שינויים

# <math>\int=\int\frac{\mathrm dx}{1+e^{2x}}</math>: נציב <math>t=e^x\implies\frac{\mathrm dt}t=\mathrm dx</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac1{1+t^2}\cdot\frac{\mathrm dt}t\\&=\int\left(\frac{-t}{1+t^2}+\frac1t\right)\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+\ln|t|+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{2x}\right)+x+c\end{align}</math>}}{{משל}}<br />דרך אחרת: <math>\int=\int\frac{e^{-x}}{e^{-x}+x^x}\mathrm dx</math>, נציב <math>t=e^{-x}\implies-\mathrm dt=e^{-x}\mathrm dx</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{-\mathrm dt}{t+1/t}\\&=\int\frac{-t}{1+t^2}\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{-2x}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}

#<math>\int\frac{e^x}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נגדיר <math>t=e^x</math> ולכן <math>\int=\int\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\arctan(t)+c=\arctan\left(e^x\right)+c</math> {{משל}}

# <math>\int\frac{e^{3x}}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=e^x\implies\mathrm dy=e^x\mathrm dx</math> לקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{y^2}{1+y^2}\mathrm dy\\&=\int\left(\frac{y^2+1}{y^2+1}-\frac1{1+y^2}\right)\mathrm dy\\&=y-\arctan(y)+c\\&=e^x-\arctan\left(e^x\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}

# <math>\int\frac{\mathrm dx}\sqrt{x-x^2}</math>: <math>t=\sqrt{1-x}\implies x=1-t^2\implies\mathrm dx=-2t\mathrm dt</math>. לפיכך {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt x\sqrt{1-x}}\\&=\int\frac{-2t\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}t}\\&=-2\arcsin(t)+c\\&=-2\arcsin\left(\sqrt{1-x}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}