הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/13.3.11"
(יצירת דף עם התוכן "=שיטות אינטגרציה {{הערה|(המשך)}}= ==דוגמה 0== פתור <math>\int e^\sqrt x\mathrm dx</math>. ===פתרון=== נשתמש בשיטת הה...") |
|||
שורה 3: | שורה 3: | ||
פתור <math>\int e^\sqrt x\mathrm dx</math>. | פתור <math>\int e^\sqrt x\mathrm dx</math>. | ||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | נשתמש בשיטת ההצבה | + | נשתמש בשיטת ההצבה: |
{| | {| | ||
{{=|l=\int e^\sqrt x\mathrm dx | {{=|l=\int e^\sqrt x\mathrm dx | ||
שורה 30: | שורה 30: | ||
|r=\frac12\int\frac{2x-4+4}{x^2-4x+8}\mathrm dx | |r=\frac12\int\frac{2x-4+4}{x^2-4x+8}\mathrm dx | ||
}} | }} | ||
− | {{=|r=\frac12\int\frac{2x-4}{x^2-4x+8}+2\int\frac1{x^2-4x+8}\mathrm dx | + | {{=|r=\frac12\int\frac{2x-4}{x^2-4x+8}\mathrm dx+2\int\frac1{x^2-4x+8}\mathrm dx |
}} | }} | ||
{{=|r=\frac12\ln\vert x^2-4x+8\vert+\int\frac{\mathrm dx}{(x-2)^2+4} | {{=|r=\frac12\ln\vert x^2-4x+8\vert+\int\frac{\mathrm dx}{(x-2)^2+4} | ||
|c=כאשר המכנה הוא פולינום אי פריק נכוון ל-<math>\arctan</math> (<math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}</math>): | |c=כאשר המכנה הוא פולינום אי פריק נכוון ל-<math>\arctan</math> (<math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}</math>): | ||
+ | }} | ||
{{=|r=\frac12\ln\vert x^2-4x+8\vert+\frac12\arctan\left(\frac{x-2}2\right)+c | {{=|r=\frac12\ln\vert x^2-4x+8\vert+\frac12\arctan\left(\frac{x-2}2\right)+c | ||
− | |c=לפי הנוסחה <math>\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2}=\frac1a\arctan\left(\frac xa\right)</math> | + | |c=לפי הנוסחה <math>\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2}=\frac1a\arctan\left(\frac xa\right)+c</math> |
}} | }} | ||
|} | |} | ||
שורה 49: | שורה 50: | ||
נמצא <math>\int\frac{2x+4}{x^3-2x^2}\mathrm dx</math>. | נמצא <math>\int\frac{2x+4}{x^3-2x^2}\mathrm dx</math>. | ||
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
− | <math>x^3-2x^2=x^2(x-2)</math> ולכן נחשב <math>\int\frac{-2x(x-2)- | + | <math>x^3-2x^2=x^2(x-2)</math> ולכן נחשב <math>\int\frac{-2x(x-2)-2(x-2)+2x^2}{x^2(x-2)}\mathrm dx=-2\int\frac{\mathrm dx}x-\int\frac{2\mathrm dx}{x^2}+2\int\frac{\mathrm dx}{x-2}=-2\ln|x|+\frac2x+2\ln|x-2|+c</math>. {{משל}} |
===דוגמה 4=== | ===דוגמה 4=== | ||
נחשב <math>\int\frac{x^2+x-2}{3x^3-x^2+3x-1}\mathrm dx</math>. | נחשב <math>\int\frac{x^2+x-2}{3x^3-x^2+3x-1}\mathrm dx</math>. |
גרסה מ־16:59, 13 במרץ 2011
תוכן עניינים
שיטות אינטגרציה (המשך)
דוגמה 0
פתור .
פתרון
נשתמש בשיטת ההצבה:
נציב ולכן: | ||||||
אינטגרציה בחלקים: | ||||||
אינטגרלים של פונקציות רציונליות
נמצא אינטגרלים לפונקציות מהצורה כאשר פולינומים. למשל, האינטגרלים ו-. פתרון שני האינטגרלים יכול להיות שונה כי האינטגרל הראשון אי-פריק ב-, בעוד שהשני כן פריק.
דוגמה 1
נפתור .
נפתור
באופן כללי, אם מעלת המונה היא n ומעלת המכנה היא n+1 נכוון ל- (כי . ואכן, אם אז . נשנה את המונה כך שיהיה :
כאשר המכנה הוא פולינום אי פריק נכוון ל- (): | ||||||
לפי הנוסחה |
לעומת זאת, אם המכנה הוא פולינום פריק (ואנו יודעים לפרק אותו) ניתן להשתמש בשיטת "פירוק לשברים" שמטרתה להוריד את דרגת המכנה - מחפשים A,B שיקיימו .
דוגמה 2
נחשב .
פתרון
קל לראות שהמכנה פריק ושווה ל-. עתה מחפשים A,B כנ"ל ומקבלים . לכן האינטגרל הוא .
דוגמה 3
נמצא .
פתרון
ולכן נחשב .
דוגמה 4
נחשב .
פתרון
אפשר לראות שהמכנה שווה ל-. ברור כי עבור השורש הוא 0, בעוד של- אין שורשים ממשיים. לכן יש למצוא A,B עבורם האינטגרל הוא . נקבל ולכן האינטגרל הוא .
כלל: כאשר הפונקציה רציונלית ומעלת המונה גדולה מהמכנה נפנה לחילוק פולינומים.
דוגמה 5
פתרון
נחלק:
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \begin{align}\overset{x}{\overline{x^4&-x^3&-x&-1}|x^3-x^2}\\\underline{x^4&-x^3}\\&&-x&-1\end{align}
ולכן יש לפתור את האינטגרל עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \int\left(x-\frac{x+1}{x^3-x^2}\right)\mathrm dx=\int x\mathrm dx-\int\frac{-2x(x-1)-x(x-1)+2x^2}{x^2(x-1)}\mathrm dx=\frac{x^2}2-\int\frac{2\mathrm dx}x^2}-\int\frac{\mathrm dx}{x^2}+\int\frac{2\mathrm dx}{x-1}=-2\ln|x|+\frac1x+2\ln|x-1|+c