נוספו 7,816 בתים,
15:49, 29 במאי 2011 =סכומי טורים=
'''תזכורת:''' (אינטגרציה איבר איבר בסדרות) אם <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציה f ב-<math>[a,b]</math>, אז f אינטגרבילית ומתקיים <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b f</math>. באופן דומה ננסח עבור גזירה איבר-איבר בסדרות: <math>f_n</math> סדרת פונקציות גזירות ורציפות ב-<math>[a,b]</math> המתכנסת בנקודה אחת <math>x_0\in[a,b]</math> ל-<math>f(x_0)</math>. אם <math>f_n'</math> סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש ב-<math>[a,b]</math> אז <math>f</math> גזירה <math>\lim_{n\to\infty} f_n'(x)=f'(x)=\left(\lim_{n\to\infty}f_n(x)\right)'</math>. באופן דומה נגדיר עבור טורים. '''עבור אינטגרציה לדוגמה''': יהי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> טור של פונקציות רציפות ב-<math>[a,b]</math> המתכנס במ"ש בקטע לפונקצית סכום <math>S(x)</math> אז טור המספרים מתכנס ומתקיים <math>\sum_{n=0}^\infty \int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b \sum_{n=0}^\infty=\int\limits_a^b S</math>.
==דוגמה 1==
# הוכח שלכל <math>t\in(0,1)</math> מתקיים <math>\ln(1+t)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{t^n}n</math>.
# חשב <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac1{2^nn}</math>. פתרון: נעזר בתרגיל בטור הנדסי, ידוע ש-<math>\ln(1+t)=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1+x}</math>. בנוסף ידוע שמתקיים <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n=\frac1{1+x}</math> (לפי סדרה הנדסית). מספיק להראות שהטור הנ"ל במ"ש בקטע סגור מהצורה <math>[-a,a]</math>. נשתמש במבחן ה-M של וירשטרס <math>|(-1)^nx^n|\le a^n</math> (עבור הקטע הסגור הנ"ל <math>[-a,a]</math>) אם <math>0<a<1</math> ברור ש-<math>\sum_{n=0}^\infty a^<math>formula</math></math> מתכנס ולכן לפי מבחן ה-M הטור המקורי מתכנס במ"ש.
יהי <math>t\in(-1,1)</math>, נסתכל על הקטע מהצורה <math>[0,t]</math> שם <math>\ln(1+t)=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1-(-x)}=\int\limits_0^t \sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n \mathrm dx=\sum_{n=0}^\infty \int\limits_0^t (-1)^nx^n\mathrm dx</math> (הראנו שהטור מתכנס במ"ש לפי וירשטרס, נחליף בין האינטגרציה לסכימה). זה שווה ל-<math>\left[\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{x=0}^1=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nt^{n+1}}{n+1}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}t^n}n</math>
ב. ברור כי <math>t=\frac12</math> נמצא בקטע, שם יש התכנסות (כי תחום ההתכנסות טור הנדסי) <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}\left(\frac12\right)^n}n=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{2^nn}=-\ln\left(1+\frac12\right)</math>
גזירה איבר איבר של טורי פונקציות: יהיו <math>f_n</math> פונציות גזירות רציפות ב-<math>[a,b]</math> כך שהטור <math>\sum_{n=0}^\infty f_n(x)</math> מתכנס ב-<math>x_0\in[a,b]</math> ל-<math>S(x_0)</math> אם טור הנגזרות <math>\sum_{n=0}^\infty f_n'(x)</math> מתכנס במידה שווה בקטע אז מתקיים <math>\sum_{n=0}^\infty f_n'(x)=S'(x)=\left(\sum_{n=0}^\infty f_n(x)\right)'</math>.
==דוגמה 2==
<math>\sum_{n=0}^\infty\frac n{(-n+1)x^n}</math>. חשבו את סכום הטור עבור <math>x>1</math>.
===פתרון===
נתייחס לטור הבא <math>\sum_{n=0}^\infty\frac1{x^n}</math> שידוע שמתכנס עבור <math>x>1</math>.
יש להראות כי הטור מתכנס במ"ש. ברור שע"י הצבה <math>t=\frac1x</math> באופן דומה לתרגיל נקבל התכנסות במ"ש.
<math>S_n(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac n{-n+1}\frac1{x^n}</math>.
הראנו בשאלת הכנה כי הטור מתכנס במ"ש, נשאר לעשות אינטגרציה <math>\int\sum_{n=0}^\infty x^{-n}\mathrm dx=\sum_{n=0}^\infty \int x^{-n}\mathrm dx=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{-n+1}}{-n+1}=\frac1{1-1/x}</math>. עד כאן <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{-n+1}}{-n+1}=\frac1{1-1/x}=\frac x{x-1}</math>. צריך להגיע לטור המבוקש. ברור כי <math>\int\frac x{x-1}\mathrm dx=\int\frac{x-1+1}{x-1}\mathrm dx=\int\left(1+\frac1{x-1}\right)\mathrm dx=x+\ln|x-1|+c</math>. נשאר לחלק ב-x ואז לגזור.
==דוגמה 2.5 {{הערה|(המטרה להסביר את דוגמה 2)}}==
מהו סכום הטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac n{x^n}</math> עבור <math>x<1</math>.
===פתרון===
נשים לב שאם נגדיר <math>f_n'(x)=\left(\frac1{x^n}\right)'=(x^{-n})'=-n\cdot x^{-n-1}=\frac{-n}{x^{n+2}}</math> ז"א <math>f_n(x)=\frac1{x^n}</math>. אם <math>\sum_{n=1}^\infty f_n=\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}=\frac{1/x}{1-1/x}=\frac1{1-x}</math>. נבדוק את התנאים למשפט "גזירה איבר-איבר של טור פונקציות". דרוש ש-<math>\sum f_n'(x)</math> יתכנס במ"ש.
נעזר במבחן ה-M של וירשטרס. אם <math>x>1</math> אז יש <math>1<a<x</math> שם מתקיים <math>\left|\frac{-n}{x^{n+1}}\right|\le\left|\frac n{a^{n+1}}</math>. הטור <math>\sum_{n=1}^\infty \frac n{a^{n+1}}</math> טור מתכנס עפ"י מבחן דלאמר או מבחן השורש).
נסיק לפי מבחן ה-M של וירשטרס שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{-n}{x^{n+1}}</math> מתכנס במ"ש ולכן אפשר להחליף סדר גזירה. <math>\left(\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}\right)'=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac1{x^n}\right)'=\sum_{n=1}^\infty \frac{-n}{x^{n+1}}=\left(\frac1{x-1}\right)'=\frac{-1}{(x-1)^2}</math> לסיכום <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{-n}{x^{n+1}}=\frac{-1}{(x-1)^2}</math>.
=טור חזקות=
רדיוס ההתכנסות של טור חזקות <math>\sum_{n=1}^\infty a_nx^n</math> הוא <math>\frac1{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}</math> ןקצוות הטור נבדוק בנפרד.
==דוגמה 3==
מצא תחום התכנסות של הטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}\sqrt[3]n</math>
===פתרון===
אכן מדובר על חזקות כי <math>\sum=\sum_{n=1}^\infty \frac1\sqrt[3]nx^n</math> ולכן <math>a_n=\frac1\sqrt[3]n</math> ואז רדיוס ההתכנסות הוא <math>R=\frac1{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]\frac1\sqrt[3]n}=1</math>. ז"א <math>|x|<1</math> נשאר לבדוק האם יש התכנסות בקצוות <math>\pm1</math>. עבור <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1^n}\sqrt[3]n</math> שמתבדר כי <math>\sum>\sum_{n=1}^\infty\frac1n</math> ולכן לפי מבחן ההשוואה מתבדר.
עבור <math>x=-1</math>: ברור שהטור מתכנס לפי טור לייבניץ. לסיכום תחום ההתכנסות הוא <math>[-1,1)</math>.
==דוגמה 4==
חשבו את תחום ההתכנסות של <math>\sum_{n=0}^\infty n!x^{n!}</math>. נשים לב כי הטור הנתון לא טור חזקות. "נתקן" את הטור לטור חזקות. נסתכל קודם על המקור. נסמן <math>a_n=n!</math> ונגדיר <math>b_k=\begin{cases}n!&k=n!\\0&\text{else}\end{cases}</math>. ברגע זה נקבל את הטור <math>\sum_{k=0}^\infty b_k x^k</math>.נשים לב שאכן במקרה הזה נצטרך את ה-<math>\limsup</math>.<math>\limsup_{n\to\infty}\frac1\sqrt[n]{b_k}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n=1</math> ולכן רדיוס ההתכנסות הוא 1. נבדוק בקצוות: ב-1 הטור הוא <math>\sum_{n=0}^\infty n!\cdot 1^{n!}\to\infty</math>. ועבור <math>x=-1</math> הטור הוא <math>\sum_{n=0}^\infty n!(-1)^{n!}</math> גם אינסוף כי <math>n!</math> זוגי לכל <math>n>1</math>.