הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/5.4.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
(←דוגמאות חישוב) |
|||
שורה 2: | שורה 2: | ||
==דוגמאות חישוב== | ==דוגמאות חישוב== | ||
# נחשב <math>\int\limits_1^\infty xe^{-x}\mathrm dx</math>:{{left|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R xe^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}\left[x'\cdot(-x)e^{-x}\right]_{x=1}^R-\int\limits_1^R -e^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}-Re^{-R}+e^{-1}-[e^x]_{x=1}^R\\&=\frac2e\end{align}</math>}}דרך קיצור:{{left|<math>\int=[-xe^{-x}]_{x=1}^\infty+\int\limits_1^\infty -e^{-x}\mathrm dx=e^{-1}-[e^{-x}]_{x=1}^\infty=\frac2e</math>}} {{משל}} | # נחשב <math>\int\limits_1^\infty xe^{-x}\mathrm dx</math>:{{left|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R xe^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}\left[x'\cdot(-x)e^{-x}\right]_{x=1}^R-\int\limits_1^R -e^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}-Re^{-R}+e^{-1}-[e^x]_{x=1}^R\\&=\frac2e\end{align}</math>}}דרך קיצור:{{left|<math>\int=[-xe^{-x}]_{x=1}^\infty+\int\limits_1^\infty -e^{-x}\mathrm dx=e^{-1}-[e^{-x}]_{x=1}^\infty=\frac2e</math>}} {{משל}} | ||
− | # <math>\int\limits_1^\infty \frac x{1+x^4}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=x^2</math> ואז כאשר <math>x=1</math> נקבל <math>y=1</math> וכאשר <math>x\to\infty</math> נקבל <math>y\to\infty</math> ולכן <math>\int=\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dy}{1+y^2}\mathrm dy=\left[\frac12\arctan(y)\right]_{y=1}^\infty=...</math>. {{משל}} | + | # <math>\int\limits_1^\infty \frac x{1+x^4}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=x^2</math> ואז כאשר <math>x=1</math> נקבל <math>y=1</math> וכאשר <math>x\to\infty</math> נקבל <math>y\to\infty</math> ולכן <math>\int=\int\limits_1^\infty\frac{0.5\mathrm dy}{1+y^2}\mathrm dy=\left[\frac12\arctan(y)\right]_{y=1}^\infty=...</math>. {{משל}} |
# עבור <math>p>0</math> נחשב <math>\int\limits_1^\infty \frac{\mathrm dx}{x^p}</math>: אם <math>p=1</math> זה <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln|x|]_{x=1}^\infty=\infty</math>, כלומר מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_1^\infty=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{-p+1}}{-p+1}-\frac1{-p+1}=\begin{cases}\frac1{p-1}&p>1\\\infty&p<1\end{cases}</math>, כלומר האינטגרל מתכנס <math>p>1\ \iff</math>. הערה: עבור <math>p<1</math> מתקבל <math>\frac1{x^p}>\frac1x</math> בקטע <math>(1,\infty)</math>. לכן מבין הפונקציות <math>\frac1{x^p}</math>, הפונקציה המינימלית שעבורה האינטגרל על <math>[1,\infty)</math> מתבדר היא <math>\frac1x</math>. אבל יש פונקציה מסדר גודל יותר קטן מ-<math>\frac1x</math> שעבורן האינטגרל מתבדר, למשל <math>\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x\ln(x)}=\int\limits_2^\infty\frac{1/x}{\ln(x)}\mathrm dx=[\ln(\ln(x))]_{x=2}^\infty=\infty</math>. "קל לבדוק" שעבור <math>p>0</math> האינטגרל <math>\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^p}</math> מתכנס אם"ם <math>p>1</math>. {{משל}} | # עבור <math>p>0</math> נחשב <math>\int\limits_1^\infty \frac{\mathrm dx}{x^p}</math>: אם <math>p=1</math> זה <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln|x|]_{x=1}^\infty=\infty</math>, כלומר מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_1^\infty=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{-p+1}}{-p+1}-\frac1{-p+1}=\begin{cases}\frac1{p-1}&p>1\\\infty&p<1\end{cases}</math>, כלומר האינטגרל מתכנס <math>p>1\ \iff</math>. הערה: עבור <math>p<1</math> מתקבל <math>\frac1{x^p}>\frac1x</math> בקטע <math>(1,\infty)</math>. לכן מבין הפונקציות <math>\frac1{x^p}</math>, הפונקציה המינימלית שעבורה האינטגרל על <math>[1,\infty)</math> מתבדר היא <math>\frac1x</math>. אבל יש פונקציה מסדר גודל יותר קטן מ-<math>\frac1x</math> שעבורן האינטגרל מתבדר, למשל <math>\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x\ln(x)}=\int\limits_2^\infty\frac{1/x}{\ln(x)}\mathrm dx=[\ln(\ln(x))]_{x=2}^\infty=\infty</math>. "קל לבדוק" שעבור <math>p>0</math> האינטגרל <math>\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^p}</math> מתכנס אם"ם <math>p>1</math>. {{משל}} | ||
# נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב-<math>[1,\infty)</math> ונניח ש-<math>\int\limits_1^\infty f=\infty</math>. נוכיח כי קיימת פונקציה g אי-שלילית ורציפה ב-<math>[1,\infty)</math> מסדר גודל יותר קטן מ-f, ז"א <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty</math>, ועדיין <math>\int\limits_1^\infty g(x)\mathrm dx=\infty</math>. ובכן נגדיר <math>F(x)=\int\limits_1^x f</math> אז כמובן ש-<math>F'(x)=f(x)</math> ולפי הנתון <math>\lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_1^\infty f=\infty</math> נגדיר <math>g(x)=\frac {f(x)}{F(x)}</math> ולכן <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac {f(x)}{f(x)/F(x)}=\lim_{x\to\infty}F(x)=\infty</math> ז"א g מסדר גודל קטן מ-f. כעת <math>\int\limits_1^\infty g=\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}{F(x)}\mathrm dx=\int\limits_1^\infty \frac{F'(x)}{F(x)}\mathrm dx=[\ln(F(x))]_{x=1}^\infty=\infty</math>. {{משל}} | # נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב-<math>[1,\infty)</math> ונניח ש-<math>\int\limits_1^\infty f=\infty</math>. נוכיח כי קיימת פונקציה g אי-שלילית ורציפה ב-<math>[1,\infty)</math> מסדר גודל יותר קטן מ-f, ז"א <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty</math>, ועדיין <math>\int\limits_1^\infty g(x)\mathrm dx=\infty</math>. ובכן נגדיר <math>F(x)=\int\limits_1^x f</math> אז כמובן ש-<math>F'(x)=f(x)</math> ולפי הנתון <math>\lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_1^\infty f=\infty</math> נגדיר <math>g(x)=\frac {f(x)}{F(x)}</math> ולכן <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac {f(x)}{f(x)/F(x)}=\lim_{x\to\infty}F(x)=\infty</math> ז"א g מסדר גודל קטן מ-f. כעת <math>\int\limits_1^\infty g=\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}{F(x)}\mathrm dx=\int\limits_1^\infty \frac{F'(x)}{F(x)}\mathrm dx=[\ln(F(x))]_{x=1}^\infty=\infty</math>. {{משל}} |
גרסה מ־14:40, 20 באפריל 2011
תוכן עניינים
אינטגרל לא אמיתי (המשך)
דוגמאות חישוב
- נחשב
:
דרך קיצור: -
: נציב
ואז כאשר
נקבל
וכאשר
נקבל
ולכן
.
- עבור
נחשב
: אם
זה
, כלומר מתבדר. עבור
נקבל
, כלומר האינטגרל מתכנס
. הערה: עבור
מתקבל
בקטע
. לכן מבין הפונקציות
, הפונקציה המינימלית שעבורה האינטגרל על
מתבדר היא
. אבל יש פונקציה מסדר גודל יותר קטן מ-
שעבורן האינטגרל מתבדר, למשל
. "קל לבדוק" שעבור
האינטגרל
מתכנס אם"ם
.
- נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב-
ונניח ש-
. נוכיח כי קיימת פונקציה g אי-שלילית ורציפה ב-
מסדר גודל יותר קטן מ-f, ז"א
, ועדיין
. ובכן נגדיר
אז כמובן ש-
ולפי הנתון
נגדיר
ולכן
ז"א g מסדר גודל קטן מ-f. כעת
.
- נניח ש-f אי-שלילית ורציפה ב-
ו-
מתכנס. נוכיח שקיימת g אי-שלילת מסדר גודל גדול מ-f כך ש-
מתכנס.
בנייה: נגדירלכן
לכן
קיים ושווה ל-L. אם נגדיר
אז g מסדר גודל כמו של f וזה לא עוזר, לכן יש להגדיר
אז
וכיוון שהאינטגרל של f מתכנס,
. נגדיר
חילקנו את f בפונקציה ששואפת ל-0 באינסוף, ולכן g מסדר גודל יותר גדול מ-f. יתר על כן
-
, כלומר האינטגרל מתבדר לחלוטין.
- נתבונן באינטגרל
- מתכנס או מתבדר? נוכיח שמתכנס בעזרת משפט לייבניץ על טורים. נבחר N טבעי ונבטא את האינטגרל החלקי (כאשר
):
. נסמן
. טענה: המספרים
מקיימים
(ולכן הטור שמתפתח הוא טור לייבניץ).
- אם k אי-זוגי אז
בקטע
ואם k זוגי אז
בקטע. לכן הטענה הראשונה מתקיימת.
- לכל k טבעי
כי
בעלת סימן קבוע ב-
. נציב
על מנת לקבל
ומכיוון ש-
זה שווה ל-
ואילו
, ומכיוון ש-
הטענה השנייה מתקיימת.
. ואכן
. לסיכום
וה-
יוצרים טור לייבניץ. ע"פ משפט ליבניץ הטור
מתכנס, נאמר ל-L. טענה:
. הוכחה: יהי
נתון. לפי הנתון קיים
כך שלכל
מתקיים
. כמו כן
ולכן קיים
כך שלכל
מתקיים
. אם
אזי
משפט 1
נניח שהפונקציות f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות בקטע ו-c מספר קבוע. אזי הפונקציה
אינטגרבילית ב-
ומתקיים
.
הוכחה
לפי הגדרה .
משפט 2
תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב- ויהי
. אזי האינטגרל
מתכנס אם"ם
מתכנס, ואם כן
. ההוכחה פשוטה מדי.
משפט 3
- תהי f מוגדרת ועולה בקטע
. אזי
קיים אם"ם
, ואם כן
.
- תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-
. עוד נניח ש-
בקטע זה, אזי
מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים
חסומים מלעיל.
הוכחות
- נניח
. טענה:
קיים ושווה ל-m. הוכחה: לפי אפיון החסם העליון, אם
אזי קיים
כך ש-
לכן עבור כל
מתקיים (מכיוון ש-f עולה)
. בפרט, לכל
מתקיים
ולכן
ואם
(לא חסום) אז לכל
קיים
כך ש-
. כעת, אם
אז
. נובע ש-
ואין גבול במובן הצר.
- לכל
נגדיר
. כיוון ש-
לכל
,
עולה עם R. האינטגרל הלא אמיתי מקיים
וראינו בסעיף 1 שהגבול של
קיים אם"ם
חסומה מלעיל, ז"א אם"ם
חסום מלעיל כאשר
.
מסקנה
מתוך ההוכחה ראינו שאם האינטגרל הלא אמיתי של פונקציה אינטגרבילית מקומית אי-שלילית מתבדר אז הוא מתכנס במובן הרחב ל-.