם <math>a<\|\hat{B}\|</math> אז לפי סעיף א' קיימת לה תת קבוצה <math>\hat{A}</math> מעוצמה a. לפי הגדרה <math>\hat{B}</math> מתקיים כי <math>\hat{A}</math> זרה לכל קבוצה ב T ולכן <math>T\cup \{\hat{A}\}\in \mathcal{O}</math> ואם נוסיף אותה ל C נקבל שרשרת שמכילה ממש את C בסתירה למקסימאליות של C.

	לכן <math>\|\hat{B}\|\leq a</math> ונבחר קבוצה אחת A ששייכת T (קיימת לפי סעיף א) ונחליף אותה ב <math>A\cup\{\hat{B}\}</math>. מכיוון ש a עוצמה אינסופית נקבל כי <math>A\cup\{\hat{B}\}</math> מעוצמה a גם כן (בצירוף <math>\|\hat{B}\|\leq a</math>) וקיבלנו כעת קבוצות זרות שכל אחת מעוצמה a שהאיחוד של כולם שווה ל B כנדרש		לכן <math>\|\hat{B}\|\leq a</math> ונבחר קבוצה אחת A ששייכת T (קיימת לפי סעיף א) ונחליף אותה ב <math>A\cup\hat{B}</math>. מכיוון ש a עוצמה אינסופית נקבל כי <math>A\cup\hat{B}</math> מעוצמה a גם כן (בצירוף <math>\|\hat{B}\|\leq a</math>) וקיבלנו כעת קבוצות זרות שכל אחת מעוצמה a שהאיחוד של כולם שווה ל B כנדרש

	===תרגיל===		===תרגיל===

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2021-08-16T08:51:25Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:51, 16 באוגוסט 2021
שורה 226:		שורה 226:
	ג. <math>B \in F \land B\subset C \Rightarrow C\in F</math> (סגורה כלפי מעלה)		ג. <math>B \in F \land B\subset C \Rightarrow C\in F</math> (סגורה כלפי מעלה)

	תהא קבוצה <math>A\subseteq P(X)</math> שכל חיתוך סופי של קבוצות בה שונה מקבוצה ריקה. הוכיחו: קיים <math>F</math> בוב מקסימאלי שמכיל אותה.		תהא קבוצה <math>A\subseteq P(X)</math> שכל חיתוך סופי של קבוצות בה שונה מקבוצה ריקה. הוכיחו: קיים <math>F\neq P(X)</math> בוב מקסימאלי שמכיל אותה.

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2021-08-04T16:05:04Z

תרגיל

@@ שורה 177: / שורה 177: @@
 הוכח שלכל קבוצה <math>A\subseteq P(X)</math> קיים <math>F</math> בוב מינמאלי שמכיל אותה
 (כלומר אם <math>A\subseteq F'</math> בוב וגם  <math>F'\subseteq F</math> אזי <math>F=F'</math>)
 ====הוכחה====
@@ שורה 214: / שורה 215: @@
 ה: נב"ש <math>\hat{F}</math> מוכלת ממש ב F והיא בוב שמכילה את A. אזי אם נצרף את <math>\hat{F}</math> ל C נקבל שרשרת שמכילה ממש את C בסתירה למקסימאליות של C
 (שהרי לכל <math>F'\in \mathcal{C}</math> מתקיים <math>F'\supseteq F \supseteq \hat{F}</math>)

אחיה בר-און: /* לפי עקרון המקסימום של האוסדורף */

2021-08-04T16:02:33Z

לפי עקרון המקסימום של האוסדורף

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:02, 4 באוגוסט 2021
שורה 194:		שורה 194:

	===== לפי עקרון המקסימום של האוסדורף =====		===== לפי עקרון המקסימום של האוסדורף =====
	נגדיר <math>\mathcal{O}=\{F\|A\subseteq F \land F \; is \; bob\}</math> כל קבוצות בוב שמכילות של A, מסודרת לפי היחס "הכלה הפוכה" (כלומר במקום <math>\subseteq</math> נעבוד עם <math>\supseteq</math>). מתקיים כי <math>\{X\}</math> היא שרשרת (שימו לב ש X היא בוב ומכילה את Aׂ) ולכן מוכלת בשרשרת מקסימאלית <math>\mathcal{C}</math>.		נגדיר <math>\mathcal{O}=\{F\|A\subseteq F \land F \; is \; bob\}</math> כל קבוצות בוב שמכילות של A, מסודרת לפי היחס "הכלה הפוכה" (כלומר במקום <math>\subseteq</math> נעבוד עם <math>\supseteq</math>). מתקיים כי <math>\{P(X)\}</math> היא שרשרת (שימו לב ש <math>P(X)</math> היא בוב ומכילה את Aׂ) ולכן מוכלת בשרשרת מקסימאלית <math>\mathcal{C}</math>.
	נגדיר <math>F=\cap_{F'\in \mathcal{C}}F'</math>.		נגדיר <math>F=\cap_{F'\in \mathcal{C}}F'</math>.

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2021-06-23T11:51:09Z

תרגיל

@@ שורה 171: / שורה 171: @@
 א. <math>X\in F</math>
-ב. <math>B,C\in F \Rightarrow B\cap C \in F</math>
+ב. <math>B,C\in F \Rightarrow B\cap C \in F</math> (סגורה לחיתוכים סופיים)
-ג. <math>B \in F \land  B\subset C \Rightarrow C\in F</math>
+ג. <math>B \in F \land  B\subset C \Rightarrow C\in F</math> (סגורה כלפי מעלה)
 הוכח שלכל קבוצה <math>A\subseteq P(X)</math> קיים <math>F</math> בוב מינמאלי שמכיל אותה
@@ שורה 179: / שורה 179: @@
 ====הוכחה====
 נגדיר <math>\{F|A\subseteq F \land F \; is \; bob\}</math> ונגדיר יחס <math>R</math> של "הכלה הפוכה"
 (<math>ARB\iff B\subseteq A</math> )   (האוסף לא ריק כי <math>P(X)</math> היא בוב שמכיל את A )
@@ שורה 191: / שורה 192: @@
 לפי הלמה של צורן קיים איבר מקס' ביחס ל <math>F'</math> שזה איבר מיני' ביחס להכלה רגילה.

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2021-06-23T11:37:00Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:37, 23 ביוני 2021
שורה 135:		שורה 135:
	סעיף ב. נוכיח במספר דרכים:		סעיף ב. נוכיח במספר דרכים:

	===== לפי הלמה של צורן =====~~<math>A</math>~~		===== לפי הלמה של צורן =====
	נביט באוסף כל האוספים של תתי קבוצות זרות של B שכל אחת מהן מעוצמה a. (האוסף לא ריק לפי סעיף קודם)		נביט באוסף כל האוספים של תתי קבוצות זרות של B שכל אחת מהן מעוצמה a. (האוסף לא ריק לפי סעיף קודם)

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2021-06-23T11:35:41Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:35, 23 ביוני 2021
שורה 133:		שורה 133:


	ב. נביט באוסף כל האוספים של תתי קבוצות זרות של B שכל אחת מהן מעוצמה a. (האוסף לא ריק לפי סעיף קודם)		סעיף ב. נוכיח במספר דרכים:

			===== לפי הלמה של צורן =====<math>A</math>
			נביט באוסף כל האוספים של תתי קבוצות זרות של B שכל אחת מהן מעוצמה a. (האוסף לא ריק לפי סעיף קודם)

	תהא <math>\{B_i\}_{i\in I}</math> שרשרת של קבוצות כך שכל אחת <math>B_i\in P(P(A)) </math> אוסף של תתי קבוצות זרות של B מעוצמה a.		תהא <math>\{B_i\}_{i\in I}</math> שרשרת של קבוצות כך שכל אחת <math>B_i\in P(P(A)) </math> אוסף של תתי קבוצות זרות של B מעוצמה a.
שורה 149:		שורה 152:
	אם העוצמה שלה קטנה מ a אז נוכל לצרף אותה לאחת מהקבוצות ב<math>S</math> ואז נקבל אוסף של קבוצות מעוצמה a שאיחודם שווה B.		אם העוצמה שלה קטנה מ a אז נוכל לצרף אותה לאחת מהקבוצות ב<math>S</math> ואז נקבל אוסף של קבוצות מעוצמה a שאיחודם שווה B.

			===== לפי עקרון המקסימום של האוסדורף =====
			נגדיר <math>\mathcal{O}</math> קבוצת כל האוספים של תתי קבוצות זרות של B שכל אחת מהן מעוצמה a. בקס"ח <math>\mathcal{O}</math> עם הכלה מתקיים כי <math>\{\{A\}\}</math> היא שרשרת כאשר A היא תת קבוצה של B מעוצמה a שקיימת לפי סעיף א. כעת לפי עקרון המקסימום, קיימת שרשרת C מקסימאלית. נגדיר <math>T=\cup_{T'\in C}T'</math>

			ט: <math>T\in \mathcal{O}</math>

			ה: יהיו <math>A_1,A_2\in T</math> אזי קיימות <math>T'_1,T'_2</math> כך ש <math>A_i\in T'_i</math> ומכיוון ש C שרשרת <math>T'_1\subseteq T'_2</math> או להיפך. נניח בה"כ כי <math>T'_1\subseteq T'_2</math> ולכן <math>A_1,A_2\in T'_2</math> ומכיוון ש <math>T'_2\in \mathcal{C}</math> נקבל כי <math>A_1,A_2</math> זרות ומעוצמה a כנדרש

			כעת נגדיר <math>B'=\cup_{A'\in T}A'</math> ונגדיר <math>\hat{B}=B\setminus B'</math> .

			אם <math>a<\|\hat{B}\|</math> אז לפי סעיף א' קיימת לה תת קבוצה <math>\hat{A}</math> מעוצמה a. לפי הגדרה <math>\hat{B}</math> מתקיים כי <math>\hat{A}</math> זרה לכל קבוצה ב T ולכן <math>T\cup \{\hat{A}\}\in \mathcal{O}</math> ואם נוסיף אותה ל C נקבל שרשרת שמכילה ממש את C בסתירה למקסימאליות של C.

			לכן <math>\|\hat{B}\|\leq a</math> ונבחר קבוצה אחת A ששייכת T (קיימת לפי סעיף א) ונחליף אותה ב <math>A\cup\{\hat{B}\}</math>. מכיוון ש a עוצמה אינסופית נקבל כי <math>A\cup\{\hat{B}\}</math> מעוצמה a גם כן (בצירוף <math>\|\hat{B}\|\leq a</math>) וקיבלנו כעת קבוצות זרות שכל אחת מעוצמה a שהאיחוד של כולם שווה ל B כנדרש

	===תרגיל===		===תרגיל===

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2021-06-23T11:19:42Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:19, 23 ביוני 2021
שורה 89:		שורה 89:

	===תרגיל===		===תרגיל===
	הוכח שלכל מרחב וקטורי קיים בסיס		הוכח שלכל מרחב וקטורי קיים בסיס (גם אם המרחב אינו מימד סופי)

	====הוכחה====		====הוכחה====
	יהיה<math> V </math> מרחב וקטורי. נביט באוסף הקבוצות הבלתי תלויות שלו		יהיה<math> V </math> מרחב וקטורי. ונרצה להוכיח שקיים בסיס למרחב
	<math>\{B\subseteq V\| B \; is \; linearly \; independent \}</math>. (האוסף לא ריק כי ~~וקטור בודד שונה מאפס מהווה~~ קבוצה בת"ל)		===== לפי הלמה של צורן =====
			נביט באוסף הקבוצות הבלתי תלויות שלו
			<math>\{B\subseteq V\| B \; is \; linearly \; independent \}</math>. (האוסף לא ריק כי קבוצה ריקה היא קבוצה בת"ל)
	תהא <math>\{B_i\}_{i\in I}</math> שרשרת של קבוצות בת"ל.		תהא <math>\{B_i\}_{i\in I}</math> שרשרת של קבוצות בת"ל.

שורה 107:		שורה 109:
	ה: אחרת קיים <math>v\in V\backslash span(B)</math> אבל אז <math>B\cup \{v\} </math> מכילה ממש את B וגם בת"ל. סתירה למקס' של B.		ה: אחרת קיים <math>v\in V\backslash span(B)</math> אבל אז <math>B\cup \{v\} </math> מכילה ממש את B וגם בת"ל. סתירה למקס' של B.

			===== לפי עקרון המקסימום של האוסדורף =====
			נגדיר <math>\mathcal{O}</math> אוסף הקבוצות הבלתי תלויות שמוכלות במרחב. כלומר <math>\{B\subseteq V\| B \; is \; linearly \; independent \}</math>. בקס"ח <math>\mathcal{O}</math> סדורה ע"י הכלה מתקיים כי <math>\{\emptyset\}</math> היא שרשרת (קבוצה ריקה היא בת"ל) ולכן היא מוכל בשרשרת מקסימאלית C. נגדיר <math>B=\cup_{B'\in C}B'</math>

			ט: <math>B</math> בת"ל

			ה: יהיה <math>\alpha_1 v_1 +\cdots +\alpha_n v_n =0</math> צ"ל של וקטורים מ B שמתאפס אזי כל וקטור שייך לאיזה שהוא <math>B_j\in C</math>. כיוון ש C שרשרת אזי כל הוקטורים נמצאים באותה קבוצה.
			כלומר <math>\exists k\in I \forall i : v_i \in B_k</math> כיוון ש <math>B_k</math> קבוצה בת"ל נקבל שכל המקדמים שווים לאפס.

			ט: <math>B</math> פורשת (ולכן מהווה בסיס).

			ה: אחרת קיים <math>v\in V\backslash span(B)</math> אבל אז <math>B\cup \{v\} </math> מכילה ממש את B וגם בת"ל. ולכן אם נוסיף קבוצה זאת ל C נקבל שרשרת שמכילה ממש את C בסתירה למקסימאליות של C.

	===תרגיל===		===תרגיל===