הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/8.5.11"
(←דוגמה 4) |
|||
שורה 49: | שורה 49: | ||
הראה כי <math>f_n(x)=x^n</math> לא מתכנסת במ"ש ב-<math>(0,1)</math>. | הראה כי <math>f_n(x)=x^n</math> לא מתכנסת במ"ש ב-<math>(0,1)</math>. | ||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | מצאנו בדוגמה 1 ש-<math>f(x)=0</math>. נשים לב כי <math>\forall n\in\mathbb N:\ \lim_{x\to1}x^n=1</math> ז"א <math>\forall n\in\mathbb N:\ \exists x_0:\ \frac12<x_0^n<\frac32</math> (לפי הגדרת הגבול). לכן <math>\exists\varepsilon>0:\ \forall n_0\in\mathbb N:\ \exists n>n_0:\ \exists x_0:\ |f_n(x_0)-f(x_0)|=|x_0^n-0|>\frac12>\varepsilon</math> ולכן ההתכנסות לא במ"ש. {{משל}} | + | מצאנו בדוגמה 1 ש-<math>f(x)=0</math>. נשים לב כי <math>\forall n\in\mathbb N:\ \lim_{x\to1}x^n=1</math> ז"א <math>\forall n\in\mathbb N:\ \exists x_0\in(0,1):\ \frac12<x_0^n<\frac32</math> (לפי הגדרת הגבול). לכן <math>\exists\varepsilon>0:\ \forall n_0\in\mathbb N:\ \exists n>n_0:\ \exists x_0\in(0,1):\ |f_n(x_0)-f(x_0)|=|x_0^n-0|>\frac12>\varepsilon</math> ולכן ההתכנסות לא במ"ש. {{משל}} |
גרסה מ־16:48, 21 במאי 2011
את דוגמה 6 לא סיימנו בתרגול הקודם ולכן השלמנו אותה ב-8.5.11. חלק זה מופיע בסיכום התרגול הקודם ולא בדף הנוכחי.
תוכן עניינים
אינטגרל
דוגמה 1
קבעו האם מתכנס או מתבדר.
פתרון
נחלק לשני אינטגרלים . עבור מתקיים , לכן . ברור ש- מתכנס ולכן, לפי מבחן ההשוואה, מתכנס.
עבור מתקיים . נל ולכן גם כן מתכנס לפי מבחן ההשוואה. לסיכום האינטגרל מתכנס.
נושא שני:
התכנסות של פונקציות
לדוגמה נתבונן בסדרת הפונקציות . קל לראות שאת סדרת הפונקציות ניתן לרשום כ-. לדגמה, נבחר . קל לראות ש-, ולכן היא פונקצית הגבול.
הגדרות
- סדרה של פונקציות היא התאמה שבה לכל n טבעי מותאמת פונקציה .
- אם לכל בקטע הסדרה מתכנסת, אז נאמר כי סדרת הפונקציות "מתכנסת נקודתית" ונסמן .
דוגמה 1
קבעו התכנסות של ב-.
פתרון
נחלק לשני מקרים:
- אם אז .
- אם אז .
דוגמה 2
בדקו התכנסות של ב-.
פתרון
נחלק למקרים:
הגדרה: תהינה סדרת פונקציות בקטע I. נאמר כי מתכנסת במ"ש אם לכל קיים כך שלכל ולכל מתקיים .
דוגמה 3
נתונה . קבע האם f מתכנסת נקודתית/במ"ש ב-.
פתרון
במקרה שלנו קל לראות ש- מתכנסת נקודתית ל- כי . מסקנה: .
כדי לבדוק התכנסות במ"ש נשתמש בהגדרה. צריך להתקיים שלכל קיים כך שלכל ולכל מתקיים . נציב: . לכן מספיק לבחור ונקבל שיש גם התכנסות במ"ש.
דוגמה 4
הראה כי לא מתכנסת במ"ש ב-.
פתרון
מצאנו בדוגמה 1 ש-. נשים לב כי ז"א (לפי הגדרת הגבול). לכן ולכן ההתכנסות לא במ"ש.