הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/3.4.11"
מ (←סוג א) |
מ (←אינטגרל לא אמיתי {{הערה|(improper integral)}}) |
||
שורה 32: | שורה 32: | ||
* ולפי סימפסון: {{left|<math>\begin{array}{l}\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{1}f(x_{2k})+f(x_4)\right)\\=\frac1{12}\left(1+4\frac45+2\frac23+4\frac47+\frac12\right)\\\approx\underline{0.693}253968\end{array}</math>}} נחשב את סדר הגודל של הטעות בקירוב סימפסון: {{left|<math>f'(x)=-x^{-2}\implies f''(x)=2x^{-3}\implies f^{(3)}(x)=-6x^{-4}\implies f^{(4)}(x)=24x^{-5}</math>}} ולכן <math>M=\max_{x\in[1,2]}\left|24x^{-5}\right|=24</math> והטעות R בקירוב מקיימת <math>|R|\le\frac{Mh^4}{180}(2-1)=\frac1{1920}<5.21\cdot10^{-4}</math> | * ולפי סימפסון: {{left|<math>\begin{array}{l}\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{1}f(x_{2k})+f(x_4)\right)\\=\frac1{12}\left(1+4\frac45+2\frac23+4\frac47+\frac12\right)\\\approx\underline{0.693}253968\end{array}</math>}} נחשב את סדר הגודל של הטעות בקירוב סימפסון: {{left|<math>f'(x)=-x^{-2}\implies f''(x)=2x^{-3}\implies f^{(3)}(x)=-6x^{-4}\implies f^{(4)}(x)=24x^{-5}</math>}} ולכן <math>M=\max_{x\in[1,2]}\left|24x^{-5}\right|=24</math> והטעות R בקירוב מקיימת <math>|R|\le\frac{Mh^4}{180}(2-1)=\frac1{1920}<5.21\cdot10^{-4}</math> | ||
− | =אינטגרל לא אמיתי | + | =אינטגרל לא אמיתי, סוג I= |
− | עד עתה הגדרנו אינטגרלים מסויימים רק עבור פונקציות חסומות בקטעים סופיים. אם הפונקציה לא חסומה ו/או הקטע לא חסום עדיין ניתן להגדיר "אינטגרל לא אמיתי". | + | עד עתה הגדרנו אינטגרלים מסויימים רק עבור פונקציות חסומות בקטעים סופיים. אם הפונקציה לא חסומה ו/או הקטע לא חסום עדיין ניתן להגדיר "אינטגרל לא אמיתי" (improper integral). |
− | + | ||
אינטגרלים של קטעים אינסופיים מהסוג <math>\int\limits_{-\infty}^b f,\ \int\limits_a^\infty f,\ \int\limits_{-\infty}^\infty f</math>. | אינטגרלים של קטעים אינסופיים מהסוג <math>\int\limits_{-\infty}^b f,\ \int\limits_a^\infty f,\ \int\limits_{-\infty}^\infty f</math>. | ||
שורה 47: | שורה 47: | ||
עבור f מוגדרת בכל <math>\mathbb R</math> נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית מקומית בכל קטע סופי, ואם כן נגדיר <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> עבור <math>a\in\mathbb R</math> כרצוננו עבורו שני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים. | עבור f מוגדרת בכל <math>\mathbb R</math> נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית מקומית בכל קטע סופי, ואם כן נגדיר <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> עבור <math>a\in\mathbb R</math> כרצוננו עבורו שני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים. | ||
− | + | ==דוגמאות== | |
# <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}</math>. נחשב: {{left|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R\frac{\mathrm dx}{x^2}\\&=\lim_{R\to\infty}\left[-\frac1x\right]_{x=1}^R\\&=\lim_{R\to\infty}\left(-\frac1R+1\right)\\&=1\end{align}</math>}} ניתן גם לכתוב בקיצור: <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}=\left[-\frac1x\right]_{x=1}^\infty=0-(-1)=1</math>. | # <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}</math>. נחשב: {{left|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R\frac{\mathrm dx}{x^2}\\&=\lim_{R\to\infty}\left[-\frac1x\right]_{x=1}^R\\&=\lim_{R\to\infty}\left(-\frac1R+1\right)\\&=1\end{align}</math>}} ניתן גם לכתוב בקיצור: <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}=\left[-\frac1x\right]_{x=1}^\infty=0-(-1)=1</math>. | ||
# <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln|x|]_{x=1}^\infty=\ln(\infty)-0=\infty</math>, כלומר האינטגרל מתבדר (אך מתכנס במובן הרחב). | # <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln|x|]_{x=1}^\infty=\ln(\infty)-0=\infty</math>, כלומר האינטגרל מתבדר (אך מתכנס במובן הרחב). |
גרסה מ־11:19, 2 במאי 2011
מבוא לאינטגרציה נומרית (המשך)
בהרצאה הקודמת הצגנו את כלל סימפסון לקירוב האינטגרל המסויים והראנו שהטעות בחישוב בקטע חסומה ע"י
כאשר h המרחק בין שתי נקודות סמוכות בחלוקה שבחרנו. ניתן גישה אחרת למציאת הטעות, שהיא יותר קצרה ונותנת ערך יותר קטן לחסם של הטעות, אבל היא פחות אינטואיטיבית:
![\int\limits_{-h}^h f\approx\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h))](/images/math/a/c/2/ac20f25ab8c981d2ca02e6d63422bfff.png)
![G(h):=\int\limits_{-h}^h f-\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h))](/images/math/0/3/e/03e9b2c8a97b1fd8fa1b7d499aa63d71.png)
![G(0)=0](/images/math/4/9/6/4962f4a34499e1aca89681f8127e1ab7.png)
![\begin{align}\frac\mathrm d{\mathrm dh}G(h)&=\frac\mathrm d{\mathrm dh}\left(F(h)-F(-h)-\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h))\right)\\&=f(h)+f(-h)-\frac13(f(-h)+4f(0)+f(h))-\frac h3(-f'(-h)+f'(h))\end{align}](/images/math/4/3/b/43b32606b5034c8d835b99086fe25671.png)
לכן . ע"פ הלמה השנייה בהרצאה הקודמת
קיים ושווה ל-0. נגזור שוב את G ונקבל
. מכאן ש-
. נמשיך לגזור פעמיים נוספות ונקבל
וגם
. עתה:
![]() |
![]() |
![]() |
||||
לפי משפט קושי קיים ![]() |
![]() |
![]() |
||||
![]() |
![]() |
|||||
קיים ![]() |
![]() |
![]() |
||||
קיים ![]() |
![]() |
![]() |
||||
קיים ![]() |
![]() |
![]() |
![M:=\max_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right|](/images/math/e/f/c/efc5b75b335a88530d1277770b0ba498.png)
![c\in(-h,h)](/images/math/8/b/e/8beeedb2a2e5ebc707765a5b6b531641.png)
![\frac{f^{(3)}(h)-f^{(3)}(-h)}{2h}=f^{(4)}(c)](/images/math/e/e/4/ee4c006b2ccd3b103f0d5c1c6c6a2995.png)
![\left|f^{(3)}(h)-f^{(3)}(-h)\right|\le2hM](/images/math/0/2/4/024eee4288117dcb1b0fdf898d869642.png)
![\begin{align}\left|G^{(4)}(h_4)\right|&\le\left|-\frac13\left(f^{(3)}(-h_4)+f^{(3)}(h_4)\right)\right|+\left|\frac{h_4}3\left(f^{(4)}(-h_4)+f^{(4)}(h_4)\right)\right|\\&\le\frac{2h_4}3M+\frac{h_4}32M\\&=\frac43Mh_4\end{align}](/images/math/9/7/b/97b5d82c35736bea95bbe7220807d1bf.png)
עתה וקיבלנו ש-
, כלומר הטעות בכל קטע מהסוג
חסומה ע"י
. ב-
יש
ולפיכך הטעות חסומה ע"י
.
דוגמה
נקרב . נבחר
. נציב:
![\begin{array}{l|l}\underline x&\underline{1/x}\\1&1\\1.25&4/5\\1.5&2/3\\1.75&4/7\\2&1/2\end{array}](/images/math/d/c/a/dca511a7315733680f8e3aa50f741ed0.png)
- הקירוב לפי סכום רימן הוא
.
- כעת נעשה קירוב בשיטת הטרפזים:
- ולפי סימפסון: נחשב את סדר הגודל של הטעות בקירוב סימפסון:ולכן
והטעות R בקירוב מקיימת
אינטגרל לא אמיתי, סוג I
עד עתה הגדרנו אינטגרלים מסויימים רק עבור פונקציות חסומות בקטעים סופיים. אם הפונקציה לא חסומה ו/או הקטע לא חסום עדיין ניתן להגדיר "אינטגרל לא אמיתי" (improper integral).
אינטגרלים של קטעים אינסופיים מהסוג .
הגדרה: תהי f פונקציה מוגדרת בקטע מהסוג . נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית (locally integrable) בקטע זה אם לכל
f אינטגרבילית בקטע
.
למשל, אם f רציפה למקוטעין אז היא אינטגרבילית מקומית.
הגדרה: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב- נגדיר
. אם הגבול קיים נאמר שהאינטגרל מתכנס, אחרת הוא מתבדר.
אינטגביליות מקומית מוגדרת באופן דומה עבור קטע מהצורה ואם f אינטגרבילית מקומית שם נגדיר
.
עבור f מוגדרת בכל נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית מקומית בכל קטע סופי, ואם כן נגדיר
עבור
כרצוננו עבורו שני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים.
דוגמאות
-
. נחשב:
ניתן גם לכתוב בקיצור:.
-
, כלומר האינטגרל מתבדר (אך מתכנס במובן הרחב).
- שאלה מארה"ב מלפני הרבה שנים: חצוצרה אינסופית תתקבל מסיבוב הגרף
סביב ציר ה-x ב-
. איך צובעים אותו מבפנים?
פתרון: לכאורה זה בלתי אפשרי, כי שטח הפנים של החצוצרה הוא, כלומר אין מספיק צבע בעולם. אך מכיוון שכמות הצבע נמדדת ביחידות נפח ולא שטח, ומכיוון שהנפח בתוך החצוצרה הוא
, יספיקו לנו
יחידות מעוקבות של צבע ואפילו ישאר לנו עודף.
שאלה: האם התכנסות האינטגרל גוררת ש-
(בדומה לטורים)?
תשובה: לא. נגדיר פונקציה f שהגרף שלה הוא
![\int\limits_0^\infty f=](/images/math/4/f/e/4fefca05d7d25512babbf19661055bb7.png)
![=\lim_{n\to\infty}\frac12\left(1+\frac12+\frac14+\frac18+\dots+\frac1{2^n}\right)=\frac22=1](/images/math/6/b/5/6b5223a885dadeae70dee2cc85bcc1b3.png)
כלומר האינטגרל מתכנס, אבל לא קיים.