משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/15.5.11: הבדלים בין גרסאות בדף
(←הוכחה) |
אין תקציר עריכה |
||
| שורה 2: | שורה 2: | ||
נניח ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש על I וש-<math>f_n</math> חסומה ב-I לכל n. הוכיחו כי גם f חסומה ב-I והראו ע"י דוגמה שהתוצאה אינה נכונה אם <math>f_n\to f</math> נקודתית ב-I. | נניח ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש על I וש-<math>f_n</math> חסומה ב-I לכל n. הוכיחו כי גם f חסומה ב-I והראו ע"י דוגמה שהתוצאה אינה נכונה אם <math>f_n\to f</math> נקודתית ב-I. | ||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
אם <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I אז נוכל לקחת <math>\varepsilon=1</math> | אם <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I אז נוכל לקחת <math>\varepsilon=1</math> ולכן קיים n מסויים כך שלכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f(x)-f_n(x)|<1</math> ונובע מאי-שיוויון המשולש כי לכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f(x)|-|f_n(x)|<1</math>. לכן <math>|f(x)|<|f_n(x)|+1</math>. נתון ש-<math>f_n</math> חסומה, נניח <math>|f_n(x)|\le M</math> אזי <math>\forall x\in I:\ |f(x)|<M+1</math>. {{משל}} | ||
לגבי הדוגמה הנגדית, נגדיר <math>f_n(x)=\begin{cases}n&x\le\frac1n\\1/x&\text{else}\end{cases}</math> ב-<math>(0,1)</math>. אזי <math>f_n\to f</math> נקודתית וכל <math>f_n</math> חסומה ע"י n, אלא ש-<math>f(x)=\frac1x</math>, שבוודאי לא חסומה. {{משל}} | לגבי הדוגמה הנגדית, נגדיר <math>f_n(x)=\begin{cases}n&x\le\frac1n\\1/x&\text{else}\end{cases}</math> ב-<math>(0,1)</math>. אזי <math>f_n\to f</math> נקודתית וכל <math>f_n</math> חסומה ע"י n, אלא ש-<math>f(x)=\frac1x</math>, שבוודאי לא חסומה. {{משל}} | ||
| שורה 11: | שורה 11: | ||
'''הגדרה:''' נתונה סדרת פונקציות <math>\{f_n\}</math> בקטע I. נאמר שהסדרה מקיימת את תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אז <math>|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon</math> ב-I. | '''הגדרה:''' נתונה סדרת פונקציות <math>\{f_n\}</math> בקטע I. נאמר שהסדרה מקיימת את תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אז <math>|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon</math> ב-I. | ||
==משפט 5== | ==משפט 5== | ||
| שורה 21: | שורה 20: | ||
לצד השני, נניח ש-<math>\{f_n\}</math> מקיימת תנאי קושי במ"ש ב-I. ניקח <math>x_0\in I</math> כלשהו ונעיר שסדרת המספרים <math>\{f_n(x_0)\}</math> היא סדרת קושי (כי עפ"י הנתון לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אז <math>|f_n(x_0)-f_m(x_0)|<\varepsilon</math> לפי משפט קושי מאינפי 1 קיים גבול <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)</math>. הדבר נכון לכל <math>x_0\in I</math> וכך נוצרת פונקציה גבולית <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math>. נותר להוכיח שההתכנסות במ"ש. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. עפ"י תנאי קושי יש <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>m>n>n_0</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f_m(x)|<\frac\varepsilon2</math> לכל <math>x\in I</math>. כעת נבחר <math>n>n_0</math> מסויים | לצד השני, נניח ש-<math>\{f_n\}</math> מקיימת תנאי קושי במ"ש ב-I. ניקח <math>x_0\in I</math> כלשהו ונעיר שסדרת המספרים <math>\{f_n(x_0)\}</math> היא סדרת קושי (כי עפ"י הנתון לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אז <math>|f_n(x_0)-f_m(x_0)|<\varepsilon</math> לפי משפט קושי מאינפי 1 קיים גבול <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)</math>. הדבר נכון לכל <math>x_0\in I</math> וכך נוצרת פונקציה גבולית <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math>. נותר להוכיח שההתכנסות במ"ש. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. עפ"י תנאי קושי יש <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>m>n>n_0</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f_m(x)|<\frac\varepsilon2</math> לכל <math>x\in I</math>. כעת נבחר <math>n>n_0</math> מסויים ולכל <math>x\in I</math> נשאיף <math>m\to\infty</math> כלומר <math>|f_n(x)-f(x)|=\lim_{m\to\infty}|f_n(x)-f_m(x)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon</math>. לכן הוכחנו ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I. {{משל}} | ||
=טורי פונקציות= | =טורי פונקציות= | ||
| שורה 31: | שורה 30: | ||
הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מתכנס במ"ש לכל I אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש ב-I. | הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מתכנס במ"ש לכל I אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש ב-I. | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
לפי הגדרה <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש על I אם"ם סדרת הסכומים החלקיים <math>\{S_N(x)\}</math> | לפי הגדרה <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש על I אם"ם סדרת הסכומים החלקיים <math>\{S_N(x)\}</math> מתכנסת במ"ש על I. לפי משפט 5 זה קורה אם"ם <math>\{S_N(x)\}</math> קושי במ"ש על I, כלומר אם"ם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אזי <math>|S_n(x)-S_m(x)|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math>, שמתקיים אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \left|\sum_{k=m+1}^n f_k(x)\right|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math> וזה שקול לתנאי קושי להתכנסות הטור במ"ש על I. {{משל}} | ||
==משפט 7 {{הערה|(מבחן ה-M של וירשטס, The Weierstrass M test)}}== | ==משפט 7 {{הערה|(מבחן ה-M של וירשטס, The Weierstrass M test)}}== | ||
נניח שלכל n הפונקציה <math>f_n(x)</math> מוגדרת ב-I וחסומה שם: <math>|f_n(x)|\le M_n</math> לכל <math>x\in I</math>. עוד נניח שהסכום <math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס ממש. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מתכנס במ"ש על I. | נניח שלכל n הפונקציה <math>f_n(x)</math> מוגדרת ב-I וחסומה שם: <math>|f_n(x)|\le M_n</math> לכל <math>x\in I</math>. עוד נניח שהסכום <math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס ממש. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מתכנס במ"ש על I. | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
נסתמך על משפט 6 לומר שמספיק להוכיח שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> קושי | נסתמך על משפט 6 לומר שמספיק להוכיח שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מקיים תנאי קושי ב-I. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-<math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס הוא טור קושי של מספרים. לכן קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אזי <math>\left|\sum_{k=m}^n M_k\right|<\varepsilon</math>, כלומר <math>\sum_{k=m}^n M_k<\varepsilon</math> (כי <math>M_k\ge0</math>). כעת אם <math>n>m>n_0</math> אז לכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>\left|\sum_{k=m}^n f_n(x)\right|\le\sum_{k=m}^n|M_k|\le\sum_{k=m}^n M_k<\varepsilon</math> ובזה קיימנו את תנאי קושי להתכנסות הטור <math>\sum f_n(x)</math> במ"ש על I. {{משל}} | ||
===מסקנה=== | ===מסקנה=== | ||
בתנאים של מבחן וירשטרס לכל <math>x\in I</math> <math>\sum f_n</math> מתכנס בהחלט. | בתנאים של מבחן וירשטרס לכל <math>x\in I</math>, <math>\sum f_n(x)</math> מתכנס בהחלט. | ||
====הוכחה==== | ====הוכחה==== | ||
נקח <math>x\in I</math> כלשהו. לפי נתון | נקח <math>x\in I</math> כלשהו. לפי נתון <math>\forall n:\ |f_n(x)|\le M_n</math> וכן <math>\sum M_n</math> מתכנס בהחלט. ע"פ מבחן ההשוואה <math>\sum |f_n(x)|</math> מתכנס. {{משל}} | ||
====דוגמה==== | ====דוגמה==== | ||
נוכיח שהטור ההנדסי <math>\sum_{n=0}^\ | נוכיח שהטור ההנדסי <math>\sum_{n=0}^\infty x^n</math> מתכנס נקודתית בקטע <math>(-1,1)</math> אבל לא במ"ש ונוכיח שאם <math>0<r<1</math> הטור מתכנס ב-<math>[-r,r]</math>: כבר הוכחנו שאם <math>-1<x<1</math> אז <math>\sum_{n=0}^\infty x^n</math> מתכנס ל-<math>\frac1{1-x}</math>. | ||
נראה כי ההתכנסות אינה במ"ש. כל סכום חלקי <math>S_N</math> חסום בקטע <math>(-1,1)</math>: <math>|S_N(x)|\le\sum_{n=0}^N |x^n|\le\sum_{n=0}^N 1=N</math>. אם היה נכון ש-<math>S_N(x)\to\frac1{1-x}</math> במ"ש ב-<math>(-1,1)</math> היינו מסיקים מהתרגיל בתחילת ההרצאה שהפונקציה <math>\frac1{1-x}</math> חסומה וזה אינו נכון. לכן ההתכנסות לא במ"ש. | |||
נותר להוכיח שאם <math>r\in(0,1)</math> אז <math>\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math> במ"ש על <math>[-r,r]</math>. ובכן בקטע <math>[-r,r]</math> מתקייים <math>|x^n|\le r^n=M_n</math> כאן <math>\sum_{n=0}^\infty M_n=\sum_{n=0}^\infty r^n=\frac1{1-r}</math>. כיוון שסכום החסמים מתכנס מבחן וירשטרס אומר ש-<math>\sum_{n=0}^\infty x^n</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[-r,r]</math>. {{משל}} | |||
==משפט 8== | ==משפט 8== | ||
נניח ש-<math>S(x)=\sum_{n=0}^\infty f_n(x)</math> עם התכנסות במ"ש על I. אם עבור איזה <math>x_0\in I</math> כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math> אז גם S רציפה ב-< | נניח ש-<math>S(x)=\sum_{n=0}^\infty f_n(x)</math> עם התכנסות במ"ש על I. אם עבור איזה <math>x_0\in I</math> כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math> אז גם S רציפה ב-<math>x_0</math>. | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
לכל N הסכום החלקי <math>S_N(x)=\sum_{n=1}^N f_n(x)</math> סכום סופי של פונקציות רציפות ב-<math>x_0</math>. | לכל N הסכום החלקי <math>S_N(x)=\sum_{n=1}^N f_n(x)</math> סכום סופי של פונקציות רציפות ב-<math>x_0</math>. | ||
| שורה 56: | שורה 59: | ||
===מסקנה=== | ===מסקנה=== | ||
בתנאים של משפט 8, אם כל <math>f_n</math> רציפה ב-I כולו אז גם | בתנאים של משפט 8, אם כל <math>f_n</math> רציפה ב-I כולו אז גם S רציפה ב-I כולו. | ||
==משפט 9== | ==משפט 9== | ||
נניח <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> במ"ש על <math>[a,b]</math>. עוד נניח שכל <math>f_n</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. אזי S אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> ו-<math>\int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty \int\limits_a^b f=\int\limits_a^b | נניח <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> במ"ש על <math>[a,b]</math>. עוד נניח שכל <math>f_n</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. אזי S אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> ו-<math>\int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty \int\limits_a^b f=\int\limits_a^b\sum_{n=1}^\infty f</math> בתנאי שהטור מתכנס במ"ש ב-<math>[a,b]</math>. | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
כרגיל נגדיר סכומים חלקיים <math>S_N</math> ונתון <math> | כרגיל נגדיר סכומים חלקיים <math>S_N</math> ונתון <math>S_N\to S</math> במ"ש על <math>[a,b]</math>. | ||
לפי משפט 3 <math>\int\limits_a^b S=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b S_N=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b\sum_{n=1}^N f_n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int\limits_a^b f_n</math> כי לסכום סופי ידוע שהאינטגרל של הסכום הוא סכום האינטגרלים. | לפי משפט 3 <math>\int\limits_a^b S=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b S_N=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b\sum_{n=1}^N f_n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int\limits_a^b f_n</math> כי לסכום סופי ידוע שהאינטגרל של הסכום הוא סכום האינטגרלים. מצאנו שקיים גבול <math>\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int\limits_a^b f_n</math> ולפי הגדרת סכום אינסופי הגבול הוא <math>\sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f_n</math>, שהוכחנו ששווה ל-<math>\int\limits_a^b S</math>. {{משל}} | ||
==משפט 10== | ==משפט 10== | ||
יהי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> טור של פונקציות רציפות ב-I. נניח: | יהי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> טור של פונקציות בעלות נגזרות רציפות ב-I. נניח: | ||
* עבור <math>x_0\in I</math> | * עבור נקודה <math>x_0\in I</math> אחת לפחות הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x_0)</math> מתכנס. | ||
* <math>\sum_{n=1}^\infty f_n'</math> | * טור הנגזרות <math>\sum_{n=1}^\infty f_n'</math> מתכנס במ"ש לפונקציה s על I. | ||
אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש על I לפונקציה גזירה S ומתקיים <math>S'= | אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש על I לפונקציה גזירה S ומתקיים <math>S'=s</math>. בפרט, בתנאים אלה <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)</math>. | ||
<span id="continue"><!--נא לא למחוק span זה--></span>{{הערה|את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/17.5.11|הרצאה שאחריה]]:}} | |||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
נגדיר סכומים חלקיים <math>S_N=\sum_{n=1}^N f_n</math>. הנתון הראשון אומר שלפחות בנקודה <math>x=x_0</math> קיים <math>\lim_{N\to\infty} S_N(x)</math>. הנתון השני אומר שקיים <math>s(x)=\lim_{N\to\infty} S_N'(x)</math> במ"ש ב-I. ז"א הסדרה <math>\{S_N(x)\}</math> מקיימת את התנאים של משפט 4 ולכן קיים <math>S(x)=\lim_{N\to\infty} S_N(x)</math> ב-I כך ש-S גזירה ב-I ו-<math>S'=s</math>. עתה <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> וכן <math>s(x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N f_n'(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'</math>. מכיוון ש-<math>S'=s</math> נסיק <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\sum_{n=2}^\infty f_n(x)=\frac\mathrm d{\mathrm dx}S(x)=s(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'</math>. {{משל}} | |||
===דוגמה ממבחן=== | ===דוגמה ממבחן=== | ||
לכל <math>x\in\mathbb R</math> נגדיר <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3}</math>. הוכיחו ש- | לכל <math>x\in\mathbb R</math> נגדיר <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3}</math>. הוכיחו ש-S מוגדרת היטב (ז"א הטור מתכנס לכל <math>x\in\mathbb R</math>) ו-S בעלת נגזרת רציפה לכל <math>x\in\mathbb R</math>. | ||
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
לפי מבחן ה-M של וירשטרס, נמצא חסם עליון לערך המוחלט איברי הטור: <math>\forall n:\ \sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\sin(nx)}{n^3}\right|=\frac1{n^3}</math>. כעת <math>\sum\frac1{n^3}</math> מתכנס, לכן <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3}</math> מתכנס במ"ש על <math>\mathbb R</math>, כלומר S מוגדרת היטב. נותר להוכיח ש-<math>S'</math> קיימת ורציפה. נעזר במשפט 10: הטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3}</math> מתכנס בכל נקודה ב-<math>\mathbb R</math> וכן הטור הגזור הוא <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}{n^2}</math>. לכל n מתקיים <math>\sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\cos(nx)}{n^2}\right|=\frac1{n^2}</math> ו-<math>\sum\frac1{n^2}</math> מתכנס. ע"י מבחן ה-M של וירשטרס נסיק שהטור הגזור מתכנס במ"ש על <math>\mathbb R</math> ולכן <math>S'</math> קיימת ובפרט <math>S'=\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}{n^2}</math>. ברור כי <math>\frac{\cos(nx)}{n^2}</math> רציפה ב-<math>\mathbb R</math> ולכן, מכיוון שההתכנסות ל-<math>S'</math> במ"ש, גם <math>S'</math> רציפה (לפי משפט 8). {{משל}} | |||
גרסה מ־14:15, 8 ביוני 2011
תרגיל ברוח מבחן
נניח ש-[math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] במ"ש על I וש-[math]\displaystyle{ f_n }[/math] חסומה ב-I לכל n. הוכיחו כי גם f חסומה ב-I והראו ע"י דוגמה שהתוצאה אינה נכונה אם [math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] נקודתית ב-I.
פתרון
אם [math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] במ"ש ב-I אז נוכל לקחת [math]\displaystyle{ \varepsilon=1 }[/math] ולכן קיים n מסויים כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f(x)-f_n(x)|\lt 1 }[/math] ונובע מאי-שיוויון המשולש כי לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f(x)|-|f_n(x)|\lt 1 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ |f(x)|\lt |f_n(x)|+1 }[/math]. נתון ש-[math]\displaystyle{ f_n }[/math] חסומה, נניח [math]\displaystyle{ |f_n(x)|\le M }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \forall x\in I:\ |f(x)|\lt M+1 }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
לגבי הדוגמה הנגדית, נגדיר [math]\displaystyle{ f_n(x)=\begin{cases}n&x\le\frac1n\\1/x&\text{else}\end{cases} }[/math] ב-[math]\displaystyle{ (0,1) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] נקודתית וכל [math]\displaystyle{ f_n }[/math] חסומה ע"י n, אלא ש-[math]\displaystyle{ f(x)=\frac1x }[/math], שבוודאי לא חסומה. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
הגדרה: נתונה סדרת פונקציות [math]\displaystyle{ \{f_n\} }[/math] בקטע I. נאמר שהסדרה מקיימת את תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n_0\in\mathbb N }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ n\gt m\gt n_0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ |f_n(x)-f_m(x)|\lt \varepsilon }[/math] ב-I.
משפט 5
סדרת פונקציות [math]\displaystyle{ \{f_n\} }[/math] בקטע I מתכנסת במ"ש ב-I אם"ם היא מקיימת תנאי קושי במידה שווה.
הוכחה
תחילה נניח שקיים [math]\displaystyle{ f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x) }[/math] במ"ש ונראה שתנאי קושי מתקיים. לצורך זה יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] נתון. לפי הנתון ש-[math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] במ"ש ב-I, קיים [math]\displaystyle{ n_0\in\mathbb N }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ n\gt n_0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ |f(x)-f_n(x)|\lt \frac\varepsilon2 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math].
כעת אם [math]\displaystyle{ n\gt m\gt n_0 }[/math] אז לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f_n(x)-f_m(x)|\le|f_n(x)-f(x)|+|f(x)-f_m(x)|\lt \frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon }[/math].
לצד השני, נניח ש-[math]\displaystyle{ \{f_n\} }[/math] מקיימת תנאי קושי במ"ש ב-I. ניקח [math]\displaystyle{ x_0\in I }[/math] כלשהו ונעיר שסדרת המספרים [math]\displaystyle{ \{f_n(x_0)\} }[/math] היא סדרת קושי (כי עפ"י הנתון לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n_0\in\mathbb N }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ n\gt m\gt n_0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ |f_n(x_0)-f_m(x_0)|\lt \varepsilon }[/math] לפי משפט קושי מאינפי 1 קיים גבול [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} f_n(x_0) }[/math]. הדבר נכון לכל [math]\displaystyle{ x_0\in I }[/math] וכך נוצרת פונקציה גבולית [math]\displaystyle{ f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x) }[/math]. נותר להוכיח שההתכנסות במ"ש. יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] נתון. עפ"י תנאי קושי יש [math]\displaystyle{ n_0\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ m\gt n\gt n_0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f_n(x)-f_m(x)|\lt \frac\varepsilon2 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math]. כעת נבחר [math]\displaystyle{ n\gt n_0 }[/math] מסויים ולכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] נשאיף [math]\displaystyle{ m\to\infty }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ |f_n(x)-f(x)|=\lim_{m\to\infty}|f_n(x)-f_m(x)|\le\frac\varepsilon2\lt \varepsilon }[/math]. לכן הוכחנו ש-[math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] במ"ש ב-I. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
טורי פונקציות
נאמר שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n(x) }[/math] מתכנס ל-[math]\displaystyle{ S(x) }[/math] במ"ש על I אם [math]\displaystyle{ S(x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^Nf_n(x) }[/math] במ"ש על I.
הגדרה: הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n(x) }[/math] מקיים תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n_0\in\mathbb N }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ n\gt m\gt n_0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \left|\sum_{k=m}^n f_k(x)\right|\lt \varepsilon }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math].
משפט 6
הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n(x) }[/math] מתכנס במ"ש לכל I אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש ב-I.
הוכחה
לפי הגדרה [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n }[/math] מתכנס במ"ש על I אם"ם סדרת הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ \{S_N(x)\} }[/math] מתכנסת במ"ש על I. לפי משפט 5 זה קורה אם"ם [math]\displaystyle{ \{S_N(x)\} }[/math] קושי במ"ש על I, כלומר אם"ם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n_0\in\mathbb N }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ n\gt m\gt n_0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ |S_n(x)-S_m(x)|\lt \varepsilon }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math], שמתקיים אם"ם [math]\displaystyle{ \forall\varepsilon\gt 0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n\gt m\gt n_0:\ \left|\sum_{k=m+1}^n f_k(x)\right|\lt \varepsilon }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] וזה שקול לתנאי קושי להתכנסות הטור במ"ש על I. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
משפט 7 (מבחן ה-M של וירשטס, The Weierstrass M test)
נניח שלכל n הפונקציה [math]\displaystyle{ f_n(x) }[/math] מוגדרת ב-I וחסומה שם: [math]\displaystyle{ |f_n(x)|\le M_n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math]. עוד נניח שהסכום [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty M_n }[/math] מתכנס ממש. אזי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n(x) }[/math] מתכנס במ"ש על I.
הוכחה
נסתמך על משפט 6 לומר שמספיק להוכיח שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n(x) }[/math] מקיים תנאי קושי ב-I. לצורך זה יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] נתון. כיוון ש-[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty M_n }[/math] מתכנס הוא טור קושי של מספרים. לכן קיים [math]\displaystyle{ n_0\in\mathbb N }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ n\gt m\gt n_0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \left|\sum_{k=m}^n M_k\right|\lt \varepsilon }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \sum_{k=m}^n M_k\lt \varepsilon }[/math] (כי [math]\displaystyle{ M_k\ge0 }[/math]). כעת אם [math]\displaystyle{ n\gt m\gt n_0 }[/math] אז לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left|\sum_{k=m}^n f_n(x)\right|\le\sum_{k=m}^n|M_k|\le\sum_{k=m}^n M_k\lt \varepsilon }[/math] ובזה קיימנו את תנאי קושי להתכנסות הטור [math]\displaystyle{ \sum f_n(x) }[/math] במ"ש על I. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
מסקנה
בתנאים של מבחן וירשטרס לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math], [math]\displaystyle{ \sum f_n(x) }[/math] מתכנס בהחלט.
הוכחה
נקח [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] כלשהו. לפי נתון [math]\displaystyle{ \forall n:\ |f_n(x)|\le M_n }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \sum M_n }[/math] מתכנס בהחלט. ע"פ מבחן ההשוואה [math]\displaystyle{ \sum |f_n(x)| }[/math] מתכנס. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
דוגמה
נוכיח שהטור ההנדסי [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty x^n }[/math] מתכנס נקודתית בקטע [math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math] אבל לא במ"ש ונוכיח שאם [math]\displaystyle{ 0\lt r\lt 1 }[/math] הטור מתכנס ב-[math]\displaystyle{ [-r,r] }[/math]: כבר הוכחנו שאם [math]\displaystyle{ -1\lt x\lt 1 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty x^n }[/math] מתכנס ל-[math]\displaystyle{ \frac1{1-x} }[/math].
נראה כי ההתכנסות אינה במ"ש. כל סכום חלקי [math]\displaystyle{ S_N }[/math] חסום בקטע [math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math]: [math]\displaystyle{ |S_N(x)|\le\sum_{n=0}^N |x^n|\le\sum_{n=0}^N 1=N }[/math]. אם היה נכון ש-[math]\displaystyle{ S_N(x)\to\frac1{1-x} }[/math] במ"ש ב-[math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math] היינו מסיקים מהתרגיל בתחילת ההרצאה שהפונקציה [math]\displaystyle{ \frac1{1-x} }[/math] חסומה וזה אינו נכון. לכן ההתכנסות לא במ"ש.
נותר להוכיח שאם [math]\displaystyle{ r\in(0,1) }[/math] אז [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x} }[/math] במ"ש על [math]\displaystyle{ [-r,r] }[/math]. ובכן בקטע [math]\displaystyle{ [-r,r] }[/math] מתקייים [math]\displaystyle{ |x^n|\le r^n=M_n }[/math] כאן [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty M_n=\sum_{n=0}^\infty r^n=\frac1{1-r} }[/math]. כיוון שסכום החסמים מתכנס מבחן וירשטרס אומר ש-[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty x^n }[/math] מתכנס במ"ש ב-[math]\displaystyle{ [-r,r] }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
משפט 8
נניח ש-[math]\displaystyle{ S(x)=\sum_{n=0}^\infty f_n(x) }[/math] עם התכנסות במ"ש על I. אם עבור איזה [math]\displaystyle{ x_0\in I }[/math] כל [math]\displaystyle{ f_n }[/math] רציפה ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אז גם S רציפה ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math].
הוכחה
לכל N הסכום החלקי [math]\displaystyle{ S_N(x)=\sum_{n=1}^N f_n(x) }[/math] סכום סופי של פונקציות רציפות ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math].
מאינפי 1 ידוע ש-[math]\displaystyle{ S_N(x) }[/math] רציפה ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] עבור כל N. נתון [math]\displaystyle{ S_N\to S }[/math] במ"ש על I.
לכן נובע ממשפט 2 ש-f רציפה ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
מסקנה
בתנאים של משפט 8, אם כל [math]\displaystyle{ f_n }[/math] רציפה ב-I כולו אז גם S רציפה ב-I כולו.
משפט 9
נניח [math]\displaystyle{ S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x) }[/math] במ"ש על [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. עוד נניח שכל [math]\displaystyle{ f_n }[/math] אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי S אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty \int\limits_a^b f=\int\limits_a^b\sum_{n=1}^\infty f }[/math] בתנאי שהטור מתכנס במ"ש ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].
הוכחה
כרגיל נגדיר סכומים חלקיים [math]\displaystyle{ S_N }[/math] ונתון [math]\displaystyle{ S_N\to S }[/math] במ"ש על [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. לפי משפט 3 [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b S=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b S_N=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b\sum_{n=1}^N f_n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int\limits_a^b f_n }[/math] כי לסכום סופי ידוע שהאינטגרל של הסכום הוא סכום האינטגרלים. מצאנו שקיים גבול [math]\displaystyle{ \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int\limits_a^b f_n }[/math] ולפי הגדרת סכום אינסופי הגבול הוא [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f_n }[/math], שהוכחנו ששווה ל-[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b S }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
משפט 10
יהי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n }[/math] טור של פונקציות בעלות נגזרות רציפות ב-I. נניח:
- עבור נקודה [math]\displaystyle{ x_0\in I }[/math] אחת לפחות הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n(x_0) }[/math] מתכנס.
- טור הנגזרות [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n' }[/math] מתכנס במ"ש לפונקציה s על I.
אזי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n }[/math] מתכנס במ"ש על I לפונקציה גזירה S ומתקיים [math]\displaystyle{ S'=s }[/math]. בפרט, בתנאים אלה [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x) }[/math].
את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:
הוכחה
נגדיר סכומים חלקיים [math]\displaystyle{ S_N=\sum_{n=1}^N f_n }[/math]. הנתון הראשון אומר שלפחות בנקודה [math]\displaystyle{ x=x_0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \lim_{N\to\infty} S_N(x) }[/math]. הנתון השני אומר שקיים [math]\displaystyle{ s(x)=\lim_{N\to\infty} S_N'(x) }[/math] במ"ש ב-I. ז"א הסדרה [math]\displaystyle{ \{S_N(x)\} }[/math] מקיימת את התנאים של משפט 4 ולכן קיים [math]\displaystyle{ S(x)=\lim_{N\to\infty} S_N(x) }[/math] ב-I כך ש-S גזירה ב-I ו-[math]\displaystyle{ S'=s }[/math]. עתה [math]\displaystyle{ S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ s(x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N f_n'(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n' }[/math]. מכיוון ש-[math]\displaystyle{ S'=s }[/math] נסיק [math]\displaystyle{ \frac\mathrm d{\mathrm dx}\sum_{n=2}^\infty f_n(x)=\frac\mathrm d{\mathrm dx}S(x)=s(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n' }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
דוגמה ממבחן
לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ S(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3} }[/math]. הוכיחו ש-S מוגדרת היטב (ז"א הטור מתכנס לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math]) ו-S בעלת נגזרת רציפה לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math].
פתרון
לפי מבחן ה-M של וירשטרס, נמצא חסם עליון לערך המוחלט איברי הטור: [math]\displaystyle{ \forall n:\ \sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\sin(nx)}{n^3}\right|=\frac1{n^3} }[/math]. כעת [math]\displaystyle{ \sum\frac1{n^3} }[/math] מתכנס, לכן [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3} }[/math] מתכנס במ"ש על [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], כלומר S מוגדרת היטב. נותר להוכיח ש-[math]\displaystyle{ S' }[/math] קיימת ורציפה. נעזר במשפט 10: הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3} }[/math] מתכנס בכל נקודה ב-[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] וכן הטור הגזור הוא [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}{n^2} }[/math]. לכל n מתקיים [math]\displaystyle{ \sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\cos(nx)}{n^2}\right|=\frac1{n^2} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \sum\frac1{n^2} }[/math] מתכנס. ע"י מבחן ה-M של וירשטרס נסיק שהטור הגזור מתכנס במ"ש על [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ S' }[/math] קיימת ובפרט [math]\displaystyle{ S'=\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}{n^2} }[/math]. ברור כי [math]\displaystyle{ \frac{\cos(nx)}{n^2} }[/math] רציפה ב-[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] ולכן, מכיוון שההתכנסות ל-[math]\displaystyle{ S' }[/math] במ"ש, גם [math]\displaystyle{ S' }[/math] רציפה (לפי משפט 8). [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]