הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/15.3.11"
(יצירת דף עם התוכן "דוגמה נוספת ל-<math>\int R(\cos(x),\sin(x))\mathrm dx</math>: <math>\int\frac{7\cos^3(x)\sin^2(x)-5\sin^4(x)}{2\cos^5(x)\sin^4(x)+4}\mathrm dx</math> י...") |
(אין הבדלים)
|
גרסה מ־15:03, 15 במרץ 2011
דוגמה נוספת ל-:
יש הצבה אוניברסלית: מציבים לכן
וכן
ו-
. האינטגרל הופך לאינטגרל של פונקציה רציונלית של t (שאפשר לחשב עם שברים חלקיים).
תוכן עניינים
דוגמאות=
: נציב t כנ"ל ונקבל
ומכאן פותרים בשברים חלקיים. גישה יותר חכמה: מתקיים
ולכן נגדיר
. האינטגרל הוא
. פותרים שברים חלקיים, אלא שהפעם זה יותר פשוט.
ועם
זה שווה ל-
. גישה אחרת:
נציב
והאינטגרל הוא
. דרך המלך:
.
נציב
ונקבל
וניתן לעשות זאת, אבל זה לא נעים. דרך אחרת:
ונציב
. נקבל
וקל לפתור זאת ע"י שברים חלקיים. דרך המלך:
נציב
ושוב הגענו ל-
. ניסיון אחרון:
.
.
אינטגרלים עם שורשים
לאינטגרל מהסוג עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \int R\left(x,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac nm\right),\dots,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac km\right)\mathrm dx
. תועיל הצבה:
=דוגמאות
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \int\frac{\mathrm dx}{x(\sqrt x+\sqrt[5]{x^2})}=\int\frac{\mathrm dx}{x(x^\frac 5{10}+x^\frac^4{10})}
נציבאזי נקבל
ופותרים בשברים חלקיים. דרך אחרת:
(כי
טור הנדסי). לפי זה נקבל עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \int\frac{\mathrm dt}{t^5(t+1)}=\int\frac{(1+t)(1-t+t^2-t^3+t^4)}{t^5(t+1)}\frac{-t^5}{(1+t)t^5}\mathrm dt=\int(t^{-5}-t^{-4}+t^{-3}-t^[-2}+t^{-1})\mathrm dt=\dots
.
נציב
ואז
וכך
לכן
נציב
והאינטגרל הוא
.
לאינטגרלים מהסוג עבור
: אם
אז תועיל הצבה
עבור q המכנה המשותף של n,m. למשל:
נציב
ונקבל
, שזה אינטגרל של פולינום (ארוך).
אם אז תועיל הצבה
עבור q המכנה של p. לדוגמה:
ולכן נציב
נקבל
.
דוגמאות נוספות
נציב עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \implis לא מוכרת): x=2\sin(t)\implis \mathrm dx=2\cos(t)\mthrm dt
ונקבל![]()
עבור
קבוע נציב <\math>x=a\tan(\theta)\implies \mathrm dx=a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta</math> ונקבל
. תשובה סופית:
.
נציב
ונקבל עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \mahrm לא מוכרת): \int\sqrt{a^2\sec^2(\theta)-a^2}a\sec(\theta)\tan(\theta)\mathrm d\theta=\int a^2\sec(\theta)\tan^2(\theta)\mahrm d\theta=a^2\int (\sec^2(\theta)-\sec(\theta))\mathrm d\theta
.
בחזרה לאינטגרל המסויים
כזכור, אם f רציפה ב- אז קיימת לה פונקציה קדומה F בקטע זה, ומתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ
.
אינטגרציה בחלקים באינטגרל המסויים
כזכור מתחילים עם הזהות ונקבל
. נעביר אגף לקבל
. בכל אינטגרציה בחלקים באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:
- להתעלם מהגבולות עד שנמצא פונקציה קדומה באינטגרל לא מסויים, ובסוף נחזיר את הגבול.
- להשתמש בנוסחה זו.
דוגמאות
. נקבל
-
גם באינטגרציה ע"י הצבה באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:
- להתעלם מהגבולות ולפתור אינטגרל מסויים, ואח"כ להציב גבולות.
- להחליף את הגבולות כאשר מחליפים משתנים. נסביר זאת:
בהצבה מתחילים כלל השרשרת אם F קדומה ל-f אז זה שווה ל-
לכן
פורמלית: באינטגרל עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \circle לא מוכרת): \int\limits_a^b (f\circle \phi)\cdot\phi'
מציבים![]()