הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/1.5.11"
(←דוגמה 6) |
|||
שורה 61: | שורה 61: | ||
===דוגמה 6=== | ===דוגמה 6=== | ||
− | הוכיחו התכנסות בתנאי של <math>\int\limits_0^ | + | הוכיחו התכנסות בתנאי של <math>\int\limits_0^1\frac{\cos(1/x)}x\mathrm dx</math>. |
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
− | מצאנו כבר כי <math>\int\limits_0^1\frac{\cos(1/x)}x\mathrm dx</math> מתכנס. נותר לבדוק | + | מצאנו כבר כי <math>\int\limits_0^1\frac{\cos(1/x)}x\mathrm dx</math> מתכנס. נותר לבדוק התכנסות בהחלט: |
− | + | ||
− | + | ברור כי <math>\left|\cos\left(\frac1x\right)\right|\le1</math>. אם רוצים להשתמש במבחן ההשוואה צריך ביטוי קטן ממנו להראות התבדרות. למשל <math>\cos^2\left(\frac1x\right)\le\left|\cos\left(\frac1x\right)\right|</math> ואז <math>\frac{\cos^2(1/x)}x\le\left|\frac{\cos(1/x)}x\right|</math>. נותר להוכיח כי <math>\int\limits_0^1\frac{\cos^2(1/x)}x\mathrm dx</math> מתבדר: | |
− | + | * ''דרך א:'' נפעיל את מבחן ההשוואה הגבולי: <math>\lim_{x\to0^+}\frac{\cos^2(1/x)/x}{x^2}=\infty</math>. <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^2}</math> מתבדר ולכן <math>\int\limits_0^1\frac{\cos^2(1/x)}x\mathrm dx</math> מתבדר. {{משל}} | |
+ | <span id="continue"><!--נא לא למחוק span זה--></span>{{הערה|את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - תרגול/8.5.11|תרגול שאחריו]]:}} | ||
+ | * ''דרך ב:'' מתקיים <math>\int\limits_0^1\frac{\cos\left(\frac1x\right)}x\mathrm dx=\frac12\underbrace{\int\limits_0^1\frac{\cos\left(\frac2x\right)}x\mathrm dx}_I+\frac12\underbrace{\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}x}_{II}</math>. ברור שאינטגרל II מתבדר, ולכן אם אינטגרל I מתכנס אז סיימנו את ההוכחה: נציב <math>y=\frac2x</math> ואז <math>\mathrm dx=\frac{-2}{y^2}\mathrm dy</math> נקבל <math>\int\limits_\infty^2 \frac{\cos(y)}{2/y}\frac{-2\mathrm dy}{y^2}=\int\limits_2^\infty \frac{\cos(y)}y\mathrm dy</math> שמתכנס לפי דיריכלה. {{משל}} |
גרסה מ־14:03, 10 במאי 2011
אינטגרלים לא אמיתיים, סוג I
לפחות אחד מגבולות האינטגרל הוא אינסוף.
דוגמה 1
הראה כי מתכנס ומצא חסם עליון.
פתרון
ברור כי ולכן
. עבור הקטע
ברור כי מתקיים
, לכן
ואז
. לכן בסה"כ
.
מבחן דיריכלה
- f ו-g רציפות.
- f יורדת מונוטונית לאפס.
- הנגגזרת של f רציפה.
-
חסומה.
אזי מתכנס.
דוגמה 2
הוכיחו כי לכל האינטגרל
מתכנס.
פתרון
נסמן וכן
. עבור
ברור כי f רציפה בקטע,
רציפה ו-f יורדת לאפס. ברור כי g רציפה. נוכיח כי G חסומה:
. מסכנה: ממשפט דיריכלה
מתכנס.
אינטגרלים לא אמיתיים, סוג II
במקרה זה מסתכלים בסביבה של נקודת אי-רציפות.
הגדרה: נניח f אינטגרבילית בכל תת קטע של
וכן לא חסומה בסביבת a. אם קיים
אז
. באופן דומה מגדירים עבור גבול אינטגרציה עליון.
אם נקודת אי-רציפות נרשום
. ושוב, באופן דומה לאינטגרל לא אמיתי מסוג I, שני האינטגרלים צריכים להתכנס.
כלל ידוע: מתכנס אם"ם
.
דוגמה 3
יהי . הוכיחו כי
מתכנס אם"ם
.
פתרון
ואז
.
נעשה הצבה ואז
. לפיכך מספיק לפתור את האינטגרל (נסתכל תחילה על האינטגרל הלא מסויים)
. עבור
זה שווה ל-
ועבור
:
.
נחזור ל-x: עבור המקרה נקבל
.
עבור נקבל
.
את המקרה הנ"ל החלק לשני תת מקרים:
- אם
, כלומר
אז
ולכן
. מכאן שהאינטגרל מתבדר.
- אם
, כלומר
, אזי ברור כי
ולכן האינטגרל מתכנס.
מבחני ההשוואה לאינטגרל לא אמיתי מסוג II
בשני המבחנים f,g אינטגרביליות מקומית ב-.
מבחן ההשוואה
נניח ש-. אזי אם
מתכנס גם
מתכנס.
מבחן ההשוואה הגבולי
נניח ש- וכן
.
- אם
נאמר ש-
ו-
מתבדרים או מתכנסים יחדיו.
- אם
אז התכנסות
גוררת התכנסות
.
- אם
אז התכנסות
גוררת התכנסות
.
דוגמה 4
קבעו התכנסות של .
פתרון
נשווה ל-: לפי כלל לופיטל
.
ידוע כי
מתבדר ולכן האינטגרל הנתון מתבדר גם כן.
דוגמה 5
קבעו התכנסות .
פתרון
קל להפוך את האינטגרל מסוג II לסוג I ע"י הצבה . לכן
ונקבל
. ניתן להראות כי אינטגרל זה מתכנס בדומה למה שעשינו עם
, בעזרת מבחן דיריכלה.
דוגמה 6
הוכיחו התכנסות בתנאי של .
פתרון
מצאנו כבר כי מתכנס. נותר לבדוק התכנסות בהחלט:
ברור כי . אם רוצים להשתמש במבחן ההשוואה צריך ביטוי קטן ממנו להראות התבדרות. למשל
ואז
. נותר להוכיח כי
מתבדר:
- דרך א: נפעיל את מבחן ההשוואה הגבולי:
.
מתבדר ולכן
מתבדר.
את ההמשך עשינו בתרגול שאחריו:
- דרך ב: מתקיים
. ברור שאינטגרל II מתבדר, ולכן אם אינטגרל I מתכנס אז סיימנו את ההוכחה: נציב
ואז
נקבל
שמתכנס לפי דיריכלה.