הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11"
(תיקון פונקצית דיריכלה) |
|||
שורה 2: | שורה 2: | ||
'''הערה:''' האינטגרל הוא '''לא''' שטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח מתחת לגרף מוגדר לפי האינטגרל. | '''הערה:''' האינטגרל הוא '''לא''' שטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח מתחת לגרף מוגדר לפי האינטגרל. | ||
===דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף=== | ===דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף=== | ||
− | + | [[קובץ:השטח מתחת ל-x בריבוע לפי מלבנים.png|300px|ממוזער|ימין|הגרף של <math>y=x^2</math> והמלבנים החוסמים (עם גבול ירוק) והחסומים (בצבע כחול).]] | |
− | + | נתון הגרף של y=x<sup>2</sup> ונרצה לחשב את השטח שמתחת לו בקטע <math>[0,1]</math>. | |
− | + | נחלק את הקטע: | |
− | + | ||
{{left|<math>0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1</math>}} | {{left|<math>0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1</math>}} | ||
− | + | כך שבאופן כללי <math>x_k=k/n</math> (בגרף מוצג המקרה הפרטי <math>n=4</math>). | |
− | מעל כל תת קטע | + | מעל כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חוסם" שגובהו <math>\left({k\over n}\right)^2=x_k^2</math>. ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם {{left|<math>\overline S:=\sum_{k=1}^n\frac1n\left({k\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>}} |
− | כמו כן, מעל כל קטע | + | כמו כן, מעל כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חסום" שגובהו <math>\left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2</math>. ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום {{left|<math>\underline S:=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}</math>}} |
− | כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-<math>\underline S\le A\le\overline S</math>, ז"א <math>\frac{ | + | כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-<math>\underline S\le A\le\overline S</math>, ז"א <math>\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}\le A\le\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}</math>. הדבר נכון לכל <math>n\in\mathbb N</math> ולכן נוכל להשאיף את <math>n\to\infty</math> ולקבל |
<math>\frac13\le A\le\frac13</math>, לכן <math>A=\frac13</math>. {{משל}} | <math>\frac13\le A\le\frac13</math>, לכן <math>A=\frac13</math>. {{משל}} | ||
+ | |||
---- | ---- | ||
+ | |||
'''הגדרה:''' תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל-f ב-I אם <math>\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>. | '''הגדרה:''' תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל-f ב-I אם <math>\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>. | ||
שורה 26: | שורה 27: | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. לפי תוצאה ממשפט | + | נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. לפי תוצאה ממשפט לגראנג' יש קבוע c כך ש-<math>F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c</math>. {{משל}} |
---- | ---- | ||
− | '''הגדרה:''' תהי <math>f(x)\ge0</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נסמן ב-<math>\int\limits_a^b f</math> את השטח שמתחת לגרף. | + | '''הגדרה אינטואיטיבית:''' תהי <math>f(x)\ge0</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נסמן ב-<math>\int\limits_a^b f</math> את השטח שמתחת לגרף. |
==המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי {{הערה|(בצורה אינטואיטיבית)}}== | ==המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי {{הערה|(בצורה אינטואיטיבית)}}== | ||
שורה 38: | שורה 39: | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | + | [[קובץ:הוכחה אינטואיטיבית למשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי.png|ימין|ממוזער|350px]] | |
− | + | # יהי x נתון. לפי ההגדרה <math>A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math>. בגרף: <math>=A(x+\Delta x)-A(x)</math> השטח של החלק הירוק, <math>=\Delta x</math> בסיס החלק הירוק, לפיכך <math>=\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> הגובה הממוצע של החלק הירוק. לכן <math>A'(x)</math> הוא הגובה הממוצע כאשר <math>\Delta x\to0</math>, כלומר <math>f(x)</math>. {{משל}} | |
− | + | # נתונה פונקציה קדומה <math>F(x)</math>. מחלק 1 ידוע גם ש-<math>A(x)</math> פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math>. לכן <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-(\underbrace{A(a)}_{=0}+c)=A(b)=\int\limits_a^b f</math>. {{משל}} | |
− | יהי x נתון. | + | |
− | + | ||
− | לכן <math>A'(x)</math> | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
=האינטגרל לפי דרבו= | =האינטגרל לפי דרבו= | ||
==הקדמה - הגדרות== | ==הקדמה - הגדרות== | ||
+ | [[קובץ:הגדרת הערכים באינטגרל לפי דרבו.png|שמאל|500px]] | ||
תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ע"י <math>m:=\inf f(x)</math> ו- <math>M:=\sup f(x)</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math>: | תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ע"י <math>m:=\inf f(x)</math> ו- <math>M:=\sup f(x)</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math>: | ||
{{left|<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>}} | {{left|<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>}} | ||
שורה 57: | שורה 52: | ||
לכל k כך ש-<math>1\le k\le n</math> נגדיר | לכל k כך ש-<math>1\le k\le n</math> נגדיר | ||
<math>M_k:=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> וכן <math>m_k:=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. | <math>M_k:=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> וכן <math>m_k:=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. | ||
− | |||
− | |||
בהתאם לכך נגדיר: | בהתאם לכך נגדיר: | ||
שורה 102: | שורה 95: | ||
מכאן <math>\underline\int_a^b f=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\overline{\int}_a^b f=\inf_P \overline S(f,P)=b-a</math>. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית. {{משל}} | מכאן <math>\underline\int_a^b f=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\overline{\int}_a^b f=\inf_P \overline S(f,P)=b-a</math>. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית. {{משל}} | ||
+ | |||
---- | ---- | ||
+ | |||
'''הגדרה:''' תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b]</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות. | '''הגדרה:''' תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b]</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות. |
גרסה מ־21:26, 9 במאי 2011
נושא ראשון:
אינטגרציה
הערה: האינטגרל הוא לא שטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח מתחת לגרף מוגדר לפי האינטגרל.
תוכן עניינים
דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף
נתון הגרף של y=x2 ונרצה לחשב את השטח שמתחת לו בקטע .
נחלק את הקטע:
![0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1](/images/math/b/5/a/b5a2d46d7dc9219f3515357b15273917.png)
כך שבאופן כללי (בגרף מוצג המקרה הפרטי
).
![[x_{k-1},x_k]](/images/math/2/2/4/224be76d80cdbec9a700c2096afa4264.png)
![\left({k\over n}\right)^2=x_k^2](/images/math/d/3/1/d314d442df294c2f01d658a559866182.png)
![\overline S:=\sum_{k=1}^n\frac1n\left({k\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}](/images/math/e/9/5/e951dceae5dd83a0ab50f7c0b44d9fae.png)
![[x_{k-1},x_k]](/images/math/2/2/4/224be76d80cdbec9a700c2096afa4264.png)
![\left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2](/images/math/1/1/0/110b25473d236d746c4aa6c8bd7274e6.png)
![\underline S:=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}](/images/math/4/4/0/44094653e7b9628308a1324e6259fbca.png)
כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-, ז"א
. הדבר נכון לכל
ולכן נוכל להשאיף את
ולקבל
, לכן
.
הגדרה: תהי מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה
קדומה ל-f ב-I אם
.
דוגמה: אם אז
.
משפט 0
אם ו-
קדומות ל-
בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-
הוכחה
נגדיר ולכן
. לפי תוצאה ממשפט לגראנג' יש קבוע c כך ש-
.
הגדרה אינטואיטיבית: תהי רציפה בקטע
. נסמן ב-
את השטח שמתחת לגרף.
המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית)
תהי מוגדרת ורציפה ב-
.
- לכל
נגדיר
אזי
.
- אם
קדומה ל-
ב-
אז
.
הוכחה
- יהי x נתון. לפי ההגדרה
. בגרף:
השטח של החלק הירוק,
בסיס החלק הירוק, לפיכך
הגובה הממוצע של החלק הירוק. לכן
הוא הגובה הממוצע כאשר
, כלומר
.
- נתונה פונקציה קדומה
. מחלק 1 ידוע גם ש-
פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-
. לכן
.
האינטגרל לפי דרבו
הקדמה - הגדרות
תהי מוגדרת וחסומה ע"י
ו-
בקטע
. נגדיר את התנודה של f ע"י
. כעת נגדיר חלוקה P של
:
![a=x_0<x_1<\dots<x_n=b](/images/math/b/9/e/b9e3e69b8b589784847d68a65a5a365a.png)
עוד נגדיר לכל את אורך תת קטע מספר k להיות
ואת הפרמטר של P להיות
.
לכל k כך ש- נגדיר
וכן
.
בהתאם לכך נגדיר:
- שטח חוסם - הסכום העליון:
- שטח חסום - הסכום התחתון:
משפט 1
בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים .
הוכחה
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|||
לכל k מתקיים ![]() |
![]() |
![]() |
||||
![]() |
![]() |
|||||
![]() |
![]() |
|||||
![]() |
![]() |
נשים לב כי לפי משפט 1 המספרים חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).
לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" ו"האינטגרל התחתון"
.
הגדרת האינטגרל לפי דרבו
תהי מוגדרת וחסומה ב-
. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב-
אם
ואם הם שווים אז נגדיר
להיות הערך המשותף של
ו-
.
דוגמה
בקטע כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה
.
נקח חלוקה כלשהי ל-
:
.
לכל k מתקיים וכן
. לכן
ואילו
.
מכאן ו-
. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית.
הגדרה: תהי P חלוקה של קטע . חלוקה Q של
נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.
משפט 2
תהי מוגדרת וחסומה ב-
. תהי P חלוקה של
ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז
(נזכיר ש- ו-
)
כלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-.
הוכחה
מקרה ראשון: . ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת
כך ש-
עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר
ו-
.
כמו כן, לא שינינו כל תת קטע
עבור
כלשהו. לכן
![M_i\ge M_i^+,M_i^-](/images/math/5/a/d/5ad6ab75cacd62d937abe01524042397.png)
![\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i'-x_{i-1}+x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}](/images/math/f/c/2/fc2cbee324ae96e1814e2cc8dc0ed399.png)
את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:
כמו כן,
![\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\le M_i(x_i-x_{i-1})-m_i(x_i-x_{i-1})\\&=(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1})\\&\le\Omega(x_i-x_{i-1})\\&\le\underbrace{r}_{=1}\lambda(P)\Omega\end{align}](/images/math/0/0/f/00f9ae8a280bdec41cdd15d8b04f28d7.png)
מקרה כללי: Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת r נקודות. נוסיף אותן אחת אחת. הסכום העליון יורד, אבל לא יותר מאשר בכל אחת מ-r המפעמים. לכן מיד נסיק
.
ההוכחה לסכום תחתון דומה.
מסקנה 1
נקח f כנ"ל ונניח ש-P ו-Q הן שתי חלוקות כלשהן של . אזי
.
הוכחה
נבנה עידון משותף, ז"א . לפי משפט 2 מתקיים
.
מסקנה 2
עבור f כנ"ל מתקיים .
הוכחה
מסקנה 1 אומרת שלכל שתי חלוקות P,Q של מתקיים
ולכן
. כמו כן, לפי ההגדרה
ו-
.