https://math-wiki.com/index.php?action=history&feed=atom&title=89-214_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91%2F%D7%AA%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%A8%D7%99%D7%9D
89-214 סמסטר א' תשעב/תקצירים - היסטוריית גרסאות
2026-04-25T20:58:16Z
היסטוריית הגרסאות של הדף הזה בוויקי
MediaWiki 1.39.4
https://math-wiki.com/index.php?title=89-214_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%AA%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%A8%D7%99%D7%9D&diff=19430&oldid=prev
עוזי ו.: /* הרצאה שתים-עשרה */
2012-02-04T23:02:11Z
<p><span dir="auto"><span class="autocomment">הרצאה שתים-עשרה</span></span></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="he">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">→ הגרסה הקודמת</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">גרסה מ־23:02, 4 בפברואר 2012</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l148">שורה 148:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">שורה 148:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>המשפט המרכזי על חבורות-p אבליות קובע שאם H תת-חבורה ציקלית של A שסדרה שווה לאקספוננט של A (ותמיד קיימת כזו), אז A מתפרקת למכפלה ישרה של H ותת-חבורה נוספת. מכאן נובע, באינדוקציה, שכל חבורת-p אבלית היא מכפלה ישרה של חבורות ציקליות. בשילוב עם התוצאה הקודמת, קיבלנו שכל חבורה אבלית סופית היא מכפלה ישרה של חבורות ציקליות.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>המשפט המרכזי על חבורות-p אבליות קובע שאם H תת-חבורה ציקלית של A שסדרה שווה לאקספוננט של A (ותמיד קיימת כזו), אז A מתפרקת למכפלה ישרה של H ותת-חבורה נוספת. מכאן נובע, באינדוקציה, שכל חבורת-p אבלית היא מכפלה ישרה של חבורות ציקליות. בשילוב עם התוצאה הקודמת, קיבלנו שכל חבורה אבלית סופית היא מכפלה ישרה של חבורות ציקליות.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>התאוריה של חבורות אבליות סופיות מסוכמת ב'''משפט''' הבא: כל חבורה אבלית סופית אפשר להציג באופן יחיד בצורה <math>\ \mathbb{Z}_{d_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{d_t}</math>, כאשר <math>\ d_1|\cdots | d_t</math>. את הקיום מוכיחים על-ידי קיבוץ מרכיבי-p הגדולים ביותר לכדי המרכיב האחרון, הגדולים ביותר מאלו שנותרו מרכיבים את המרכיב השני בגודלו, וכן הלאה. את היחידות אפשר להוכיח על-ידי שמראים שאפשר לחשב את <math>\ d_1</math> מתוך החבורה. אכן, מספר הגורמים t הוא הערך המקסימלי שהפונקציה <math>\ \log_p|A/pA|</math> מקבלת; ובנוסף לזה, <math>\ |p^{\ell-1}A/p^\ell A| = p^t</math> אם ורק אם <math>\ p^\ell | d_1</math>. מובן שמחזקות הראשוניים המחלקות את המספר אפשר לשחזר אותו באופן מלא. (בכתה הראינו שיטה אחרת - ראו תרגיל 10.6.5 בחוברת).</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>התאוריה של חבורות אבליות סופיות מסוכמת ב'''משפט''' הבא: כל חבורה אבלית סופית אפשר להציג באופן יחיד בצורה <math>\ \mathbb{Z}_{d_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{d_t}</math>, כאשר <math>\ d_1|\cdots | d_t</math>. את הקיום מוכיחים על-ידי קיבוץ מרכיבי-p הגדולים ביותר לכדי המרכיב האחרון, הגדולים ביותר מאלו שנותרו מרכיבים את המרכיב השני בגודלו, וכן הלאה. את היחידות אפשר להוכיח על-ידי שמראים שאפשר לחשב את <math>\ d_1</math> מתוך החבורה. אכן, מספר הגורמים t הוא הערך המקסימלי שהפונקציה <math>\ <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">f(p) = </ins>\log_p|A/pA|</math> מקבלת; ובנוסף לזה, <math>\ |p^{\ell-1}A/p^\ell A| = p^t</math> אם ורק אם <math>\ p^\ell | d_1</math>. מובן שמחזקות הראשוניים המחלקות את המספר אפשר לשחזר אותו באופן מלא. (בכתה הראינו שיטה אחרת - ראו תרגיל 10.6.5 בחוברת).</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>== שדות סופיים - גרסה נטולת חוגים ==</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>== שדות סופיים - גרסה נטולת חוגים ==</div></td></tr>
</table>
עוזי ו.
https://math-wiki.com/index.php?title=89-214_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%AA%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%A8%D7%99%D7%9D&diff=19429&oldid=prev
עוזי ו.: /* הרצאה חמישית */
2012-02-04T22:57:56Z
<p><span dir="auto"><span class="autocomment">הרצאה חמישית</span></span></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="he">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">→ הגרסה הקודמת</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">גרסה מ־22:57, 4 בפברואר 2012</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l76">שורה 76:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">שורה 76:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>כל תת-חבורה של <math>\ \mathbb{Z}_n</math> נוצרת על-ידי איבר המחלק את n; אם a|n, אז הסדר של החבורה הנוצרת על-ידי a הוא n/a, ולכן, אם H תת-חבורה של <math>\ \mathbb{Z}_n</math> מסדר d, היא שווה לחבורה הציקלית <n/d>. כלומר, לחבורות ציקליות יש תת-חבורה יחידה מכל סדר שמשפט לגרנז' מתיר.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>כל תת-חבורה של <math>\ \mathbb{Z}_n</math> נוצרת על-ידי איבר המחלק את n; אם a|n, אז הסדר של החבורה הנוצרת על-ידי a הוא n/a, ולכן, אם H תת-חבורה של <math>\ \mathbb{Z}_n</math> מסדר d, היא שווה לחבורה הציקלית <n/d>. כלומר, לחבורות ציקליות יש תת-חבורה יחידה מכל סדר שמשפט לגרנז' מתיר.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>מגדירים את המכפלה של תת-חבורות כקבוצה של כל המכפלות האפשריות: <math>\ AB=\{ab | a\in A, b\in B\}<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">$</del></math>. באופן דומה אפשר להגדיר, לכל קבוצה בחבורה, <math>\ S^{-1}=\{s^{-1} | s\in S\}</math>. הוכחנו שאם A,B תת-חבורות, אז המכפלה AB תת-חבורה אם ורק אם AB=BA.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>מגדירים את המכפלה של תת-חבורות כקבוצה של כל המכפלות האפשריות: <math>\ AB=\{ab | a\in A, b\in B\}</math>. באופן דומה אפשר להגדיר, לכל קבוצה בחבורה, <math>\ S^{-1}=\{s^{-1} | s\in S\}</math>. הוכחנו שאם A,B תת-חבורות, אז המכפלה AB תת-חבורה אם ורק אם AB=BA.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>הגדרנו '''הומומורפיזם''' (העתקה מחבורה G לחבורה H, השומרת על הכפל (ולכן גם על איבר היחידה ועל פעולת ההיפוך)). התמונה של הומומורפיזם היא תת-חבורה של H, והגרעין הוא תת-חבורה של G. הומומורפיזם הוא חד-חד-ערכי אם ורק אם הגרעין שלו טריוויאלי. ראינו שכל תת-חבורה יכולה להיות תמונה של הומומורפיזם כלשהו. מאידך, לא כל תת-חבורה יכולה להיות גרעין של הומומורפיזם: לתת-חבורות כאלה נקרא בשעור הבא "תת-חבורות נורמליות", ובינתיים אנו מגדירים אותן על-פי התכונה <math>\ aH=Ha</math> לכל a, ותכונות השקולות לה.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>הגדרנו '''הומומורפיזם''' (העתקה מחבורה G לחבורה H, השומרת על הכפל (ולכן גם על איבר היחידה ועל פעולת ההיפוך)). התמונה של הומומורפיזם היא תת-חבורה של H, והגרעין הוא תת-חבורה של G. הומומורפיזם הוא חד-חד-ערכי אם ורק אם הגרעין שלו טריוויאלי. ראינו שכל תת-חבורה יכולה להיות תמונה של הומומורפיזם כלשהו. מאידך, לא כל תת-חבורה יכולה להיות גרעין של הומומורפיזם: לתת-חבורות כאלה נקרא בשעור הבא "תת-חבורות נורמליות", ובינתיים אנו מגדירים אותן על-פי התכונה <math>\ aH=Ha</math> לכל a, ותכונות השקולות לה.</div></td></tr>
</table>
עוזי ו.
https://math-wiki.com/index.php?title=89-214_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%AA%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%A8%D7%99%D7%9D&diff=19221&oldid=prev
עוזי ו. ב־17:45, 1 בפברואר 2012
2012-02-01T17:45:03Z
<p></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="he">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">→ הגרסה הקודמת</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">גרסה מ־17:45, 1 בפברואר 2012</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l2">שורה 2:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">שורה 2:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>* [[89-214 סמסטר א' תשעא/תקצירים|תקצירי ההרצאות מהשנה שעברה]].</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>* [[89-214 סמסטר א' תשעא/תקצירים|תקצירי ההרצאות מהשנה שעברה]].</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">* [[89-214 סמסטר א' תשעב|חזרה לדף הראשי של תשע"ב]]</ins></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>== הרצאה ראשונה==</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>== הרצאה ראשונה==</div></td></tr>
</table>
עוזי ו.
https://math-wiki.com/index.php?title=89-214_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%AA%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%A8%D7%99%D7%9D&diff=19106&oldid=prev
עוזי ו.: /* שדות סופיים - גרסה נטולת חוגים */
2012-01-31T20:22:24Z
<p><span dir="auto"><span class="autocomment">שדות סופיים - גרסה נטולת חוגים</span></span></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="he">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">→ הגרסה הקודמת</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">גרסה מ־20:22, 31 בינואר 2012</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l175">שורה 175:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">שורה 175:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>המשפט העיקרי שנוכיח בהמשך הוא שלכל חזקת ראשוני q, '''קיים''' שדה מסדר q. למען האמת השדה הזה הוא יחיד (ונקרא "שדה גלואה מסדר q"), אבל לא נוכל להוכיח זאת כאן.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>המשפט העיקרי שנוכיח בהמשך הוא שלכל חזקת ראשוני q, '''קיים''' שדה מסדר q. למען האמת השדה הזה הוא יחיד (ונקרא "שדה גלואה מסדר q"), אבל לא נוכל להוכיח זאת כאן.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>5. '''חוג הפולינומים''' (בלי להגדיר "חוג"). אם F שדה, אוסף הפולינומים במשתנה אחד מעליו, עם פעולות החיבור והכפל הטבעיות של פולינומים, נקרא '''חוג הפולינומים''' מעל F, ומסמנים אותו בסימון <math>\ F[x]</math> (או <math>\ F[y]</math>; שם המשתנה אינו חשוב). כמו במספרים השלמים, פולינום f מחלק פולינום g <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">אם ורק </del>אם קיים a כך ש-g=af. </div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>5. '''חוג הפולינומים''' (בלי להגדיר "חוג"). אם F שדה, אוסף הפולינומים במשתנה אחד מעליו, עם פעולות החיבור והכפל הטבעיות של פולינומים, נקרא '''חוג הפולינומים''' מעל F, ומסמנים אותו בסימון <math>\ F[x]</math> (או <math>\ F[y]</math>; שם המשתנה אינו חשוב). כמו במספרים השלמים, פולינום f מחלק פולינום g אם קיים <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">פולינום </ins>a כך ש-g=af. </div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">כל </del>איבר של <math>\ F[x]</math> נקרא "פולינום מעל F". אם <math>\ F \subset K</math> תת-שדה, אז יש הכלה טבעית <math>\ F[x] \subset K[x]</math>, ולכן כל פולינום מעל F הוא באופן אוטומטי גם פולינום מעל K.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>איבר של <math>\ F[x]</math> נקרא "פולינום מעל F". אם <math>\ F \subset K</math> תת-שדה, אז יש הכלה טבעית <math>\ F[x] \subset K[x]</math>, ולכן כל פולינום מעל F הוא באופן אוטומטי גם פולינום מעל K.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>6. '''המעלה'''. המעלה היא פונקציה <math>\ F[x]\rightarrow \mathbb{N}\cup \{-\infty\}</math>, המוגדרת לפי החזקה העליונה הנוכחת בפולינום. פולינום ממעלה אפס נקרא '''סקלר'''. פונקציית המעלה מקיימת: <math>\ \deg(fg) = \deg(f)+\deg(g)</math> ו- <math>\ \deg(f+g) \leq \max\{\deg(f),\deg(g)\}</math>. </div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>6. '''המעלה'''. המעלה היא פונקציה <math>\ F[x]\rightarrow \mathbb{N}\cup \{-\infty\}</math>, המוגדרת לפי החזקה העליונה הנוכחת בפולינום. פולינום ממעלה אפס נקרא '''סקלר'''. פונקציית המעלה מקיימת: <math>\ \deg(fg) = \deg(f)+\deg(g)</math> ו- <math>\ \deg(f+g) \leq \max\{\deg(f),\deg(g)\}</math>. </div></td></tr>
</table>
עוזי ו.
https://math-wiki.com/index.php?title=89-214_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%AA%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%A8%D7%99%D7%9D&diff=19105&oldid=prev
עוזי ו.: /* שדות סופיים - גרסה נטולת חוגים */
2012-01-31T20:21:50Z
<p><span dir="auto"><span class="autocomment">שדות סופיים - גרסה נטולת חוגים</span></span></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="he">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">→ הגרסה הקודמת</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">גרסה מ־20:21, 31 בינואר 2012</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l211">שורה 211:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">שורה 211:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>'''משפט'''. לכל פולינום f מעל שדה F יש שדה מפצל. '''הוכחה'''. באינדוקציה על המעלה. אם f ממעלה 1 אין מה להוכיח. אם f פריק סיימנו. אחרת יש ל-f שורש בשדה <math>\ F_1 = F[x]/F[x]f</math>, ושם (כאיבר <math>\ f(y)\in F_1[y]</math>) הוא מתפרק לשני גורמים: <math>\ f(y) = (y-x)f_1(y)</math>, כאשר <math>\ \deg(f_1)<\deg(f)</math>. לפי הנחת האינדוקציה יש הרחבה של <math>\ F_1</math> שמפצלת את <math>\ f_1</math>, והיא מפצלת גם את f.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>'''משפט'''. לכל פולינום f מעל שדה F יש שדה מפצל. '''הוכחה'''. באינדוקציה על המעלה. אם f ממעלה 1 אין מה להוכיח. אם f פריק סיימנו. אחרת יש ל-f שורש בשדה <math>\ F_1 = F[x]/F[x]f</math>, ושם (כאיבר <math>\ f(y)\in F_1[y]</math>) הוא מתפרק לשני גורמים: <math>\ f(y) = (y-x)f_1(y)</math>, כאשר <math>\ \deg(f_1)<\deg(f)</math>. לפי הנחת האינדוקציה יש הרחבה של <math>\ F_1</math> שמפצלת את <math>\ f_1</math>, והיא מפצלת גם את f.</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">'''הערה'''. נתבונן בפירוק של f לגורמים ליניאריים, <math>\ f(x) = (x-t_1)\cdots (x-t_n)</math>; אז איבר s של השדה הוא שורש אם ורק אם הוא אחד ה-<math>\ t_i</math>, ומכאן שלפולינום יש לכל היותר <math>\ n =\deg(f)</math> שורשים. </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">'''מסקנה'''. בכל שדה, לפולינום ממעלה n יש לכל היותר n שורשים (משום שהשורשים נשארים כאלה גם בשדה מפצל). </ins></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>14. ('''אוטומורפיזם פרובניוס'''). יהי F שדה עם מאפיין p. אז <math>\ (a+b)^p = a^p+b^p</math> (לפי הפיתוח הבינומי: p מחלק כל מקדם בינומי למעט הראשון והאחרון), ולכן תכונה זו מתקיימת אם מחליפים את p בחזקה של p.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>14. ('''אוטומורפיזם פרובניוס'''). יהי F שדה עם מאפיין p. אז <math>\ (a+b)^p = a^p+b^p</math> (לפי הפיתוח הבינומי: p מחלק כל מקדם בינומי למעט הראשון והאחרון), ולכן תכונה זו מתקיימת אם מחליפים את p בחזקה של p.</div></td></tr>
</table>
עוזי ו.
https://math-wiki.com/index.php?title=89-214_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%AA%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%A8%D7%99%D7%9D&diff=19028&oldid=prev
עוזי ו.: /* שדות סופיים - גרסה נטולת חוגים */
2012-01-30T13:11:54Z
<p><span dir="auto"><span class="autocomment">שדות סופיים - גרסה נטולת חוגים</span></span></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="he">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">→ הגרסה הקודמת</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">גרסה מ־13:11, 30 בינואר 2012</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l197">שורה 197:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">שורה 197:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>(פירוק זה הוא יחיד, אבל לא נזדקק לעובדה זו כאן).</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>(פירוק זה הוא יחיד, אבל לא נזדקק לעובדה זו כאן).</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>11. '''פעולות מודולו פולינום'''. יהי F שדה, ויהי h פולינום אי-פריק מעליו (כלומר, בחוג הפולינומים <math>\ F[x]</math>), ממעלה n. נתבונן בחבורת המנה <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">(ביחס לחיבור)</del>, <math>\ F[x]/F[x]h</math>, <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">עם פעולת הכפל מודולו h</del>. בחבורה הזו יש לכל קוסט נציג יחיד ממעלה קטנה מ-n. אם כך, בביצוע כל פעולה מחליפים את התוצאה בשארית שלה מודולו h. </div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>11. '''פעולות מודולו פולינום'''. יהי F שדה, ויהי h פולינום אי-פריק מעליו (כלומר, בחוג הפולינומים <math>\ F[x]</math>), ממעלה n<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">. תת-החבורה החיבורית <math>\ F[x]h</math> (שהיא למעשה תת-מרחב וקטורי) כוללת את כל הכפולות של h</ins>. נתבונן בחבורת המנה, <math>\ F[x]/F[x]h</math>, <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">שגם היא מרחב וקטורי</ins>. בחבורה הזו יש לכל קוסט נציג יחיד ממעלה קטנה מ-n<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">. </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">אפשר להגדיר בה את פעולת הכפל מודולו h</ins>. אם כך, בביצוע כל פעולה מחליפים את התוצאה בשארית שלה מודולו h. </div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>'''משפט'''. <math>\ F[x]/F[x]h</math> הוא שדה. (התכונה היחידה שאינה טריוויאלית היא קיומו של הפכי, אבל את זה הוכחנו בסעיף הקודם).</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>'''משפט'''. <math>\ F[x]/F[x]h</math> הוא שדה. (התכונה היחידה שאינה טריוויאלית היא קיומו של הפכי, אבל את זה הוכחנו בסעיף הקודם).</div></td></tr>
</table>
עוזי ו.
https://math-wiki.com/index.php?title=89-214_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%AA%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%A8%D7%99%D7%9D&diff=19027&oldid=prev
עוזי ו.: /* שדות סופיים - גרסה נטולת חוגים */
2012-01-30T13:10:23Z
<p><span dir="auto"><span class="autocomment">שדות סופיים - גרסה נטולת חוגים</span></span></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="he">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">→ הגרסה הקודמת</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">גרסה מ־13:10, 30 בינואר 2012</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l197">שורה 197:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">שורה 197:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>(פירוק זה הוא יחיד, אבל לא נזדקק לעובדה זו כאן).</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>(פירוק זה הוא יחיד, אבל לא נזדקק לעובדה זו כאן).</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>11. '''פעולות מודולו פולינום'''. יהי F שדה, ויהי h פולינום אי-פריק מעליו (כלומר, בחוג הפולינומים <math>\ F[x]</math>), ממעלה n. נתבונן בחבורת המנה (ביחס לחיבור), <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;"> </del><math>\ F[x]/F[x]h<math>, עם פעולת הכפל מודולו h. בחבורה הזו יש לכל קוסט נציג יחיד ממעלה קטנה מ-n. אם כך, בביצוע כל פעולה מחליפים את התוצאה בשארית שלה מודולו h. </div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>11. '''פעולות מודולו פולינום'''. יהי F שדה, ויהי h פולינום אי-פריק מעליו (כלומר, בחוג הפולינומים <math>\ F[x]</math>), ממעלה n. נתבונן בחבורת המנה (ביחס לחיבור), <math>\ F[x]/F[x]h<<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">/</ins>math>, עם פעולת הכפל מודולו h. בחבורה הזו יש לכל קוסט נציג יחיד ממעלה קטנה מ-n. אם כך, בביצוע כל פעולה מחליפים את התוצאה בשארית שלה מודולו h. </div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>'''משפט'''. <math>\ F[x]/F[x]h</math> הוא שדה. (התכונה היחידה שאינה טריוויאלית היא קיומו של הפכי, אבל את זה הוכחנו בסעיף הקודם).</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>'''משפט'''. <math>\ F[x]/F[x]h</math> הוא שדה. (התכונה היחידה שאינה טריוויאלית היא קיומו של הפכי, אבל את זה הוכחנו בסעיף הקודם).</div></td></tr>
</table>
עוזי ו.
https://math-wiki.com/index.php?title=89-214_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%AA%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%A8%D7%99%D7%9D&diff=18937&oldid=prev
עוזי ו.: /* שדות סופיים - גרסה נטולת חוגים */
2012-01-26T16:12:18Z
<p><span dir="auto"><span class="autocomment">שדות סופיים - גרסה נטולת חוגים</span></span></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="he">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">→ הגרסה הקודמת</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">גרסה מ־16:12, 26 בינואר 2012</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l193">שורה 193:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">שורה 193:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>10. פולינום h נקרא '''אי-פריק''' אם בכל פירוק שלו אחד הגורמים הוא סקלר. חשוב להבין שתכונה זו תלויה בשדה. למשל, הפולינום <math>\ x^2+1</math> הוא אי-פריק מעל הממשיים, אבל פריק מעל המרוכבים. פולינום אי-פריק h מתנהג כמו מספר שלם ראשוני, במובן הבא: אם h אינו מחלק את הפולינום f, אז המחלק המשותף המקסימלי שלהם הוא 1, ולכן יש צירוף שלם af+bh=1. </div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>10. פולינום h נקרא '''אי-פריק''' אם בכל פירוק שלו אחד הגורמים הוא סקלר. חשוב להבין שתכונה זו תלויה בשדה. למשל, הפולינום <math>\ x^2+1</math> הוא אי-פריק מעל הממשיים, אבל פריק מעל המרוכבים. פולינום אי-פריק h מתנהג כמו מספר שלם ראשוני, במובן הבא: אם h אינו מחלק את הפולינום f, אז המחלק המשותף המקסימלי שלהם הוא 1, ולכן יש צירוף שלם af+bh=1. </div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>'''משפט'''. לכל פולינום יש פירוק לגורמים <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">ראשוניים</del>. '''הוכחה'''. באינדוקציה על המעלה.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>'''משפט'''. לכל פולינום יש פירוק לגורמים <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">אי-פריקים</ins>. '''הוכחה'''. באינדוקציה על המעלה.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>(פירוק זה הוא יחיד, אבל לא נזדקק לעובדה זו כאן).</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>(פירוק זה הוא יחיד, אבל לא נזדקק לעובדה זו כאן).</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>11. '''פעולות מודולו פולינום'''. יהי F שדה, ויהי h פולינום אי-פריק מעליו (כלומר, בחוג הפולינומים <math>\ F[x]</math>). נתבונן <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">באוסף הפולינומים </del><math>\ <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">\{f \in </del>F[x] <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">: \deg(f) < \deg(</del>h<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">)\}</del><<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">/</del>math>, עם <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">פעולות החיבור והכפל </del>מודולו h <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">(כלומר</del>, בביצוע כל פעולה מחליפים את התוצאה בשארית שלה מודולו h<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">). מסמנים אותו, מסיבות שאפשר לנחש אך לא נכנס אליהן כאן, בסימון <math>\ F[x]/\langle h\rangle</math></del>.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>11. '''פעולות מודולו פולינום'''. יהי F שדה, ויהי h פולינום אי-פריק מעליו (כלומר, בחוג הפולינומים <math>\ F[x]</math>)<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">, ממעלה n</ins>. נתבונן <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">בחבורת המנה (ביחס לחיבור), </ins><math>\ F[x]<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">/F[x]</ins>h<math>, עם <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">פעולת הכפל </ins>מודולו h<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">. בחבורה הזו יש לכל קוסט נציג יחיד ממעלה קטנה מ-n. אם כך</ins>, בביצוע כל פעולה מחליפים את התוצאה בשארית שלה מודולו h. </div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>'''משפט'''. <math>\ F[x]/<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">\langle </del>h<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">\rangle</del></math> הוא שדה. (התכונה היחידה שאינה טריוויאלית היא קיומו של הפכי, אבל את זה הוכחנו בסעיף הקודם).</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>'''משפט'''. <math>\ F[x]/<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">F[x]</ins>h</math> הוא שדה. (התכונה היחידה שאינה טריוויאלית היא קיומו של הפכי, אבל את זה הוכחנו בסעיף הקודם).</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>'''הערה'''. <math>\ F[x]/<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">\langle </del>h<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">\rangle</del></math> מכיל עותק של F, כתת-שדה. לכן (אבל גם ישירות) הוא מרחב וקטורי מעל F, וממדו שווה למעלה של h.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>'''הערה'''. <math>\ F[x]/<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">F[x]</ins>h</math> מכיל עותק של F, כתת-שדה. לכן (אבל גם ישירות) הוא מרחב וקטורי מעל F, וממדו שווה למעלה של h.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>12. '''משפט'''. יהי f פולינום מעל שדה F. אז יש שדה הרחבה K (כלומר, שדה K המכיל את F כתת-שדה), שבו יש ל-f שורש. </div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>12. '''משפט'''. יהי f פולינום מעל שדה F. אז יש שדה הרחבה K (כלומר, שדה K המכיל את F כתת-שדה), שבו יש ל-f שורש. </div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>'''הוכחה'''. נבחר גורם אי-פריק h של f (סעיף 10). נבחר <math>\ K = F[x]/<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">\langle </del>h <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">\rangle</del></math>. בשדה הזה, האיבר x (מודול h) הוא שורש של h (!), ולכן גם שורש של f. </div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>'''הוכחה'''. נבחר גורם אי-פריק h של f (סעיף 10). נבחר <math>\ K = F[x]/<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">F[x]</ins>h</math>. בשדה הזה, האיבר x (מודול h) הוא שורש של h (!), ולכן גם שורש של f. </div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>13. שדה K '''מפצל''' את הפולינום f, אם אפשר לכתוב אותו כמכפלה של גורמים ליניאריים מעל K, </div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>13. שדה K '''מפצל''' את הפולינום f, אם אפשר לכתוב אותו כמכפלה של גורמים ליניאריים מעל K, </div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\ f(x) = (x-t_1)\cdots(x-t_n)</math>. (במקרה כזה אומרים גם ש-f '''מתפצל''' ב-K). כמובן, כל <math>\ t_i</math> הוא שורש של f, ואלו הם כל השורשים של f בשדה הזה. לכן מספר השורשים של פולינום, בשדה המפצל אותו, אינו עולה על המעלה שלו.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\ f(x) = (x-t_1)\cdots(x-t_n)</math>. (במקרה כזה אומרים גם ש-f '''מתפצל''' ב-K). כמובן, כל <math>\ t_i</math> הוא שורש של f, ואלו הם כל השורשים של f בשדה הזה. לכן מספר השורשים של פולינום, בשדה המפצל אותו, אינו עולה על המעלה שלו.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>'''משפט'''. לכל פולינום f מעל שדה F יש שדה מפצל. '''הוכחה'''. באינדוקציה על המעלה. אם f ממעלה 1 אין מה להוכיח. אם f פריק סיימנו. אחרת יש ל-f שורש בשדה <math>\ F_1 = F[x]/<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">\langle </del>f <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">/rangle</del></math>, ושם (כאיבר <math>\ f(y)\in F_1[y]</math>) הוא מתפרק לשני גורמים: <math>\ f(y) = (y-x)f_1(y)</math>, כאשר <math>\ \deg(f_1)<\deg(f)</math>. לפי הנחת האינדוקציה יש הרחבה של <math>\ F_1</math> שמפצלת את <math>\ f_1</math>, והיא מפצלת גם את f.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>'''משפט'''. לכל פולינום f מעל שדה F יש שדה מפצל. '''הוכחה'''. באינדוקציה על המעלה. אם f ממעלה 1 אין מה להוכיח. אם f פריק סיימנו. אחרת יש ל-f שורש בשדה <math>\ F_1 = F[x]/<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">F[x]</ins>f</math>, ושם (כאיבר <math>\ f(y)\in F_1[y]</math>) הוא מתפרק לשני גורמים: <math>\ f(y) = (y-x)f_1(y)</math>, כאשר <math>\ \deg(f_1)<\deg(f)</math>. לפי הנחת האינדוקציה יש הרחבה של <math>\ F_1</math> שמפצלת את <math>\ f_1</math>, והיא מפצלת גם את f.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>14. ('''אוטומורפיזם פרובניוס'''). יהי F שדה עם מאפיין p. אז <math>\ (a+b)^p = a^p+b^p</math> (לפי הפיתוח הבינומי: p מחלק כל מקדם בינומי למעט הראשון והאחרון), ולכן תכונה זו מתקיימת אם מחליפים את p בחזקה של p.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>14. ('''אוטומורפיזם פרובניוס'''). יהי F שדה עם מאפיין p. אז <math>\ (a+b)^p = a^p+b^p</math> (לפי הפיתוח הבינומי: p מחלק כל מקדם בינומי למעט הראשון והאחרון), ולכן תכונה זו מתקיימת אם מחליפים את p בחזקה של p.</div></td></tr>
</table>
עוזי ו.
https://math-wiki.com/index.php?title=89-214_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%AA%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%A8%D7%99%D7%9D&diff=18909&oldid=prev
עוזי ו.: /* שדות סופיים - גרסה נטולת חוגים */
2012-01-25T18:31:01Z
<p><span dir="auto"><span class="autocomment">שדות סופיים - גרסה נטולת חוגים</span></span></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="he">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">→ הגרסה הקודמת</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">גרסה מ־18:31, 25 בינואר 2012</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l175">שורה 175:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">שורה 175:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>המשפט העיקרי שנוכיח בהמשך הוא שלכל חזקת ראשוני q, '''קיים''' שדה מסדר q. למען האמת השדה הזה הוא יחיד (ונקרא "שדה גלואה מסדר q"), אבל לא נוכל להוכיח זאת כאן.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>המשפט העיקרי שנוכיח בהמשך הוא שלכל חזקת ראשוני q, '''קיים''' שדה מסדר q. למען האמת השדה הזה הוא יחיד (ונקרא "שדה גלואה מסדר q"), אבל לא נוכל להוכיח זאת כאן.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>5. '''חוג הפולינומים''' (בלי להגדיר "חוג"). אם F שדה, אוסף הפולינומים במשתנה אחד מעליו, עם פעולות החיבור והכפל הטבעיות של פולינומים, נקרא '''חוג הפולינומים''' מעל F, ומסמנים אותו בסימון <math>\ F[x]</math> (או <math>\ F[y]</math>; שם המשתנה אינו חשוב). כל איבר של <math>\ F[x]</math> נקרא "פולינום מעל F". אם <math>\ F \subset K</math> תת-שדה, אז יש הכלה טבעית <math>\ F[x] \subset K[x]</math>, ולכן כל פולינום מעל F הוא באופן אוטומטי גם פולינום מעל K.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>5. '''חוג הפולינומים''' (בלי להגדיר "חוג"). אם F שדה, אוסף הפולינומים במשתנה אחד מעליו, עם פעולות החיבור והכפל הטבעיות של פולינומים, נקרא '''חוג הפולינומים''' מעל F, ומסמנים אותו בסימון <math>\ F[x]</math> (או <math>\ F[y]</math>; שם המשתנה אינו חשוב). <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">כמו במספרים השלמים, פולינום f מחלק פולינום g אם ורק אם קיים a כך ש-g=af. </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>כל איבר של <math>\ F[x]</math> נקרא "פולינום מעל F". אם <math>\ F \subset K</math> תת-שדה, אז יש הכלה טבעית <math>\ F[x] \subset K[x]</math>, ולכן כל פולינום מעל F הוא באופן אוטומטי גם פולינום מעל K.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>6. '''המעלה'''. המעלה היא פונקציה <math>\ F[x]\rightarrow \mathbb{N}\cup \{-\infty\}</math>, המוגדרת לפי החזקה העליונה הנוכחת בפולינום. פולינום ממעלה אפס נקרא '''סקלר'''. פונקציית המעלה מקיימת: <math>\ \deg(fg) = \deg(f)+\deg(g)</math> ו- <math>\ \deg(f+g) \leq \max\{\deg(f),\deg(g)\}</math>. </div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>6. '''המעלה'''. המעלה היא פונקציה <math>\ F[x]\rightarrow \mathbb{N}\cup \{-\infty\}</math>, המוגדרת לפי החזקה העליונה הנוכחת בפולינום. פולינום ממעלה אפס נקרא '''סקלר'''. פונקציית המעלה מקיימת: <math>\ \deg(fg) = \deg(f)+\deg(g)</math> ו- <math>\ \deg(f+g) \leq \max\{\deg(f),\deg(g)\}</math>. </div></td></tr>
</table>
עוזי ו.
https://math-wiki.com/index.php?title=89-214_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%AA%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%A8%D7%99%D7%9D&diff=18908&oldid=prev
עוזי ו.: /* שדות סופיים - גרסה נטולת חוגים */
2012-01-25T18:27:02Z
<p><span dir="auto"><span class="autocomment">שדות סופיים - גרסה נטולת חוגים</span></span></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="he">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">→ הגרסה הקודמת</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">גרסה מ־18:27, 25 בינואר 2012</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l213">שורה 213:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">שורה 213:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>15. '''הנגזרת הפורמלית'''. לכל פולינום, מעל כל שדה, אפשר להגדיר נגזרת לפי <math>\ (a_0+\cdots+a_nx^n) = a_1+2a_2x+\cdots+na_nx^{n-1}</math>. "חוק לייבניץ" <math>\ (fg)' = fg'+f'g</math> תקף ללא מגבלות.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>15. '''הנגזרת הפורמלית'''. לכל פולינום, מעל כל שדה, אפשר להגדיר נגזרת לפי <math>\ (a_0+\cdots+a_nx^n) = a_1+2a_2x+\cdots+na_nx^{n-1}</math>. "חוק לייבניץ" <math>\ (fg)' = fg'+f'g</math> תקף ללא מגבלות.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>16. '''ספרביליות'''. יהי f פולינום המתפצל בשדה f. אם יש לו פחות מ-n שורשים, אז בפירוק שלו לגורמים לינאריים מופיע גורם כלשהו פעמיים, ואז הגורם הזה מחלק את <math>\ f'</math>.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>16. <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">(</ins>'''ספרביליות'''<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">)</ins>. יהי f פולינום המתפצל בשדה f. אם יש לו פחות מ-n שורשים, אז בפירוק שלו לגורמים לינאריים מופיע גורם כלשהו פעמיים, ואז הגורם הזה מחלק את <math>\ f'</math>.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>17. יהי q חזקה של ראשוני p. נתבונן בפולינום <math>\ x^q-x</math> מעל השדה <math>\ \mathbb{Z}_p</math>. לפי סעיף 13 יש לו שדה מפצל, K. נאסוף את השורשים של הפולינום לקבוצה <math>\ K_0 = \{t \in K: t^q=t\}</math>. בקבוצה הזו לכל היותר q אברים (סעיף 13). מצד שני לא יכולים להיות בה פחות מ-q אברים לפי סעיף 16, שהרי <math>\ (x^q-x)' = qx^{q-1}-1 = -1</math>. לכן <math>\ |K_0|=q</math>. כעת, הקבוצה הזו סגורה לחיבור (סעיף 14) ולכפל, ולפי סעיף 2 היא שדה - מסדר q, כמובטח.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>17. יהי q חזקה של ראשוני p<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">. '''משפט'''. קיים שדה מסדר q. '''הוכחה'''</ins>. נתבונן בפולינום <math>\ x^q-x</math> מעל השדה <math>\ \mathbb{Z}_p</math>. לפי סעיף 13 יש לו שדה מפצל, K. נאסוף את השורשים של הפולינום לקבוצה <math>\ K_0 = \{t \in K: t^q=t\}</math>. בקבוצה הזו לכל היותר q אברים (סעיף 13). מצד שני לא יכולים להיות בה פחות מ-q אברים לפי סעיף 16, שהרי <math>\ (x^q-x)' = qx^{q-1}-1 = -1</math>. לכן <math>\ |K_0|=q</math>. כעת, הקבוצה הזו סגורה לחיבור (סעיף 14) ולכפל, ולפי סעיף 2 היא שדה - מסדר q, כמובטח.</div></td></tr>
</table>
עוזי ו.