גרסה אחרונה מ־14:14, 28 ביוני 2011

התכנסות במ"ש (המשך)

משפט דיני

[math]\displaystyle{ f_n }[/math] סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ומתכנסת נקודתית בקטע זה לפונקציה רציפה f. בנוסף [math]\displaystyle{ \{f_n(x)\} }[/math] סדרה עולה לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f_n }[/math] מתכנסת במ"ש ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

דוגמה 1

בדוק הכנסות עבור הסדרה [math]\displaystyle{ f_n(x)=\sqrt[n]{\sin(x)} }[/math] בקטע

[math]\displaystyle{ \left[\tfrac\pi4,\tfrac34\pi\right] }[/math]
פתרון
נשים לב שעבור x בקטע [math]\displaystyle{ \sin(x)\gt 0 }[/math]. קל לראות גם שפונקצית הגבול היא [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin(x)}=1 }[/math], שרציפה. כמו כן ברור כי [math]\displaystyle{ f_n }[/math] רציפות ובקטע מתקיים [math]\displaystyle{ \sqrt[n+1]{\sin(x)}\ge\sqrt[n]{\sin(x)} }[/math]. לכן מתקיימים תנאי משפט דיני, ומכאן שההתכנסות במ"ש. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
[math]\displaystyle{ (0,\pi) }[/math]
פתרון

נשים לב שנתון קטע פתוח, לכן לא ניתן להשתמש בתנאי דיני. ברור לנו שפונקצית הגבול [math]\displaystyle{ f(x)=1 }[/math] ומכיוון ש-[math]\displaystyle{ \sup_{x\in(0,\pi)}\left|1-\sqrt[n]{\sin(x)}\right|=1\ne0 }[/math] ההתכנסות אינה במ"ש. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה 2

קבעו אם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x^{2n} }[/math] מתכנס ב-[math]\displaystyle{ \left[-\tfrac34,\tfrac34\right] }[/math].

פתרון

נשתמש בנוסחאת הסכום לטור הנדסי: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x^{2n}=\sum_{n=1}^\infty \left(x^2\right)^n=\frac{x^2}{1-x^2} }[/math]. לכן יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה 3

הוכח או הפרך: אם [math]\displaystyle{ f_n:[a,b]\to[c,d] }[/math] סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקצית הגבול f וכן [math]\displaystyle{ g:[c,d]\to\mathbb R }[/math] פונקציה רציפה אז [math]\displaystyle{ g\circ f_n }[/math] היא סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש לפונקצית הגבול [math]\displaystyle{ g\circ f }[/math].

פתרון

נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] יש [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ |y_1-y_2|\lt \delta }[/math] אז [math]\displaystyle{ |g(y_1)-g(y_2)|\lt \varepsilon }[/math]. בנוסף נתון ש-[math]\displaystyle{ f_n }[/math] מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f_n(x)-f(x)|\lt \delta }[/math] (בפרט אפשר לבחור [math]\displaystyle{ \varepsilon=\delta }[/math]). נשים לב ש-[math]\displaystyle{ g\circ f_n }[/math] מוגדרת היטב לכל [math]\displaystyle{ a\le x\le b }[/math] ועבור [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |g(f_n(x))-g(f(x))|\lt \varepsilon }[/math]. מכאן ש-[math]\displaystyle{ g\circ f_n\to g\circ f }[/math] במ"ש. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

מבחן ה-M של ווירשטראס

יהי [math]\displaystyle{ \sum f_n(x) }[/math] טור פונקציות בקטע I. אם קיים טור מתכנס של מספרים חיוביים [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] כך שלכל n גדול מספיק ולכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f_n(x)|\le a_n }[/math] אז [math]\displaystyle{ \sum f_n(x) }[/math] מתכנס במ"ש ב-I.

דוגמה 4

הוכח כי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n }[/math] מתכנס במ"ש ב-[math]\displaystyle{ [0,1] }[/math].

פתרון

נרשום את הטור כ-[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty (x(1-x))^n }[/math] נסמן [math]\displaystyle{ f(x)=x(1-x) }[/math] ונחסום אותה: [math]\displaystyle{ f(x)=x-x^2\implies f'(x)=1-2x }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f'(x)=0\iff x=\frac12 }[/math], שהיא מקסימום כי [math]\displaystyle{ f''(1/2)=-2\lt 0 }[/math]. נותר לבדוק את קצוות הקטע: [math]\displaystyle{ f(0)=f(1)=0 }[/math]. נסיק ש-[math]\displaystyle{ x=\frac12 }[/math] היא נקודת קיצון גלובלית וכן-[math]\displaystyle{ f(1/2)=\frac14\implies f_n(x)=(x(1-x))^n\le\left(\frac14\right)^n }[/math]. [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac1{4^n} }[/math] מתכנס (זהו טור הנדסי) ולכן, לפי מבחן ה-M של וירשטרס, הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n }[/math] מתכנס במ"ש. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

אינטגרציה איבר-איבר בסדרות

תהי [math]\displaystyle{ f_n }[/math] סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציות f בקטע I. אזי f אינטגרבילית בקטע ומתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b\lim_{n\to\infty}f_n=\int\limits_a^b f }[/math].

דוגמה 5

קבע האם [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n }[/math] מתכנס כאשר [math]\displaystyle{ f_n(x)=nxe^{-nx^2} }[/math] ב-[math]\displaystyle{ [0,1] }[/math], והאם [math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] במ"ש.

פתרון

נציב [math]\displaystyle{ y=x^2 }[/math] ואז [math]\displaystyle{ \int\limits_0^1 f_n=\frac n2\int\limits_0^1e^{-ny}\mathrm dy=\frac n2\left[\frac{e^{-ny}}{-n}\right]_{y=0}^1=-\frac12e^{-n}+\frac12\to\frac12 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n }[/math] אכן מתכנס. נותר לבדוק אם [math]\displaystyle{ \{f_n\} }[/math] מתכנסת במ"ש:

דרך 1: [math]\displaystyle{ f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{e^{nx^2}}=0 }[/math] (השיוויון האחרון לפי לופיטל). נניח בשלילה שההתכנסות במ"ש, אבל [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 nxe^{-nx^2}\mathrm dx=\frac12\ne 0=\int\limits_0^1 f }[/math] ולכן קיבלנו סתירה. לפיכך ההתכנסות אינה במ"ש. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דרך 2: הראנו כבר כי פונקצית הגבול היא 0. נחפש מקסימום ל-[math]\displaystyle{ f_n(x) }[/math]: [math]\displaystyle{ 0=f_n'(x)=-2n^2x^2e^{-nx^2}+ne^{-nx^2}=ne^{-nx^2}(-2x^2n+1) }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ x=\frac1\sqrt{2n} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \sup\left|f_n(x)-f(x)\right|=\frac n\sqrt{2n}e^{-\frac n{2n}}-0=\sqrt\frac n2e^{-\frac 1{2}}\to\infty\ne0 }[/math] ומכאן שההתכנסות אינה במ"ש. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 =התכנסות במ"ש {{הערה|(המשך)}}=
 ==משפט דיני==
-אם <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע <math>[a,b]</math> ומתכנסת נקודתית בקטע זה לפונקציה רציפה f. בנוסף <math>f_n</math> סדרה עולה לכל <math>x\in[a,b]</math>. אזי <math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ב-<math>[a,b]</math>.
+<math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע <math>[a,b]</math> ומתכנסת נקודתית בקטע זה לפונקציה רציפה f. בנוסף <math>\{f_n(x)\}</math> סדרה עולה לכל <math>x\in[a,b]</math>. אזי <math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ב-<math>[a,b]</math>.
 ===דוגמה 1===
 בדוק הכנסות עבור הסדרה <math>f_n(x)=\sqrt[n]{\sin(x)}</math> בקטע
-# <math>\left[\frac\pi4,\frac34\pi\right]</math>
+<ol><li><math>\left[\tfrac\pi4,\tfrac34\pi\right]</math>
 ====פתרון====
-נישם לב שעבור x בקטע <math>\sin(x)>0</math>. קל לראות גם שפונקצית הגבול <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin(x)}=1</math>. ברור כי <math>f_n</math> רציפות ובקטע מתקיים <math>\sqrt[n+1]{\sin(x)}\ge\sqrt[n]{\sin(x)}</math>. ברור כי פונקציה הגבול רציפה ולכן מתקיימים תנאי משפט דיני, מכאן שההתכנסות במ"ש. {{משל}}
+נשים לב שעבור x בקטע <math>\sin(x)>0</math>. קל לראות גם שפונקצית הגבול היא <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin(x)}=1</math>, שרציפה. כמו כן ברור כי <math>f_n</math> רציפות ובקטע מתקיים <math>\sqrt[n+1]{\sin(x)}\ge\sqrt[n]{\sin(x)}</math>. לכן מתקיימים תנאי משפט דיני, ומכאן שההתכנסות במ"ש. {{משל}}</li>
-# <math>(0,\pi)</math>
+<li><math>(0,\pi)</math>
 ====פתרון====
-נשים לב שנתון קטע פתוח, לכן לא ניתן להשתמש בתנאי דיני. ברור לנו שפונקצית הגבול <math>f(x)=1</math> ומכיוון ש-<math>\sup_{x\in(0,\pi)}\left|1-\sqrt[n]{\sin(x)}\right|=1\ne0</math>. {{משל}}
+נשים לב שנתון קטע פתוח, לכן לא ניתן להשתמש בתנאי דיני. ברור לנו שפונקצית הגבול <math>f(x)=1</math> ומכיוון ש-<math>\sup_{x\in(0,\pi)}\left|1-\sqrt[n]{\sin(x)}\right|=1\ne0</math> ההתכנסות אינה במ"ש. {{משל}}
+</li></ol>
 ==דוגמה 2==
-קבעו אם הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^{2n}</math> מתכנס ב-<math>\left[-\frac34,\frac34\right]</math>.
+קבעו אם הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^{2n}</math> מתכנס ב-<math>\left[-\tfrac34,\tfrac34\right]</math>.
 ===פתרון===
-נשתמש בטור הנדסי, נרשום <math>\sum_{n=1}^\infty x^{2n}=\sum_{n=1}^\infty \left(x^2\right)^n=\frac{x^2}{1-x^2}</math> ולכן יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). מסקנה: לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש. {{משל}}
+נשתמש בנוסחאת הסכום לטור הנדסי: <math>\sum_{n=1}^\infty x^{2n}=\sum_{n=1}^\infty \left(x^2\right)^n=\frac{x^2}{1-x^2}</math>. לכן יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש. {{משל}}
-==דוגמה 3 משיעור קודם==
+==דוגמה 3==
 הוכח או הפרך: אם <math>f_n:[a,b]\to[c,d]</math> סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקצית הגבול f וכן <math>g:[c,d]\to\mathbb R</math> פונקציה רציפה אז <math>g\circ f_n</math> היא סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש לפונקצית הגבול <math>g\circ f</math>.
 ===פתרון===
-נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל <math>\varepsilon>0</math> יש <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|y_1-y_2|<\delta</math> אז <math>|g(y_1)-g(y_2)|<\varepsilon</math>. בנוסף נתון ש-<math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|<\delta</math> (בפרט אפשר לבחור <math>\varepsilon=\delta</math>.
+נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל <math>\varepsilon>0</math> יש <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|y_1-y_2|<\delta</math> אז <math>|g(y_1)-g(y_2)|<\varepsilon</math>. בנוסף נתון ש-<math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|<\delta</math> (בפרט אפשר לבחור <math>\varepsilon=\delta</math>).
-נשים לב ש-<math>g\circ f_n</math> מוגדרת היטב ושם לכל <math>a\le x\le b</math> ובפרט עבור <math>n>N</math> מתקיים <math>|g(f_n(x))-g(f(x))|<\varepsilon</math>.
+נשים לב ש-<math>g\circ f_n</math> מוגדרת היטב לכל <math>a\le x\le b</math> ועבור <math>n>N</math> מתקיים <math>|g(f_n(x))-g(f(x))|<\varepsilon</math>. מכאן ש-<math>g\circ f_n\to g\circ f</math> במ"ש. {{משל}}
 ==מבחן ה-M של ווירשטראס==
-יהי <math>\sum f_n(x)</math> טור פונקציות בקטע I. אם קיים טור מתכנסשל מספרים חיוביים <math>\sum a_n<M</math> כך שלכל n גדול מספיק ולכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f_n(x)|\le a_n</math> אז <math>\sum f_n(x)</math> מתכנס במ"ש ב-I.
+יהי <math>\sum f_n(x)</math> טור פונקציות בקטע I. אם קיים טור מתכנס של מספרים חיוביים <math>\sum a_n</math> כך שלכל n גדול מספיק ולכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f_n(x)|\le a_n</math> אז <math>\sum f_n(x)</math> מתכנס במ"ש ב-I.
 ==דוגמה 4==
 הוכח כי <math>\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[0,1]</math>.
 ===פתרון===
-נרשום את הטור כ-<math>\sum_{n=1}^\infty (x(1-x))^n</math> נסמן <math>f(x)=x(1-x)</math> ונחסום אותה: <math>f(x)=x-x^2\implies f'(x)=1-2x</math> ו-<math>f'(x)=0\iff x=\frac12</math>, שהיא מקסימום כי <math>f''(1/2)=1-2=-1<0</math>. נותר לבדוק את קצוות הקטע: <math>x\in[0,1]\implies0\le x(1-x)\le\frac14\implies f_n(x)=(x(1-x))^n\le\left(\frac14\right)^n</math>. לפי מבחן ה-M של ווירשטרס <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{4^n}</math> מתכנס (כי זהו טור הנדסי) ולכן מקבילים כי הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n</math> מתכנס במ"ש.
+נרשום את הטור כ-<math>\sum_{n=1}^\infty (x(1-x))^n</math> נסמן <math>f(x)=x(1-x)</math> ונחסום אותה: <math>f(x)=x-x^2\implies f'(x)=1-2x</math> ולכן <math>f'(x)=0\iff x=\frac12</math>, שהיא מקסימום כי <math>f''(1/2)=-2<0</math>. נותר לבדוק את קצוות הקטע: <math>f(0)=f(1)=0</math>. נסיק ש-<math>x=\frac12</math> היא נקודת קיצון גלובלית וכן-<math>f(1/2)=\frac14\implies f_n(x)=(x(1-x))^n\le\left(\frac14\right)^n</math>. <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{4^n}</math> מתכנס (זהו טור הנדסי) ולכן, לפי מבחן ה-M של וירשטרס, הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n</math> מתכנס במ"ש. {{משל}}
-===אינטגרציה איבר-איבר בסדרות===
-אם <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש. לפונקציות f בקטע I אז f אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b\lim_{n\to\infty}f_n=\int\limits_a^b f</math>
+==אינטגרציה איבר-איבר בסדרות==
+תהי <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציות f בקטע I. אזי f אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b\lim_{n\to\infty}f_n=\int\limits_a^b f</math>.
 ===דוגמה 5===
-קבע האם <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n</math> מתכנס כאשר <math>0\le x\le1</math> ו-<math>f_n(x)=nxe^{-nx^2}</math>. נציב <math>y=x^2</math> ואז <math>\int\limits_0^1 f_n=\frac12\int\limits_0^1ne^{-ny}\mathrm dy=\frac12\left[\frac{ne^{-ny}}{-n}\right]_{y=0}^1=-\frac12e^{-n}+\frac12\to\frac12</math> עבור צד ימין <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{e^{nx2}}=0</math> (השיוויון האחרון לפי לופיטל) ולכן ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 n<math>xe^{-nx^2}\mathrm dx</math></math> ז"א אכן לא מתקיים שיוויון.
+קבע האם <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n</math> מתכנס כאשר <math>f_n(x)=nxe^{-nx^2}</math> ב-<math>[0,1]</math>, והאם <math>f_n\to f</math> במ"ש.
+====פתרון====
+נציב <math>y=x^2</math> ואז <math>\int\limits_0^1 f_n=\frac n2\int\limits_0^1e^{-ny}\mathrm dy=\frac n2\left[\frac{e^{-ny}}{-n}\right]_{y=0}^1=-\frac12e^{-n}+\frac12\to\frac12</math>, כלומר <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n</math> אכן מתכנס. נותר לבדוק אם <math>\{f_n\}</math> מתכנסת במ"ש:
+''דרך 1:'' <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{e^{nx^2}}=0</math> (השיוויון האחרון לפי לופיטל). נניח בשלילה שההתכנסות במ"ש, אבל <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 nxe^{-nx^2}\mathrm dx=\frac12\ne 0=\int\limits_0^1 f</math> ולכן קיבלנו סתירה. לפיכך ההתכנסות אינה במ"ש. {{משל}}
-נראה ש-<math>f_n</math> לא מתכנסת במ"ש.
+''דרך 2:'' הראנו כבר כי פונקצית הגבול היא 0. נחפש מקסימום ל-<math>f_n(x)</math>: <math>0=f_n'(x)=-2n^2x^2e^{-nx^2}+ne^{-nx^2}=ne^{-nx^2}(-2x^2n+1)</math> ונקבל <math>x=\frac1\sqrt{2n}</math>. לכן <math>\sup\left|f_n(x)-f(x)\right|=\frac n\sqrt{2n}e^{-\frac n{2n}}-0=\sqrt\frac n2e^{-\frac 1{2}}\to\infty\ne0</math> ומכאן שההתכנסות אינה במ"ש. {{משל}}
-====פתרון===
-ברור כי פונקצית הגבול היא 0. נשתש במבחן ה-M (כי כל גישה אחרת דורשת חלוקה לקטעים). נחפש מקסימום ל-<math>f_n(x)</math>: <math>f_n'(x)=-2n^2x^2e^{-n^2x^2}+ne^{-nx^2}=ne^{-n^2x^2}(-2x^2n+1)=0</math> ונקבל <math>x=\frac1\sqrt{2n}</math>. מתקיים <math>\sup|\frac n\sqrt{2n}e^{-\frac n{4n}}-0|\not\to0</math>.