שינויים

=האינטגרל המסויים {{הערה|(המשך)}}===דוגמאות===# <ol><li><math>\int\limits_0^2 x^2e^{x^3}\mathrm dx</math>.<ul><li>* שיטה א - נתעלם מהגבולות עד למציאת הפונקציה הקדומה: נציב <math>t=x^3\implies\frac{\mathrm dt}3=\mathrm dx</math>. לכן <math>\int=\int\frac{e^t}3\mathrm dt=\left[\frac{e^t}3\right]_{x=0}^2=\left[\frac{e^{x^3}}3\right]_{x=0}^2=\frac{e^8-1}3</math>.</li><li> {{משל}}* דרך ב - נחליף את הגבולות במהלך החישוב: <math>t=x^3\implies t|_{x=0}=0,\ t|_{x=2}=8</math> ולכן <math>\int=\int\limits_0^8\frac{e^t}3\mathrm dt=\left[\frac{e^t}3\right]_{t=0}^8=\frac{e^8-1}3</math>. {{משל}}</li></ulli># נחשב שטח עיגול בעל רדיוס r. <math>x^2+y^2=r^2\implies y=\sqrt{r^2-x^2}</math>. לכן השטח הוא <math>S=2\int\limits_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}\ \mathrm dx</math>. נציב <math>x=r\sin(\theta)</math>... ואז {{left|<math>\begin{align}S&=2\int\limits_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}\ r\cos(\theta)\mathrm d\theta\\&=2\int\limits_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}r^2\cos^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=2r^2\int\limits_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\frac{\cos(2\theta)+1}2\mathrm d\theta\\&=2r^2\left[\frac{\frac12\sin(2\theta)+\theta}2\right]_{\theta=-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\\&=2r^2\left(\frac14\cdot0+\frac\pi4-\frac14\cdot0+\frac\pi4\right)\\&=\pi r^2\end{align}</math>}} {{משל}} ''הערה: '' כאשר החלפנו את גבולות האינטגרציה בהצגה <math>x=r\sin(\theta)</math> היינו צריכים לבחור <math>\theta</math> כך ש-<math>x=r</math>, אבל יכולנו עבור מעגל שרדיוסו r מתחלק ב-4 עם שארית 1 היינו יכולים לבחור גם <math>\theta=\frac{r\pi}2</math> כי אז <math>x=r\sin(\theta)=r\sin\left(\frac{r\pi}2\right)=r</math>, ועבור <math>x=-r</math> יכולנו לבחור <math>-\frac{r\pi}2</math>. אם כן היינו מוצאים {{left|<math>\begin{align}S&=\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2 \sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}\ r\cos(\theta)\mathrm d\theta\\&=2\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2r^2\cos^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=2r^2\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2\frac{1+\cos(2\theta)}2\mathrm d\theta\\&=r\pi r^2\end{align}</math>. }}הטעות נובעת מכך שקבענו ש-<math>\sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}=\sqrt{r^2\cos^2(\theta)}=r\cos(\theta)</math>, מה שנכון רק כאשר <math>\cos(\theta)\ge0</math>. הטווח של האינטגרציה היה <math>\left[-\frac{r\pi}2,\frac{r\pi}2\right]</math>, שכולל תחומים בהם <math>\cos(\theta)<0</math>. בתחומים אלה צריך לבחור <math>\sqrt{r^2\cos^2(\theta)}=-r\cos(\theta)</math> ולחלק את הקטע <math>\left[-\frac{r\pi}2,\frac{r\pi}2\right]</math> לתחומים שונים לפי הסימן של <math>\cos(\theta)</math>.</li></ol>

# נפח של גוף סיבוב גרף (1). נסובב את השטח מתחת לגרף <math>y=f(x)</math> בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור <math>f(x)=c</math> קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו - <math>\pi c^2(b-a)</math>. כעת נניח ש-<math>f(x)\ge0</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. ובכן: נקח חלוקה כלשהי P של <math>[a,b]</math>, <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל <math>[x_{k-1},x_k]</math> מסתובב סביב ציר ה-x . עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> בקטע זה. נסמן ב-<math>V_k</math> הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרףשל f. אז מתקיים <math>\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V_k\le\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. יוצא שהנפח בסה"כ הוא <math>V=\sum_{k=1}^n V_k</math> ומתקיים <math>\sum_{k=1}^n\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V\le\sum_{k=1}^n\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. נעיר שהסכום בצד ימין הוא בדיוק <math>\overline S(\pi f^2,P)</math> ובצד שמאל <math>\underline S(\pi f^2,P)</math>. ז"א לכל עבור חלוקה P <math>\underline S(\pi f^2,P)\le V\le\overline S(\pi f^2,P)</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> וכיוון ש-f רציפה גם <math>\pi f^2</math> רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול : <math>\int\limits_a^b \pi f^2=V</math>.===דוגמאות===# נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: {{left|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_{-r}^r f^2\\&=\pi\int\limits_{-r}^r \left(r^2-x^2\right)\mathrm dx\\&=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{x=-r}^r\\&=2\pi\left(r^3-\frac{r^3}3\right)\\&=\frac43\pi r^3\end{align}</math>.}} {{משל}}# נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4) <math>y=\frac rhx+0</math>. לפי זה הנפח הוא {{left|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\left[\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h\\&=\frac{\pi r^2h}3\end{align}</math>, }}כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים.{{משל}}# תהא f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>n\in\mathbb N</math> נגדיר חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. כאשר לכל k <math>\forall k:\ x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n</math>. נרשום את הממוצע של f בנקודות החלוקה. הוא <math>\frac1n\sumsum_{k=1}^n f(x_k)</math>. לפי בחירת <math>P_n</math>, לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}</math> ונובע: <math>\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> (כאשר <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> הוא סכום רימן). נשאיף <math>n\to\infty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\lambda(P_n)\to0</math> מצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית , גם אם היא לא רציפה. ''גישה אחרת(אינטואיטיבית): '' אם <math>f(x)\ge0</math> רציפה אז <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.# אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(x_k,f(x_k))</math>. קירוב סביר לאורת לאורך הגרף נתון ע"י <math>L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)</math>, כאשר <math>d(A,B)</math> הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}</math>. לכן L אורך הגרף מקיים שלכל <math>P_n</math> <math>\forall n:\ L(P_n)\le L</math> ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\le\infty</math>. <br />דוגמה: נגדיר <math>f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)</math>. היא רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אבל אורך הגרף הוא <math>\infty</math>. <br />גרף (5). כאשר ראינו ש-{{left|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2} \ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)}\Delta x_k\end{align}</math> }}(ע"פ משפט לגראנז' יש <math>c_k</math> כזה כאלה כך ש-<math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math> והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. היה נתון ש-<math>f'(x)</math> רציפה ולכן גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה , וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx</math> והשערה . השערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. נוכיח זאת: נגדיר <math>I=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> וכן <math>L=\sup_n L(P_n)</math> ונניח <math>L<\infty</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת <math>P'</math> Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0<L-L(P'Q)<\frac\varepsilon2</math>. אם {{ltr|Q '}} עידון של <math>P'</math> Q אז <math>L(P'Q)\le L(Q')\le L</math> ולכן <math>0<L-L(Q')<\frac\varepsilon2</math>. כעת נתון ש-<math>f'</math> רציפה ולכן <math>\sqrt{1+f'^2(x)^2}</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. לכן קיים לפיכך קיימת <math>\delta>0</math> כך שאם P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> ואם S סכום רימן כלשהו הבנו הבנוי על P אז <math>|I-S|<\frac\varepsilon2</math>. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של <math>P'</math> Q כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. כבר למדנו ש-<math>L(P)</math> הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק <math>|I-L|=|I-S+S_LS-L|=|I-S+L(P)-L|\le|I-S|+|L(P)-L|<\varepsilon</math> ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-<math>\varepsilon</math> לכן הם ומכאן נובע שהם שווים. {{משל}}