הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/27.3.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - תרגול
(יצירת דף עם התוכן "=אינטגרציה {{הערה|(המשך)}}= עד כה דיברנו על אינטגרלים של פונקציות רציונליות (בפרט פולינומים), ...") |
(אין הבדלים)
|
גרסה מ־17:01, 27 במרץ 2011
תוכן עניינים
אינטגרציה (המשך)
עד כה דיברנו על אינטגרלים של פונקציות רציונליות (בפרט פולינומים), פונקציות טריגונומטריות וכו'.
עתה נדבר על פונקציות לא רציונליות.
דוגמה 1
חשב
-
. ====פתרון==== נרשום את האינטגרל כ-
. מתבקשת ההצבה
ולכן נקבל
ומכאן קל למצוא את הפתרון.
-
====פתרון==== נגדיר
. נקבל
הצבות טריגונומטריות
כאשר יש פונקציה מהצורה .
דוגמה 2
-
====פתרון==== נעזר במשלש ישר זווית: גרף (1)
חייב להיות אורך היתר. ההצבה המתבקשת היא
. נקבל
. נציב
אזי
-
====פתרון==== שוב נבנה משולש גרף 2. מתבקשת ההצבה
אזי
. נותר לפתור
עבור
. מכאן נותר רק לפתור בשברים חלקיים.
- עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \int\frac{\mathrm dx}{\left(4(x-3)^2-9\right)^\frac32
====פתרון==== ראשית נציב עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): y=x-y\implies \int=\int\frac{\mathrm dy}{\left(y^3-9\right)^\frac32
. נציב נקבל:
את האינטגרל הנ"ל קל לפתור ע"י הצבה
ואז
הצבות מיוחדות
ההצבה האוניברסלית: תמיד ניתן להציב ולכן
וגם
.
דוגמה 3
פתור את האינטגרלים הבאים באמצעות ההצבה האוניברסלית:
-
====פתרון====
-
=====פתרון==== נציב
לפיכך
. מסכנה: כאשר יש ביטוי מהצורה
ננסה להציב
.
אם יש ביטוי מהצורה כאשר הפולינום אי פריק נציב
. אם הפולינום בשורש כן פריק ושורשיו
נציב עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): c+bx+X^2=(\beta-x)^2^2
או עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): c+bx+X^2=(\alpha-x)^2^2
דוגמה 4
נחשב ====פתרון==== הפולינום שבשורש אי פריק, לכן נגדיר y עבורו
ואז