גרסה מ־22:17, 29 במאי 2011

סכומי טורים

תזכורת: (אינטגרציה איבר איבר בסדרות) אם [math]\displaystyle{ f_n }[/math] סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציה f ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], אז f אינטגרבילית ומתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b f }[/math]. באופן דומה ננסח עבור גזירה איבר-איבר בסדרות: [math]\displaystyle{ f_n }[/math] סדרת פונקציות גזירות ורציפות ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] המתכנסת בנקודה אחת [math]\displaystyle{ x_0\in[a,b] }[/math] ל-[math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ f_n' }[/math] סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אז [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} f_n'(x)=f'(x)=\left(\lim_{n\to\infty}f_n(x)\right)' }[/math]. באופן דומה נגדיר עבור טורים. עבור אינטגרציה לדוגמה: יהי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n(x) }[/math] טור של פונקציות רציפות ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] המתכנס במ"ש בקטע לפונקצית סכום [math]\displaystyle{ S(x) }[/math] אז טור המספרים מתכנס ומתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty \int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b \sum_{n=0}^\infty=\int\limits_a^b S }[/math].

דוגמה 1

הוכח שלכל [math]\displaystyle{ t\in(0,1) }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \ln(1+t)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{t^n}n }[/math].
חשב [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac1{2^nn} }[/math]. פתרון: נעזר בתרגיל בטור הנדסי, ידוע ש-[math]\displaystyle{ \ln(1+t)=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1+x} }[/math]. בנוסף ידוע שמתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n=\frac1{1+x} }[/math] (לפי סדרה הנדסית). מספיק להראות שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש בקטע סגור מהצורה [math]\displaystyle{ [-a,a] }[/math]. נשתמש במבחן ה-M של וירשטרס [math]\displaystyle{ |(-1)^nx^n|\le a^n }[/math] (עבור הקטע הסגור הנ"ל [math]\displaystyle{ [-a,a] }[/math]) אם [math]\displaystyle{ 0\lt a\lt 1 }[/math] ברור ש-[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a^\lt math\gt formula }[/math]</math> מתכנס ולכן לפי מבחן ה-M הטור המקורי מתכנס במ"ש.

יהי [math]\displaystyle{ t\in(-1,1) }[/math], נסתכל על הקטע מהצורה [math]\displaystyle{ [0,t] }[/math] שם [math]\displaystyle{ \ln(1+t)=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1-(-x)}=\int\limits_0^t \sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n \mathrm dx=\sum_{n=0}^\infty \int\limits_0^t (-1)^nx^n\mathrm dx }[/math] (הראנו שהטור מתכנס במ"ש לפי וירשטרס, נחליף בין האינטגרציה לסכימה). זה שווה ל-[math]\displaystyle{ \left[\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{x=0}^t=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nt^{n+1}}{n+1}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}t^n}n }[/math]

ב. ברור כי [math]\displaystyle{ t=\frac12 }[/math] נמצא בקטע, שם יש התכנסות (כי תחום ההתכנסות טור הנדסי) [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}\left(\frac12\right)^n}n=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{2^nn}=-\ln\left(1+\frac12\right) }[/math]

גזירה איבר איבר של טורי פונקציות: יהיו [math]\displaystyle{ f_n }[/math] פונציות גזירות רציפות ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty f_n(x) }[/math] מתכנס ב-[math]\displaystyle{ x_0\in[a,b] }[/math] ל-[math]\displaystyle{ S(x_0) }[/math] אם טור הנגזרות [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty f_n'(x) }[/math] מתכנס במידה שווה בקטע אז מתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty f_n'(x)=S'(x)=\left(\sum_{n=0}^\infty f_n(x)\right)' }[/math].

דוגמה 2

[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty\frac n{(-n+1)x^n} }[/math]. חשבו את סכום הטור עבור [math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math].

פתרון

נתייחס לטור הבא [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty\frac1{x^n} }[/math] שידוע שמתכנס עבור [math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math].

יש להראות כי הטור מתכנס במ"ש. ברור שע"י הצבה [math]\displaystyle{ t=\frac1x }[/math] באופן דומה לתרגיל נקבל התכנסות במ"ש.

[math]\displaystyle{ S_n(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac n{-n+1}\frac1{x^n} }[/math].

הראנו בשאלת הכנה כי הטור מתכנס במ"ש, נשאר לעשות אינטגרציה [math]\displaystyle{ \int\sum_{n=0}^\infty x^{-n}\mathrm dx=\sum_{n=0}^\infty \int x^{-n}\mathrm dx=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{-n+1}}{-n+1}=\frac1{1-1/x} }[/math]. עד כאן [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{-n+1}}{-n+1}=\frac1{1-1/x}=\frac x{x-1} }[/math]. צריך להגיע לטור המבוקש. ברור כי [math]\displaystyle{ \int\frac x{x-1}\mathrm dx=\int\frac{x-1+1}{x-1}\mathrm dx=\int\left(1+\frac1{x-1}\right)\mathrm dx=x+\ln|x-1|+c }[/math]. נשאר לחלק ב-x ואז לגזור.

דוגמה 2.5 (המטרה להסביר את דוגמה 2)

מהו סכום הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac n{x^n} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x\lt 1 }[/math].

פתרון

נשים לב שאם נגדיר [math]\displaystyle{ f_n'(x)=\left(\frac1{x^n}\right)'=(x^{-n})'=-n\cdot x^{-n-1}=\frac{-n}{x^{n+2}} }[/math] ז"א [math]\displaystyle{ f_n(x)=\frac1{x^n} }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n=\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}=\frac{1/x}{1-1/x}=\frac1{1-x} }[/math]. נבדוק את התנאים למשפט "גזירה איבר-איבר של טור פונקציות". דרוש ש-[math]\displaystyle{ \sum f_n'(x) }[/math] יתכנס במ"ש.

נעזר במבחן ה-M של וירשטרס. אם [math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math] אז יש [math]\displaystyle{ 1\lt a\lt x }[/math] שם מתקיים [math]\displaystyle{ \left|\frac{-n}{x^{n+1}}\right|\le\left|\frac n{a^{n+1}} }[/math]. הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac n{a^{n+1}} }[/math] טור מתכנס עפ"י מבחן דלאמר או מבחן השורש).

נסיק לפי מבחן ה-M של וירשטרס שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{-n}{x^{n+1}} }[/math] מתכנס במ"ש ולכן אפשר להחליף סדר גזירה. [math]\displaystyle{ \left(\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}\right)'=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac1{x^n}\right)'=\sum_{n=1}^\infty \frac{-n}{x^{n+1}}=\left(\frac1{x-1}\right)'=\frac{-1}{(x-1)^2} }[/math] לסיכום [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{-n}{x^{n+1}}=\frac{-1}{(x-1)^2} }[/math].

טור חזקות

רדיוס ההתכנסות של טור חזקות [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_nx^n }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac1{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}} }[/math] ןקצוות הטור נבדוק בנפרד.

דוגמה 3

מצא תחום התכנסות של הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}\sqrt[3]n }[/math]

פתרון

אכן מדובר על חזקות כי [math]\displaystyle{ \sum=\sum_{n=1}^\infty \frac1\sqrt[3]nx^n }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ a_n=\frac1\sqrt[3]n }[/math] ואז רדיוס ההתכנסות הוא [math]\displaystyle{ R=\frac1{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]\frac1\sqrt[3]n}=1 }[/math]. ז"א [math]\displaystyle{ |x|\lt 1 }[/math] נשאר לבדוק האם יש התכנסות בקצוות [math]\displaystyle{ \pm1 }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ x=1 }[/math]: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1^n}\sqrt[3]n }[/math] שמתבדר כי [math]\displaystyle{ \sum\gt \sum_{n=1}^\infty\frac1n }[/math] ולכן לפי מבחן ההשוואה מתבדר.

עבור [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math]: ברור שהטור מתכנס לפי טור לייבניץ. לסיכום תחום ההתכנסות הוא [math]\displaystyle{ [-1,1) }[/math].

דוגמה 4

חשבו את תחום ההתכנסות של [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty n!x^{n!} }[/math]. נשים לב כי הטור הנתון לא טור חזקות. "נתקן" את הטור לטור חזקות. נסתכל קודם על המקור. נסמן [math]\displaystyle{ a_n=n! }[/math] ונגדיר [math]\displaystyle{ b_k=\begin{cases}n!&k=n!\\0&\text{else}\end{cases} }[/math]. ברגע זה נקבל את הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^\infty b_k x^k }[/math].נשים לב שאכן במקרה הזה נצטרך את ה-[math]\displaystyle{ \limsup }[/math].[math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}\frac1\sqrt[n]{b_k}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n=1 }[/math] ולכן רדיוס ההתכנסות הוא 1. נבדוק בקצוות: ב-1 הטור הוא [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty n!\cdot 1^{n!}\to\infty }[/math]. ועבור [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math] הטור הוא [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty n!(-1)^{n!} }[/math] גם אינסוף כי [math]\displaystyle{ n! }[/math] זוגי לכל [math]\displaystyle{ n\gt 1 }[/math].

@@ שורה 5: / שורה 5: @@
 # חשב <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac1{2^nn}</math>. פתרון: נעזר בתרגיל בטור הנדסי, ידוע ש-<math>\ln(1+t)=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1+x}</math>. בנוסף ידוע שמתקיים <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n=\frac1{1+x}</math> (לפי סדרה הנדסית). מספיק להראות שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש בקטע סגור מהצורה <math>[-a,a]</math>. נשתמש במבחן ה-M של וירשטרס <math>|(-1)^nx^n|\le a^n</math> (עבור הקטע הסגור הנ"ל <math>[-a,a]</math>) אם <math>0<a<1</math> ברור ש-<math>\sum_{n=0}^\infty a^<math>formula</math></math> מתכנס ולכן לפי מבחן ה-M הטור המקורי מתכנס במ"ש.
-יהי <math>t\in(-1,1)</math>, נסתכל על הקטע מהצורה <math>[0,t]</math> שם <math>\ln(1+t)=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1-(-x)}=\int\limits_0^t \sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n \mathrm dx=\sum_{n=0}^\infty \int\limits_0^t (-1)^nx^n\mathrm dx</math> (הראנו שהטור מתכנס במ"ש לפי וירשטרס, נחליף בין האינטגרציה לסכימה). זה שווה ל-<math>\left[\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{x=0}^1=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nt^{n+1}}{n+1}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}t^n}n</math>
+יהי <math>t\in(-1,1)</math>, נסתכל על הקטע מהצורה <math>[0,t]</math> שם <math>\ln(1+t)=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1-(-x)}=\int\limits_0^t \sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n \mathrm dx=\sum_{n=0}^\infty \int\limits_0^t (-1)^nx^n\mathrm dx</math> (הראנו שהטור מתכנס במ"ש לפי וירשטרס, נחליף בין האינטגרציה לסכימה). זה שווה ל-<math>\left[\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{x=0}^t=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nt^{n+1}}{n+1}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}t^n}n</math>
 ב. ברור כי <math>t=\frac12</math> נמצא בקטע, שם יש התכנסות (כי תחום ההתכנסות טור הנדסי) <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}\left(\frac12\right)^n}n=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{2^nn}=-\ln\left(1+\frac12\right)</math>