הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/6.3.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - תרגול
(←דוגמה 1 {{הערה|(שיטת פירוק)}}) |
|||
(4 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 6: | שורה 6: | ||
# <math>\int\limits_0^5 |x-3|\mathrm dx</math><br/> פתרון: נשים לב להגדרת <math>|x-3|</math> לפיה האינטגרל שווה ל-<math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx+\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx</math>. גרף (1) מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - <math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx=\frac{3\cdot3}2=4.5</math> ועבור II - <math>\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx=\frac{2\cdot2}2=2</math> ולכן השטח הכולל הוא 6.5. {{משל}}<br />''הערה:'' אם התחום היה, למשל, <math>[4,5]</math> היינו יכולים לחשב לפי שטח טרפז. | # <math>\int\limits_0^5 |x-3|\mathrm dx</math><br/> פתרון: נשים לב להגדרת <math>|x-3|</math> לפיה האינטגרל שווה ל-<math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx+\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx</math>. גרף (1) מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - <math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx=\frac{3\cdot3}2=4.5</math> ועבור II - <math>\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx=\frac{2\cdot2}2=2</math> ולכן השטח הכולל הוא 6.5. {{משל}}<br />''הערה:'' אם התחום היה, למשל, <math>[4,5]</math> היינו יכולים לחשב לפי שטח טרפז. | ||
− | # <math>\int\limits_0^{10} \sqrt{10x-x^2}\mathrm dx</math>. פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן <math>y=\sqrt{10x-x^2}\implies y^2=10x-x^2\implies (x-5)^2+y^2=5^2</math>. קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל. <math>\int\limits_0^{10}\sqrt{10x-x^2}\mathrm dx=\frac{25\pi}2 | + | # <math>\int\limits_0^{10} \sqrt{10x-x^2}\mathrm dx</math>. פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן <math>y=\sqrt{10x-x^2}\implies y^2=10x-x^2\implies (x-5)^2+y^2=5^2</math>. קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל. <math>\int\limits_0^{10}\sqrt{10x-x^2}\mathrm dx=\frac{25\pi}2</math> {{משל}} |
− | # <math>\int\limits_a^b\sqrt\frac{4-x^2}2\mathrm dx</math>, כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן <math>y=\sqrt\frac{4-x^2}2\implies \left(\frac y\sqrt2\right)^2+\left(\frac x2\right)^2</math>. זוהי אליפסה שמרכזה ב-<math>(0,0)</math>. נסמן <math>a=2,\ b=\sqrt2</math> ולפי נוסחה לשטח אליפסה (<math>\pi a b</math>) נקבל <math>2\sqrt2\pi</math>. האינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר <math>\sqrt2\pi</math>. {{משל}} | + | # <math>\int\limits_a^b\sqrt\frac{4-x^2}2\mathrm dx</math>, כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן <math>y=\sqrt\frac{4-x^2}2\implies \left(\frac y\sqrt2\right)^2+\left(\frac x2\right)^2=0</math>. זוהי אליפסה שמרכזה ב-<math>(0,0)</math>. נסמן <math>a=2,\ b=\sqrt2</math> ולפי נוסחה לשטח אליפסה (<math>\pi a b</math>) נקבל <math>2\sqrt2\pi</math>. האינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר <math>\sqrt2\pi</math>. {{משל}} |
=האינטגרל הלא מסויים= | =האינטגרל הלא מסויים= | ||
שורה 18: | שורה 18: | ||
{{משל}} | {{משל}} | ||
− | '''באופן כללי:''' נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב-<math>\mathbb R</math>). אם מצטמצם ננסה חילוק פולינומים, אחרת | + | '''באופן כללי:''' נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב-<math>\mathbb R</math>). אם מצטמצם ננסה חילוק פולינומים, אחרת נחפש להציג כקבוע ועוד שארית. דוגמה נוספת: <math>\int\frac{x^2}{x^2+1}\mathrm dx=\int\frac{x^2+1-1}{x^2+1}\mathrm dx</math>. |
==דוגמה 2== | ==דוגמה 2== | ||
שורה 38: | שורה 38: | ||
<!-- | <!-- | ||
− | '''באופן כללי:''' בפונקציות מהצורה <math>\sin^n(x)\cos^m(x)</math> (עבור <math>n,m\in\mathbb N</math>) נשתמש בשיטת ההצבה אם <math> | + | '''באופן כללי:''' בפונקציות מהצורה <math>\sin^n(x)\cos^m(x)</math> (עבור <math>n,m\in\mathbb N</math>) נשתמש בשיטת ההצבה אם <math>n</math> אי זוגי, באופן הבא: נציב <math>y=\sin^\frac{n+1}2(x)</math> ואז <math>\mathrm dy=\frac{n+1}2\sin^\frac{n-1}2(x)\cos(x)\mathrm dx</math> ולכן <math>\sin^n(x)\cos^m(x)\mathrm dx=\frac2{n+1}\cos^{m-1}(x)\cdot\frac{n+1}2\cdot\sin^\frac{n+1}2(x)\sin^\frac{n-1}2(x)\cos(x)\mathrm dx=\frac2{n+1}y</math>. |
אם <math>n+m</math> זוגי ננסה להשתמש בזהויות השונות, כמו | אם <math>n+m</math> זוגי ננסה להשתמש בזהויות השונות, כמו | ||
שורה 55: | שורה 55: | ||
לפי אינטגרציה בחלקים, נגדיר <math>f(x)=x\ \and\ g(x)=e^x</math>. לכן האינטגרל שווה ל-<math>xe^x-\int1e^x\mathrm dx=xe^x-e^x+c</math>. {{משל}} | לפי אינטגרציה בחלקים, נגדיר <math>f(x)=x\ \and\ g(x)=e^x</math>. לכן האינטגרל שווה ל-<math>xe^x-\int1e^x\mathrm dx=xe^x-e^x+c</math>. {{משל}} | ||
− | + | '''מסקנה:''' לכל פולינום ממעלה <math>n\in\mathbb N</math> כפול פונקציה g שמקיימת (עבור <math>m\in\mathbb N</math> כלשהו) <math>g^{(m)}(x)=g(x)</math> נעשה אינטגרציה בחלקים n פעמים ונקבל את הפתרון<!--: {{left|<math>\begin{align}\int g(x)\sum_{k=0}^n a_kx^k\mathrm dx&=g^{(m-1)}(x)\sum_{k=0}^n a_kx^k-\int g^{(m-1)}(x)\sum_{k=1}^n a_k\cdot kx^{k-1}\mathrm dx\\&=\dots\\&=\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i g^{(m-i-1)}(x)\sum_{k=i}^n a_k \frac{k!}{(k-i)!}x^{k-i}+(-1)^n\int g^{(m-n)}(x)\mathrm dx\\&=\sum_{i=0}^n(-1)^i g^{(m-i-1)}(x)\sum_{k=i}^n a_k \frac{k!}{(k-i)!}x^{k-i}+c\end{align}</math>}}--></li> | |
− | '''מסקנה:''' לכל פולינום ממעלה <math>n\in\mathbb N</math> כפול פונקציה שמקיימת (עבור <math>m\in\mathbb N</math> כלשהו) <math>g^{(m)}(x)=g(x)</math> נעשה אינטגרציה בחלקים n פעמים ונקבל את הפתרון | + | |
<li><math>\int\ln(x)\mathrm dx</math> | <li><math>\int\ln(x)\mathrm dx</math> | ||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
שורה 70: | שורה 69: | ||
<math>\int\frac{3^x}\sqrt{1-9^x}\mathrm dx</math>. | <math>\int\frac{3^x}\sqrt{1-9^x}\mathrm dx</math>. | ||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | בשיטת ההצבה, <math>y=3^x\implies\mathrm dy= | + | בשיטת ההצבה, <math>y=3^x\implies\mathrm dy=\ln(3)\cdot3^x\mathrm dx</math> והאינטגרל הנ"ל שווה ל-<math>\frac1{\ln(3)}\int\frac{\mathrm dy}\sqrt{1-y^2}=\frac1{\ln(3)}\arcsin(3^x)+c</math>. {{משל}} |
גרסה אחרונה מ־11:28, 14 במאי 2011
תוכן עניינים
שיטות פרמיטיביות לחישוב שטחים
המטרה: לחשב שטח מתחת לכל עקומה (כמעט).
דוגמה 1
חשב את השטח הכלוא בין ציר ה-x לעקומה במקרים הבאים:
-
פתרון: נשים לב להגדרתלפיה האינטגרל שווה ל-
. גרף (1) מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I -
ועבור II -
ולכן השטח הכולל הוא 6.5.
הערה: אם התחום היה, למשל,היינו יכולים לחשב לפי שטח טרפז.
-
. פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן
. קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל.
-
, כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן
. זוהי אליפסה שמרכזה ב-
. נסמן
ולפי נוסחה לשטח אליפסה (
) נקבל
. האינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר
.
האינטגרל הלא מסויים
המטרה: להגדיר אינטגרל דרך פונקציה קדומה: ולכן אפשר להשתמש בכיוון השני של טבלת הגזירה. למשל,
ולכן
דוגמה 1 (שיטת פירוק)
חשב .
פתרון
זה שווה ל-![\begin{align}2\int\frac{x^4-1+1}{1+x^2}\mathrm dx&=2\int\left(\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2+1}+\frac1{x^2+1}\right)\mathrm dx\\&=2\int(x^2-1)\mathrm dx+2\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}\\&=2\frac{x^3}3-2x+2\arcsin(x)+c\end{align}](/images/math/6/9/2/6921312af62dd0571c1f4677f89457f3.png)
באופן כללי: נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב-). אם מצטמצם ננסה חילוק פולינומים, אחרת נחפש להציג כקבוע ועוד שארית. דוגמה נוספת:
.
דוגמה 2
חשב .
פתרון
דרך א: מתקיים![I=4\int\frac{\mathrm dx}{\Big(2\sin(x)\cos(x)\Big)^2}=4\int\frac{\mathrm dx}{(\sin(2x))^2}](/images/math/1/f/e/1feb37d78694d921cc4c3b52da9926ea.png)
![\begin{align}I&=\int\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^2(x)\cos^2(x)}\mathrm dx\\&=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)}+\int\frac{\mathrm dx}{\cos^2(x)}\\&=\tan(x)-\cot(x)+c\end{align}](/images/math/5/e/c/5ec998acfd7c618fb2c6733602d43ff7.png)
ניתן לבדוק זאת ע"י גזירת הפונקציה הקדומה, אבל כמובן שההוכחה הזו מספיקה.
שיטת ההצבה:
דוגמה 3
חשב .
פתרון
נציב ולכן
. אזי האינטגרל הוא:
.
אינטגרציה בחלקים: .
דוגמה 4
חשב את האינטגרלים הבאים:
פתרון
לפי אינטגרציה בחלקים, נגדיר
מסקנה: לכל פולינום ממעלה. לכן האינטגרל שווה ל-
.
כפול פונקציה g שמקיימת (עבור
כלשהו)
נעשה אינטגרציה בחלקים n פעמים ונקבל את הפתרון
פתרון
נסמןואז
.
פתרון
מסקנה: במקרה של-f,g יש מספר סופי של נגזרות שונות, נשתמש בשיטה זו.ואז
. ולפי אינטגרציה שנייה:
ולכן
.
דוגמה 5
.
פתרון
בשיטת ההצבה, והאינטגרל הנ"ל שווה ל-
.