משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.3.11

מבוא לאינטגרציה נומרית (המשך)

3. שיטת הטרפזים: נעשה חלוקה שווה של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]: [math]\displaystyle{ a=x_0\lt x_1\lt \dots\lt x_n=b }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n=h }[/math]. חלוקת הקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] משרה חלוקת הגרף [math]\displaystyle{ y=f(x) }[/math]. נחבר את הנקודות האלה בגרף ע"י קווים ישרים, וכך ניצור איחוד של n טרפזים (במקום מלבנים בשיטה של סכומי רימן), והשטח הכולל של הטרפזים הוא קירוב של האינטגרל. לטרפז שמעל [math]\displaystyle{ [x_{k-1},x_k] }[/math] יש רוחב h ושני גבהים [math]\displaystyle{ f(x_{k-1}),\ f(x_k) }[/math]. לכן שטח אותו טרפז הוא [math]\displaystyle{ \frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h }[/math], והקירוב לאינטגרל הוא
   [math]\displaystyle{ \begin{align}\sum_{k=1}^n \frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h&=h\left(\frac{f(x_0)}2+\frac{f(x_1)}2+\dots+\frac{f(x_n)}2\right)\\&=\left(\frac{f(x_0)}2+\frac{f(x_n)}2\right)h+h\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)\end{align} }[/math]

   נותר לחשב את סדר הגודל של הטעות. נסמן לכל פונקציה g [math]\displaystyle{ I(g)=\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} g(x)\mathrm dx }[/math] וכן [math]\displaystyle{ T(g) }[/math] הקירוב של g ע"י טרפז. עתה נתמקד באחד הקטעים [math]\displaystyle{ [x_{k-1},x_k] }[/math] ונעריך את הטעות בו, השווה ל-[math]\displaystyle{ \int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x)\mathrm dx-\frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h=I(f)-T(f) }[/math]. נשים לב כי אם f לינארית בקטע אז הטעות היא 0.

   כעת נניח ש-f בעלת שתי נגזרות רציפות ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ונסמן [math]\displaystyle{ M=\max_{x\in[a,b]} |f''(x)| }[/math]. נפתח את f לפיתוח טיילור סביב הנקודה [math]\displaystyle{ x_{k-1} }[/math]: [math]\displaystyle{ f(x)=\underbrace{f(x_{k-1})+f'(x_{k-1})(x-x_{k-1})}_{P(x)}+\underbrace{\frac{f''(c)}2 (x-x_{k-1})^2}_{R(x)} }[/math], כאשר P הוא הפיתוח הלינארי של f ו-R השארית ממנו.

   לסיכום, עד כה הראינו כי [math]\displaystyle{ I(f)=I(P)+I(R) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ T(f)=T(P)+T(R) }[/math]. לכן השארית [math]\displaystyle{ I(f)-T(f) }[/math] היא [math]\displaystyle{ I(P)-T(P)+I(R)-T(R) }[/math], ומכיוון ש-P לינארית [math]\displaystyle{ I(P)-T(P)=0 }[/math], כלומר השארית היא [math]\displaystyle{ I(R)-T(R) }[/math]. נחשב:
   [math]\displaystyle{ \begin{align}|I(R)|&=\left|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{f''(c)}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\right|\\&\le\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{|f''(c)|}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\\&\le\frac M2\left[\frac{(x-x_{k-1})^3}3\right]_{x=x_{x-1}}^{x_k}\\&=\frac M2\frac{(x_k-x_{k-1})^3}3\\&=\frac {Mh^3}6\end{align} }[/math]
   וכן
   [math]\displaystyle{ \begin{align}T(R)&=\frac{\frac{f''(c)}2 (x_{k-1}-x_{k-1})^2+\frac{f''(c)}2 h^2}2h\\&=\frac{f''(c)(x_k-x_{k-1})^2}4h\\&\le\frac{Mh^3}4\end{align} }[/math]

   בסה"כ הטעות בקטע [math]\displaystyle{ [x_{k-1},x_k] }[/math] חסומה ע"י [math]\displaystyle{ \frac{Mh^3}4+\frac {Mh^3}6 }[/math]. יש n קטעים כאלה, לכן [math]\displaystyle{ |I(f)-T(f)|\le\frac {5Mh^3}{12}n=\frac {5Mh^2}{12}(b-a) }[/math].

4. כלל סימפסון (Simpson's Role): שוב נקרב את [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] בעזרת חלוקה שווה [math]\displaystyle{ a=x_0\lt x_1\lt \dots\lt x_n=b,\ h=\frac{b-a}n }[/math], אלא שהפעם נדרוש ש-n זוגי. הקירוב של סימפסון הוא [math]\displaystyle{ S(f)=\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right) }[/math]. למעשה, סימפסון מקרב [math]\displaystyle{ \int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ \frac h3\Big(f(x_{k-1}+4f(x_k)+f(x_{k+1})\Big) }[/math] לפני ההוכחה נציג שתי למות להשכלה כללית (באינפי):
   • נניח ש-f אינטגרבילית ואי-זוגית בקטע סימטרי [math]\displaystyle{ [-R,R] }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_{-R}^R f=0 }[/math].

     הוכחה

     נסמן [math]\displaystyle{ I_1=\int\limits_{-R}^0 f\ \and\ I_2=\int\limits_0^R f }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ I_1+I_2=\int\limits_{-R}^R f }[/math]. ב-[math]\displaystyle{ I_1 }[/math] נציב [math]\displaystyle{ t=-x\implies \mathrm dt=-\mathrm dx }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ I_1=\int\limits_{-(-R)}^{-0} f(-t)(-\mathrm dt)=-\left(-\int\limits_0^R -f(t)\mathrm dt\right)=-I_2 }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
   • נניח ש-f רציפה בסביבה של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] וגזירה בסביבה מנוקבת של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. עוד נניח שקיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f'(x)=L }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f'(x_0) }[/math] קיים ושווה ל-L.

     הוכחה

     לפי ההגדרה, אם f גזירה ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} }[/math], ולפי משפט לגראנז' זה שווה ל-[math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0} f'(c) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ c }[/math] כלשהו בין [math]\displaystyle{ x }[/math] ל-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. לכן, כאשר [math]\displaystyle{ x\to x_0 }[/math] גם [math]\displaystyle{ c\to x_0 }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ L=\lim_{c\to x_0} f'(c)=\lim_{x\to x_0} f'(c)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0) }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

   נחזור לכלל סימפסון.

   שלב א

   נניח ש-[math]\displaystyle{ h\gt 0 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ p(x) }[/math] פולינום ממעלה 3 או פחות. נוכיח ש-[math]\displaystyle{ \int\limits_{-h}^h p=\frac h3\left(p(-h)+4p(0)+p(h)\right)\implies I(p)=S(p) }[/math] (כאשר לכל f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [-h,h] }[/math] הגדרנו [math]\displaystyle{ I(f)=\int\limits_{-h}^h f }[/math]).