88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 1 - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־12:32, 3 בנובמבר 2016

2016-11-03T12:32:34Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:32, 3 בנובמבר 2016
שורה 1:		שורה 1:
	== שאלה 1 ==		==שאלה 1==
	לכל קבוצה <math>E \subseteq \~~mathbb{~~R}</math> ומספרים <math>a,b \in \~~mathbb{~~R}</math> מגדירים <math>aE+b:=\{ ~~a x~~+b:x \in E \}</math> (ז"א ש-<math>aE+b</math> היא תמונת <math>E</math> תחת הפונקציה הלינארית <math>x \mapsto ax+b</math>).		לכל קבוצה <math>E\subseteq\R</math> ומספרים <math>a,b\in\R</math> מגדירים <math>aE+b:=\{ax+b:x\in E\}</math> (ז"א <math>aE+b</math> היא תמונת <math>E</math> תחת הפונקציה הלינארית <math>x\mapsto ax+b</math>).

	הוכיחו: <math>m^(aE+b)=\|a\| m^(E)</math>		הוכיחו: <math>m^(aE+b)=\|a\|m^(E)</math>
	~~== שאלה 2 ==~~
	~~הוכיחו כי כל קבוצה קומפקטית ב <math>\mathbb{R}</math> הינה מדידה לבג.~~

	~~הערה: אתם רשאים להשתמש בעובדה (שעוד לא למדתם) שאיחוד בן מניה של קבוצות מדידות הינו מדיד~~.		==שאלה 2==
			הוכיחו כי כל קבוצה קומפקטית ב- <math>\R</math> הנה מדידה לבג.

	~~== שאלה 3 ==~~		הערה: אתם רשאים להשתמש בעובדה (שעוד לא למדתם) שאיחוד בן מניה של קבוצות מדידות הנו מדיד.
	~~'''הגדרה~~:~~''' נאמר שקבוצה <math>G \subseteq \mathbb{R}</math> היא מטיפוס <math>G_\delta</math> אם ניתן להציג אותה כחיתוך~~ בן~~-מנייה~~ של קבוצות ~~פתוחות~~.

			==שאלה 3==
			'''הגדרה:''' נאמר שקבוצה <math>G\subseteq\R</math> היא מטיפוס <math>G_\delta</math> אם ניתן להציג אותה כחיתוך בן-מנייה של קבוצות פתוחות.

	תהי <math>E \subseteq \~~mathbb{~~R}</math> הוכיחו שקיימת קבוצה <math>G \in G_\delta</math> המקיימת <math>E \subseteq G</math> וכן <math>m^(G)=m^(E)</math>		תהי <math>E\subseteq\R</math> הוכיחו שקיימת קבוצה <math>G\in G_\delta</math> המקיימת <math>E\subseteq G</math> וכן <math>m^(G)=m^(E)</math>

	'''הדרכה:''' עקבו אחרי השלבים הבאים:		'''הדרכה:''' עקבו אחרי השלבים הבאים:

	א. הוכיחו שלכל קבוצה <math>E \subseteq \~~mathbb{~~R}</math> ולכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת קבוצה פתוחה <math>O</math>, המקיימת <math>E \subseteq O</math> וכן		א. הוכיחו שלכל קבוצה <math>E\subseteq\R</math> ולכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת קבוצה פתוחה <math>O</math> , המקיימת <math>E\subseteq O</math> וכן
	<math>m^(O) \~~leq~~ m^(E)+\varepsilon</math>		<math>m^(O)\le m^(E)+\varepsilon</math>

	ב. בנו סדרה של קבוצות פתוחות מתאימות ע"פ א' וחיתכו אותן.		ב. בנו סדרה של קבוצות פתוחות מתאימות ע"פ א' וחיתכו אותן.

עופר בוסאני: /* שאלה 2 */

2013-10-21T12:10:49Z

שאלה 2

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:10, 21 באוקטובר 2013
שורה 5:		שורה 5:
	== שאלה 2 ==		== שאלה 2 ==
	הוכיחו כי כל קבוצה קומפקטית ב <math>\mathbb{R}</math> הינה מדידה לבג.		הוכיחו כי כל קבוצה קומפקטית ב <math>\mathbb{R}</math> הינה מדידה לבג.

			הערה: אתם רשאים להשתמש בעובדה (שעוד לא למדתם) שאיחוד בן מניה של קבוצות מדידות הינו מדיד.

	== שאלה 3 ==		== שאלה 3 ==

עופר בוסאני: /* שאלה 2 */

2013-10-20T10:22:20Z

שאלה 2

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:22, 20 באוקטובר 2013
שורה 4:		שורה 4:
	הוכיחו: <math>m^(aE+b)=\|a\| m^(E)</math>		הוכיחו: <math>m^(aE+b)=\|a\| m^(E)</math>
	== שאלה 2 ==		== שאלה 2 ==
	הוכיחו כי כל קבוצה קומפקטית הינה מדידה.		הוכיחו כי כל קבוצה קומפקטית ב <math>\mathbb{R}</math> הינה מדידה לבג.

	== שאלה 3 ==		== שאלה 3 ==
	'''הגדרה:''' נאמר שקבוצה <math>G \subseteq \mathbb{R}</math> היא מטיפוס <math>G_\delta</math> אם ניתן להציג אותה כחיתוך בן-מנייה של קבוצות פתוחות.		'''הגדרה:''' נאמר שקבוצה <math>G \subseteq \mathbb{R}</math> היא מטיפוס <math>G_\delta</math> אם ניתן להציג אותה כחיתוך בן-מנייה של קבוצות פתוחות.

עופר בוסאני ב־08:32, 20 באוקטובר 2013

2013-10-20T08:32:21Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:32, 20 באוקטובר 2013
שורה 4:		שורה 4:
	הוכיחו: <math>m^(aE+b)=\|a\| m^(E)</math>		הוכיחו: <math>m^(aE+b)=\|a\| m^(E)</math>
	== שאלה 2 ==		== שאלה 2 ==
	א. יהי <math>\{E_n\}_{n=1}^N</math> אוסף סופי של תתי-קבוצות של <math>\mathbb{R}</math>. הוכיחו שמתקיים <math>\overline{\cup_{n=1}^N E_n}=\cup_{n=1}^N \overline{E_n}</math>		הוכיחו כי כל קבוצה קומפקטית הינה מדידה.

	ב. הוכיחו ~~שלא בהכרח מתקיים שוויון כאשר מדובר באוסף אינסופי~~.

	== שאלה 3 ==		== שאלה 3 ==
	'''הגדרה:''' נאמר שקבוצה <math>G \subseteq \mathbb{R}</math> היא מטיפוס <math>G_\delta</math> אם ניתן להציג אותה כחיתוך בן-מנייה של קבוצות פתוחות.		'''הגדרה:''' נאמר שקבוצה <math>G \subseteq \mathbb{R}</math> היא מטיפוס <math>G_\delta</math> אם ניתן להציג אותה כחיתוך בן-מנייה של קבוצות פתוחות.

Michael ב־18:09, 1 בנובמבר 2012

2012-11-01T18:09:25Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:09, 1 בנובמבר 2012
שורה 20:		שורה 20:

	ב. בנו סדרה של קבוצות פתוחות מתאימות ע"פ א' וחיתכו אותן.		ב. בנו סדרה של קבוצות פתוחות מתאימות ע"פ א' וחיתכו אותן.

	~~== שאלה 4 ==~~

	~~הראו שלכל קטע (לא טריוויאלי) יש תת קבוצה לא מדידה. (רמז: תרגיל 1)~~



	בהצלחה!		בהצלחה!

Michael: יצירת דף עם התוכן "== שאלה 1 == לכל קבוצה $E \subseteq \mathbb{R}$ ומספרים $a,b \in \mathbb{R}$ מגדירים $aE+b:=\{ a x+b:x \in E \}..."$

2012-11-01T12:41:20Z

יצירת דף עם התוכן "== שאלה 1 == לכל קבוצה <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> ומספרים <math>a,b \in \mathbb{R}</math> מגדירים <math>aE+b:=\{ a x+b:x \in E \}..."

דף חדש

== שאלה 1 ==
לכל קבוצה <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> ומספרים <math>a,b \in \mathbb{R}</math> מגדירים <math>aE+b:=\{ a x+b:x \in E \}</math> (ז"א ש-<math>aE+b</math> היא תמונת <math>E</math> תחת הפונקציה הלינארית <math>x \mapsto ax+b</math>).

הוכיחו: <math>m^*(aE+b)=|a| m^*(E)</math>
== שאלה 2 ==
א. יהי <math>\{E_n\}_{n=1}^N</math> אוסף סופי של תתי-קבוצות של <math>\mathbb{R}</math>. הוכיחו שמתקיים <math>\overline{\cup_{n=1}^N E_n}=\cup_{n=1}^N \overline{E_n}</math>

ב. הוכיחו שלא בהכרח מתקיים שוויון כאשר מדובר באוסף אינסופי.

== שאלה 3 ==
'''הגדרה:''' נאמר שקבוצה <math>G \subseteq \mathbb{R}</math> היא מטיפוס <math>G_\delta</math> אם ניתן להציג אותה כחיתוך בן-מנייה של קבוצות פתוחות.

תהי <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> הוכיחו שקיימת קבוצה <math>G \in G_\delta</math> המקיימת <math>E \subseteq G</math> וכן <math>m^*(G)=m^*(E)</math>

'''הדרכה:''' עקבו אחרי השלבים הבאים:

א. הוכיחו שלכל קבוצה <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> ולכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת קבוצה פתוחה <math>O</math>, המקיימת <math>E \subseteq O</math> וכן
<math>m^*(O) \leq m^*(E)+\varepsilon</math>

ב. בנו סדרה של קבוצות פתוחות מתאימות ע"פ א' וחיתכו אותן.

== שאלה 4 ==

הראו שלכל קטע (לא טריוויאלי) יש תת קבוצה לא מדידה. (רמז: תרגיל 1)

בהצלחה!

88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 1 - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־12:32, 3 בנובמבר 2016

עופר בוסאני: /* שאלה 2 */

עופר בוסאני: /* שאלה 2 */

עופר בוסאני ב־08:32, 20 באוקטובר 2013

Michael ב־18:09, 1 בנובמבר 2012

Michael: יצירת דף עם התוכן "== שאלה 1 == לכל קבוצה E \subseteq \mathbb{R} ומספרים a,b \in \mathbb{R} מגדירים aE+b:=\{ a x+b:x \in E \}..."

Michael: יצירת דף עם התוכן "== שאלה 1 == לכל קבוצה $E \subseteq \mathbb{R}$ ומספרים $a,b \in \mathbb{R}$ מגדירים $aE+b:=\{ a x+b:x \in E \}..."$