הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/13.3.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - תרגול
מ (←דוגמה 1) |
|||
שורה 23: | שורה 23: | ||
===דוגמה 1=== | ===דוגמה 1=== | ||
− | נפתור <math> | + | נפתור <math>\int=\int\frac x{x^2-4x+8}\mathrm dx</math>. |
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
באופן כללי, אם מעלת המונה היא n ומעלת המכנה היא n+1 נכוון ל-<math>\ln</math> (כי <math>\int\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm dx=\ln|f(x)|+c</math>). ואכן, אם <math>f(x)=x^2-4x+8</math> אז <math>f'(x)=2x-4</math>. נשנה את המונה כך שיהיה <math>f'(x)</math>: | באופן כללי, אם מעלת המונה היא n ומעלת המכנה היא n+1 נכוון ל-<math>\ln</math> (כי <math>\int\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm dx=\ln|f(x)|+c</math>). ואכן, אם <math>f(x)=x^2-4x+8</math> אז <math>f'(x)=2x-4</math>. נשנה את המונה כך שיהיה <math>f'(x)</math>: | ||
{| | {| | ||
− | {{=|l= | + | {{=|l=\int |
|r=\frac12\int\frac{2x-4+4}{x^2-4x+8}\mathrm dx | |r=\frac12\int\frac{2x-4+4}{x^2-4x+8}\mathrm dx | ||
}} | }} | ||
שורה 41: | שורה 41: | ||
---- | ---- | ||
לעומת זאת, אם המכנה הוא פולינום פריק (ואנו יודעים לפרק אותו) ניתן להשתמש בשיטת "פירוק לשברים" שמטרתה להוריד את דרגת המכנה - מחפשים A,B שיקיימו <math>\frac1{(x-a)(x-b)}=\frac A{x-a}+\frac B{x-b}</math>. | לעומת זאת, אם המכנה הוא פולינום פריק (ואנו יודעים לפרק אותו) ניתן להשתמש בשיטת "פירוק לשברים" שמטרתה להוריד את דרגת המכנה - מחפשים A,B שיקיימו <math>\frac1{(x-a)(x-b)}=\frac A{x-a}+\frac B{x-b}</math>. | ||
+ | |||
===דוגמה 2=== | ===דוגמה 2=== | ||
נחשב <math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2-4}</math>. | נחשב <math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2-4}</math>. |
גרסה אחרונה מ־11:04, 18 במרץ 2011
תוכן עניינים
שיטות אינטגרציה (המשך)
דוגמה 0
פתור .
פתרון
נשתמש בשיטת ההצבה:
נציב | ||||||
אינטגרציה בחלקים: | ||||||
אינטגרלים של פונקציות רציונליות
נמצא אינטגרלים לפונקציות מהצורה כאשר פולינומים. למשל, האינטגרלים ו-. פתרון שני האינטגרלים יכול להיות שונה כי האינטגרל הראשון אי-פריק ב-, בעוד שהשני כן פריק.
דוגמה 1
נפתור .
פתרון
באופן כללי, אם מעלת המונה היא n ומעלת המכנה היא n+1 נכוון ל- (כי ). ואכן, אם אז . נשנה את המונה כך שיהיה :
כאשר המכנה הוא פולינום אי פריק נכוון ל- (): | ||||||
לעומת זאת, אם המכנה הוא פולינום פריק (ואנו יודעים לפרק אותו) ניתן להשתמש בשיטת "פירוק לשברים" שמטרתה להוריד את דרגת המכנה - מחפשים A,B שיקיימו .
דוגמה 2
נחשב .
פתרון
קל לראות שהמכנה פריק ושווה ל-. עתה מחפשים A,B כנ"ל ומקבלים . לכן האינטגרל הוא .
דוגמה 3
נמצא .
פתרון
ולכןדוגמה 4
נחשב .
פתרון
אפשר לראות שהמכנה שווה ל-. ברור כי עבור יש שורש , בעוד של- אין שורשים ממשיים. לכן יש למצוא A,B,C עבורם האינטגרנד הוא . נקבל ולכןכלל: כאשר הפונקציה רציונלית ומעלת המונה גדולה מהמכנה נפנה לחילוק פולינומים.
דוגמה 5
פתרון
נחלק: