שינויים
/* דוגמה 1 */
{{=|l=\int e^\sqrt x\mathrm dx
|r=\int 2ye^y\mathrm dy
|c=נציב <math>\begin{align}&y=\sqrt x\\\implies &x=y^2\\\implies &\mathrm dx=2y\mathrm dy\end{align}</math> ולכן:
}}
{{=|r=y\cdot e^y-\int e^y\mathrm dy
===דוגמה 1===
נפתור <math>I\int=\int\frac x{x^2-4x+8}\mathrm dx</math>.====נפתורפתרון====באופן כללי, אם מעלת המונה היא n ומעלת המכנה היא n+1 נכוון ל-<math>\ln</math> (כי <math>\int\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm dx=\ln|f(x)|+c</math>). ואכן, אם <math>f(x)=x^2-4x+8</math> אז <math>f'(x)=2x-4</math>. נשנה את המונה כך שיהיה <math>f'(x)</math>:
{|
{{=|l=I\int
|r=\frac12\int\frac{2x-4+4}{x^2-4x+8}\mathrm dx
}}
{{=|r=\frac12\int\frac{2x-4}{x^2-4x+8}\mathrm dx+2\int\frac1frac{\mathrm dx}{x^2-4x+8}\mathrm dx
}}
{{=|r=\frac12\ln\vert x^2-4x+8\vert+2\int\frac{\mathrm dx}{(x-2)^2+4}
|c=כאשר המכנה הוא פולינום אי פריק נכוון ל-<math>\arctan</math> (<math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}</math>):
}}
{{=|r=\frac12\ln\vert x^2-4x+8\vert+\frac12\arctan\left(\frac{x-2}2\right)+c |c=לפי הנוסחה <math>\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2}=\frac1a\arctan\left(\frac xa\right)+c</math>
}}
|}
----
לעומת זאת, אם המכנה הוא פולינום פריק (ואנו יודעים לפרק אותו) ניתן להשתמש בשיטת "פירוק לשברים" שמטרתה להוריד את דרגת המכנה - מחפשים A,B שיקיימו <math>\frac1{(x-a)(x-b)}=\frac A{x-a}+\frac B{x-b}</math>.
===דוגמה 2===
נחשב <math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2-4}</math>.
נמצא <math>\int\frac{2x+4}{x^3-2x^2}\mathrm dx</math>.
====פתרון====
<math>x^3-2x^2=x^2(x-2)</math> ולכן נחשב {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{-2x(x-2)-2(x-2)+2x^2}{x^2(x-2)}\mathrm dx\\&=-2\int\frac{\mathrm dx}x-\int\frac{2\mathrm dx}{x^2}+2\int\frac{\mathrm dx}{x-2}\\&=-2\ln|x|+\frac2x+2\ln|x-2|+c\end{align}</math>. }}{{משל}}
===דוגמה 4===
נחשב <math>\int\frac{x^2+x-2}{3x^3-x^2+3x-1}\mathrm dx</math>.
====פתרון====
אפשר לראות שהמכנה שווה ל-<math>x^2(3x-1)+(3x-1)=(3x-1)(x^2+1)</math>. ברור כי עבור <math>3x-1</math> השורש הוא 0יש שורש <math>\frac13</math>, בעוד של-<math>x^2+1</math> אין שורשים ממשיים. לכן יש למצוא A,B ,C עבורם האינטגרל האינטגרנד הוא <math>\frac A{3x-1}+\frac B{Bx+C}{x^2+1}</math>. נקבל <math>A=-\frac75,\ B=\frac45,\ C=\frac35</math> ולכן האינטגרל הוא {{left|<math>\begin{align}\int&=-\frac75\int\frac{\mathrm dx}{3x-1}+\frac45\int\frac x{x^2+1}\mathrm dx+\frac35\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}\\&=-\frac7{15}\ln|3x-1|+\frac25\ln(x^2+1)+\frac35\arctan(x)+c\end{align}</math>. }}{{משל}}
----
'''כלל:''' כאשר הפונקציה רציונלית ומעלת המונה גדולה מהמכנה נפנה לחילוק פולינומים.
נחלק:
{{left|
<math>\begin{align}\overset{&x}{\\&\overline{x^4&-x^3&-x&-1}\ |}\ x^3-x^2=x(x^3-x^2)-\frac{x+1}{x^3-x^2}\\-\\&\underline{x^4&-x^3}\\&&\ \ \ \ 0\ \ \ \ -x&-1\end{align}</math>
}}
ולכן יש לפתור את האינטגרל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\left(x-\frac{x+1}{x^3-x^2}\right)\mathrm dx\\&=\int x\mathrm dx-\int\frac{-2x(x-1)-x(x-1)+2x^2}{x^2(x-1)}\mathrm dx\\&=\frac{x^2}2-\int\frac{2\mathrm dx}{x^2}-\int\frac{\mathrm dx}{x^2}+\int\frac{2\mathrm dx}{x-1}\\&=-2\ln|x|+\frac1x+2\ln|x-1|+c\end{align}</math>}}{{משל}}
