הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/8.5.11"
(יצירת דף עם התוכן "=אינטגרל= ==דוגמה 1== ראינו בשיעור שעבר כי <math>\int\limits_0^1\frac{\cos\left(\frac1x\right)}x\mathrm dx</math> מתכנס לפי ד...") |
(אין הבדלים)
|
גרסה מ־15:32, 8 במאי 2011
תוכן עניינים
אינטגרל
דוגמה 1
ראינו בשיעור שעבר כי מתכנס לפי דיריכלה. נראה שלא מתכנס בהחלט.
פתרון
ברור כי ולכן
. מספיק להסתכל על
. ברור שאינטגרל II מתבדר, ולכן אם אינטגרל I מתכנס אז סיימנו את ההוכחה: נציב עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \frahttp לא מוכרת): y=\frahttp://www.math-wiki.com/skins/common/images/button_math.pngc2x
ואזנקבל
שמתכנס לפי דיריכלה.
![]()
דוגמה 2
קבעו האם מתכנס או מתבדר.
פתרון
נחלק לשני אינטגרלים עבור
, לכן
. ברור ש-
מתכנס ולכן לפי מבחן ההשוואה
מתכנס.
עבור
שוב נסכל על
ולכן גם כן מתכנס לפי מבחן ההשוואה. לסיכום האינטגרל מתכנס.
נושא שני:
התכנסות של פונקציות
לדוגמה נתבונן בסדרת הפונקציות . קל לראות שאת סדרת הפונקציות ניתן לרשום כ-
. לדגמה, נבחר
. קל לראות ש-
, ולכן
היא פונקצית הגבול.
הגדרות
- סדרה
של פונקציות היא התאמה שבה לכל n טבעי מותאמת פונקציה
.
- אם לכל
בקטע הסדרה
מתכנסת, אז נאמר כי סדרת הפונקציות "מתכנסת נקודתית" ונסמן
.
דוגמה 1
קבעו התכנסות של ב-
.
פתרון
נחלק לשני מקרים:
- אם
אז
.
- אם
אז
.
דוגמה 2
בדקו התכנסות של ב-
.
פתרון
נחלק למקרים:
הגדרה: תהינה סדרת פונקציות בקטע I. נאמר כי
מתכנסת במ"ש אם לכל
קיים
כך שלכל
ולכל
מתקיים
.
דוגמה 3
נתונה . קבע האם f מתכנסת נקודתית/במ"ש ב-
.
פתרון
במקרה שלנו קל לראות ש- מתכנסת נקודתית ל-
כי
מסקנה
עבור התכנסות במ"ש נבדוק פי הגדרה צריך לכל קיים
כך שלכל
ולכל
בקטע מתקיים
נציב עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): |f_n(x)-f(x)|=\left|\left(1+\frac1n\right)x^2-x^2|=\frac{x^2}n\le\frac1n<\varepsilon
ולכן מספיק לבחורונקבל את הדרוש.
דוגמה 4
הראה כי לא מתכנסת במ"ש ב-
.
פתרון
מצאנו בדוגמה 2 ש-. נשים לב כי
ז"א
(לפי הגדרת