משתמש:אור שחף/133 - תרגול/13.3.11: הבדלים בין גרסאות בדף
(יצירת דף עם התוכן "=שיטות אינטגרציה {{הערה|(המשך)}}= ==דוגמה 0== פתור <math>\int e^\sqrt x\mathrm dx</math>. ===פתרון=== נשתמש בשיטת הה...") |
מ (←דוגמה 1) |
||
| (2 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
| שורה 3: | שורה 3: | ||
פתור <math>\int e^\sqrt x\mathrm dx</math>. | פתור <math>\int e^\sqrt x\mathrm dx</math>. | ||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
נשתמש בשיטת ההצבה | נשתמש בשיטת ההצבה: | ||
{| | {| | ||
{{=|l=\int e^\sqrt x\mathrm dx | {{=|l=\int e^\sqrt x\mathrm dx | ||
|r=\int 2ye^y\mathrm dy | |r=\int 2ye^y\mathrm dy | ||
|c=נציב <math>y=\sqrt x\implies x=y^2\implies \mathrm dx=2y\mathrm dy</math> | |c=נציב <math>\begin{align}&y=\sqrt x\\\implies&x=y^2\\\implies&\mathrm dx=2y\mathrm dy\end{align}</math> | ||
}} | }} | ||
{{=|r=y\cdot e^y-\int e^y\mathrm dy | {{=|r=y\cdot e^y-\int e^y\mathrm dy | ||
| שורה 23: | שורה 23: | ||
===דוגמה 1=== | ===דוגמה 1=== | ||
נפתור <math> | נפתור <math>\int=\int\frac x{x^2-4x+8}\mathrm dx</math>. | ||
==== | ====פתרון==== | ||
באופן כללי, אם מעלת המונה היא n ומעלת המכנה היא n+1 נכוון ל-<math>\ln</math> (כי <math>\int\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm dx=\ln|f(x)|+c</math>. ואכן, אם <math>f(x)=x^2-4x+8</math> אז <math>f'(x)=2x-4</math>. נשנה את המונה כך שיהיה <math>f'(x)</math>: | באופן כללי, אם מעלת המונה היא n ומעלת המכנה היא n+1 נכוון ל-<math>\ln</math> (כי <math>\int\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm dx=\ln|f(x)|+c</math>). ואכן, אם <math>f(x)=x^2-4x+8</math> אז <math>f'(x)=2x-4</math>. נשנה את המונה כך שיהיה <math>f'(x)</math>: | ||
{| | {| | ||
{{=|l= | {{=|l=\int | ||
|r=\frac12\int\frac{2x-4+4}{x^2-4x+8}\mathrm dx | |r=\frac12\int\frac{2x-4+4}{x^2-4x+8}\mathrm dx | ||
}} | }} | ||
{{=|r=\frac12\int\frac{2x-4}{x^2-4x+8}+2\int\ | {{=|r=\frac12\int\frac{2x-4}{x^2-4x+8}\mathrm dx+2\int\frac{\mathrm dx}{x^2-4x+8} | ||
}} | }} | ||
{{=|r=\frac12\ln\vert x^2-4x+8\vert+\int\frac{\mathrm dx}{(x-2)^2+4} | {{=|r=\frac12\ln\vert x^2-4x+8\vert+2\int\frac{\mathrm dx}{(x-2)^2+4} | ||
|c=כאשר המכנה הוא פולינום אי פריק נכוון ל-<math>\arctan</math> (<math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}</math>): | |c=כאשר המכנה הוא פולינום אי פריק נכוון ל-<math>\arctan</math> (<math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}</math>): | ||
{{=|r=\frac12\ln\vert x^2-4x+8\vert+ | }} | ||
{{=|r=\frac12\ln\vert x^2-4x+8\vert+\arctan\left(\frac{x-2}2\right)+c | |||
}} | }} | ||
|} | |} | ||
| שורה 41: | שורה 41: | ||
---- | ---- | ||
לעומת זאת, אם המכנה הוא פולינום פריק (ואנו יודעים לפרק אותו) ניתן להשתמש בשיטת "פירוק לשברים" שמטרתה להוריד את דרגת המכנה - מחפשים A,B שיקיימו <math>\frac1{(x-a)(x-b)}=\frac A{x-a}+\frac B{x-b}</math>. | לעומת זאת, אם המכנה הוא פולינום פריק (ואנו יודעים לפרק אותו) ניתן להשתמש בשיטת "פירוק לשברים" שמטרתה להוריד את דרגת המכנה - מחפשים A,B שיקיימו <math>\frac1{(x-a)(x-b)}=\frac A{x-a}+\frac B{x-b}</math>. | ||
===דוגמה 2=== | ===דוגמה 2=== | ||
נחשב <math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2-4}</math>. | נחשב <math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2-4}</math>. | ||
| שורה 49: | שורה 50: | ||
נמצא <math>\int\frac{2x+4}{x^3-2x^2}\mathrm dx</math>. | נמצא <math>\int\frac{2x+4}{x^3-2x^2}\mathrm dx</math>. | ||
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
<math>x^3-2x^2=x^2(x-2)</math> ולכן | <math>x^3-2x^2=x^2(x-2)</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{-2x(x-2)-2(x-2)+2x^2}{x^2(x-2)}\mathrm dx\\&=-2\int\frac{\mathrm dx}x-\int\frac{2\mathrm dx}{x^2}+2\int\frac{\mathrm dx}{x-2}\\&=-2\ln|x|+\frac2x+2\ln|x-2|+c\end{align}</math>}}{{משל}} | ||
===דוגמה 4=== | ===דוגמה 4=== | ||
נחשב <math>\int\frac{x^2+x-2}{3x^3-x^2+3x-1}\mathrm dx</math>. | נחשב <math>\int\frac{x^2+x-2}{3x^3-x^2+3x-1}\mathrm dx</math>. | ||
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
אפשר לראות שהמכנה שווה ל-<math>(3x-1)(x^2+1)</math>. ברור כי עבור <math>3x-1</math> | אפשר לראות שהמכנה שווה ל-<math>x^2(3x-1)+(3x-1)=(3x-1)(x^2+1)</math>. ברור כי עבור <math>3x-1</math> יש שורש <math>\frac13</math>, בעוד של-<math>x^2+1</math> אין שורשים ממשיים. לכן יש למצוא A,B,C עבורם האינטגרנד הוא <math>\frac A{3x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}</math>. נקבל <math>A=-\frac75,\ B=\frac45,\ C=\frac35</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=-\frac75\int\frac{\mathrm dx}{3x-1}+\frac45\int\frac x{x^2+1}\mathrm dx+\frac35\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}\\&=-\frac7{15}\ln|3x-1|+\frac25\ln(x^2+1)+\frac35\arctan(x)+c\end{align}</math>}}{{משל}} | ||
---- | ---- | ||
'''כלל:''' כאשר הפונקציה רציונלית ומעלת המונה גדולה מהמכנה נפנה לחילוק פולינומים. | '''כלל:''' כאשר הפונקציה רציונלית ומעלת המונה גדולה מהמכנה נפנה לחילוק פולינומים. | ||
| שורה 61: | שורה 62: | ||
נחלק: | נחלק: | ||
{{left| | {{left| | ||
<math>\begin{align}\ | <math>\begin{align}&x\\&\overline{x^4-x^3-x-1\ |}\ x^3-x^2=x(x^3-x^2)-\frac{x+1}{x^3-x^2}\\-\\&\underline{x^4-x^3}\\&\ \ \ \ 0\ \ \ \ -x-1\end{align}</math> | ||
}} | }} | ||
ולכן | ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\left(x-\frac{x+1}{x^3-x^2}\right)\mathrm dx\\&=\int x\mathrm dx-\int\frac{-2x(x-1)-x(x-1)+2x^2}{x^2(x-1)}\mathrm dx\\&=\frac{x^2}2-\int\frac{2\mathrm dx}{x^2}-\int\frac{\mathrm dx}{x^2}+\int\frac{2\mathrm dx}{x-1}\\&=-2\ln|x|+\frac1x+2\ln|x-1|+c\end{align}</math>}} | ||
{{משל}} | |||
גרסה אחרונה מ־11:04, 18 במרץ 2011
שיטות אינטגרציה (המשך)
דוגמה 0
פתור [math]\displaystyle{ \int e^\sqrt x\mathrm dx }[/math].
פתרון
נשתמש בשיטת ההצבה:
| נציב [math]\displaystyle{ \begin{align}&y=\sqrt x\\\implies&x=y^2\\\implies&\mathrm dx=2y\mathrm dy\end{align} }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ \int 2ye^y\mathrm dy }[/math] | [math]\displaystyle{ = }[/math] | [math]\displaystyle{ \int e^\sqrt x\mathrm dx }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | |
| אינטגרציה בחלקים: | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ y\cdot e^y-\int e^y\mathrm dy }[/math] | [math]\displaystyle{ = }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | |
| [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ y e^y-e^y+c }[/math] | [math]\displaystyle{ = }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | ||
| [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ \sqrt x e^\sqrt x-e^\sqrt x+c }[/math] | [math]\displaystyle{ = }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] |
[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
אינטגרלים של פונקציות רציונליות
נמצא אינטגרלים לפונקציות מהצורה [math]\displaystyle{ \frac{p(x)}{q(x)} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ p,q }[/math] פולינומים. למשל, האינטגרלים [math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dx}{x^2+1} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dx}{x^2-1} }[/math]. פתרון שני האינטגרלים יכול להיות שונה כי האינטגרל הראשון אי-פריק ב-[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], בעוד שהשני כן פריק.
דוגמה 1
נפתור [math]\displaystyle{ \int=\int\frac x{x^2-4x+8}\mathrm dx }[/math].
פתרון
באופן כללי, אם מעלת המונה היא n ומעלת המכנה היא n+1 נכוון ל-[math]\displaystyle{ \ln }[/math] (כי [math]\displaystyle{ \int\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm dx=\ln|f(x)|+c }[/math]). ואכן, אם [math]\displaystyle{ f(x)=x^2-4x+8 }[/math] אז [math]\displaystyle{ f'(x)=2x-4 }[/math]. נשנה את המונה כך שיהיה [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math]:
| [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac12\int\frac{2x-4+4}{x^2-4x+8}\mathrm dx }[/math] | [math]\displaystyle{ = }[/math] | [math]\displaystyle{ \int }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | ||
| [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac12\int\frac{2x-4}{x^2-4x+8}\mathrm dx+2\int\frac{\mathrm dx}{x^2-4x+8} }[/math] | [math]\displaystyle{ = }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | ||
| כאשר המכנה הוא פולינום אי פריק נכוון ל-[math]\displaystyle{ \arctan }[/math] ([math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dx}{x^2+1} }[/math]): | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac12\ln\vert x^2-4x+8\vert+2\int\frac{\mathrm dx}{(x-2)^2+4} }[/math] | [math]\displaystyle{ = }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | |
| [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac12\ln\vert x^2-4x+8\vert+\arctan\left(\frac{x-2}2\right)+c }[/math] | [math]\displaystyle{ = }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] |
[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
לעומת זאת, אם המכנה הוא פולינום פריק (ואנו יודעים לפרק אותו) ניתן להשתמש בשיטת "פירוק לשברים" שמטרתה להוריד את דרגת המכנה - מחפשים A,B שיקיימו [math]\displaystyle{ \frac1{(x-a)(x-b)}=\frac A{x-a}+\frac B{x-b} }[/math].
דוגמה 2
נחשב [math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dx}{x^2-4} }[/math].
פתרון
קל לראות שהמכנה פריק ושווה ל-[math]\displaystyle{ (x-2)(x+2) }[/math]. עתה מחפשים A,B כנ"ל ומקבלים [math]\displaystyle{ A=\frac14,\ B=-\frac14 }[/math]. לכן האינטגרל הוא [math]\displaystyle{ \frac14\int\left(\frac1{x-2}-\frac1{x+2}\right)\mathrm dx=\frac14(\ln|x-2|-\ln|x+2|)+c }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
דוגמה 3
נמצא [math]\displaystyle{ \int\frac{2x+4}{x^3-2x^2}\mathrm dx }[/math].
פתרון
[math]\displaystyle{ x^3-2x^2=x^2(x-2) }[/math] ולכן
[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
דוגמה 4
נחשב [math]\displaystyle{ \int\frac{x^2+x-2}{3x^3-x^2+3x-1}\mathrm dx }[/math].
פתרון
אפשר לראות שהמכנה שווה ל-[math]\displaystyle{ x^2(3x-1)+(3x-1)=(3x-1)(x^2+1) }[/math]. ברור כי עבור [math]\displaystyle{ 3x-1 }[/math] יש שורש [math]\displaystyle{ \frac13 }[/math], בעוד של-[math]\displaystyle{ x^2+1 }[/math] אין שורשים ממשיים. לכן יש למצוא A,B,C עבורם האינטגרנד הוא [math]\displaystyle{ \frac A{3x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1} }[/math]. נקבל [math]\displaystyle{ A=-\frac75,\ B=\frac45,\ C=\frac35 }[/math] ולכן
[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
כלל: כאשר הפונקציה רציונלית ומעלת המונה גדולה מהמכנה נפנה לחילוק פולינומים.
דוגמה 5
[math]\displaystyle{ \int\frac{x^4-x^3-x-1}{x^3-x^2}\mathrm dx }[/math]
פתרון
נחלק:
[math]\displaystyle{ \begin{align}&x\\&\overline{x^4-x^3-x-1\ |}\ x^3-x^2=x(x^3-x^2)-\frac{x+1}{x^3-x^2}\\-\\&\underline{x^4-x^3}\\&\ \ \ \ 0\ \ \ \ -x-1\end{align} }[/math]
ולכן
[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]