גרסה מ־14:55, 1 ביולי 2011

סכומי טורים

תזכורת: (אינטגרציה איבר איבר בסדרות) אם [math]\displaystyle{ f_n }[/math] סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציה f ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], אז f אינטגרבילית ומתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b f }[/math]. באופן דומה ננסח עבור גזירה איבר-איבר בסדרות: [math]\displaystyle{ f_n }[/math] סדרת פונקציות גזירות ורציפות ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] המתכנסת בנקודה אחת לפחות [math]\displaystyle{ x_0\in[a,b] }[/math] ל-[math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ f_n' }[/math] סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אז [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} f_n'(x)=f'(x)=\left(\lim_{n\to\infty}f_n(x)\right)' }[/math].

באופן דומה נגדיר עבור טורים. עבור אינטגרציה, לדוגמה: יהי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n(x) }[/math] טור של פונקציות רציפות ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] המתכנס במ"ש בקטע לפונקצית סכום [math]\displaystyle{ S(x) }[/math], אזי טור המספרים מתכנס ומתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty \int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b \sum_{n=0}^\infty=\int\limits_a^b S }[/math].

גזירה איבר איבר של טורי פונקציות: יהיו [math]\displaystyle{ f_n }[/math] פונציות גזירות רציפות ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty f_n(x) }[/math] מתכנס ב-[math]\displaystyle{ x_0\in[a,b] }[/math] ל-[math]\displaystyle{ S(x_0) }[/math] אם טור הנגזרות [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty f_n'(x) }[/math] מתכנס במידה שווה בקטע אז מתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty f_n'(x)=S'(x)=\left(\sum_{n=0}^\infty f_n(x)\right)' }[/math].

דוגמה 1

הוכיחו שלכל [math]\displaystyle{ t\in(0,1) }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \ln(1+t)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{t^n}n }[/math].
פתרון

ידוע ש-[math]\displaystyle{ \ln(1+t)=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1+x} }[/math] וש-[math]\displaystyle{ \frac1{1+x}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n }[/math] (לפי נוסחת סכום סדרה הנדסית). מספיק להראות שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש בקטע [math]\displaystyle{ [0,a] }[/math] ואז נוכל לעשות אינטגרציה איבר-איבר. נשתמש במבחן ה-M של ויירשראס: [math]\displaystyle{ |(-1)^nx^n|\le a^n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in[0,a] }[/math]. אם [math]\displaystyle{ 0\lt a\lt 1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a^n }[/math] מתכנס ולכן [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n }[/math] מתכנס במ"ש.
עתה יהי [math]\displaystyle{ t\in(0,1) }[/math] ונסתכל על הקטע מהצורה [math]\displaystyle{ [0,t] }[/math], שם הראנו שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש ולכן
[math]\displaystyle{ \begin{align}\ln(1+t)&=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1+x}\\&=\int\limits_0^t \sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n \mathrm dx\\&=\sum_{n=0}^\infty \int\limits_0^t (-1)^nx^n\mathrm dx\\&=\sum_{n=0}^\infty\left[(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{x=0}^t\\&=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nt^{n+1}}{n+1}\\&=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{t^n}n\end{align} }[/math]
[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
חשבו [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac1{2^nn} }[/math].
פתרון

נעזר בסעיף 1. ברור כי [math]\displaystyle{ t=\frac12 }[/math] נמצא בקטע [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math], ולכן נציב: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{2^nn}=-\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{\left(\frac12\right)^n}n=-\ln\left(1\tfrac12\right) }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה 2

יטופל בהמשך:

חשבו את סכום הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac n{(n+1)x^n} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math].

פתרון

ראשית נוכיח שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x^n }[/math] מתכנס במ"ש ב-[math]\displaystyle{ (0,1) }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ 0\lt x_0\lt 1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \left|x^n\right|\le x_0^n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ \frac1x\in[0,x_0] }[/math]. כמו כן [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x_0^n }[/math] מתכנס כי [math]\displaystyle{ 0\lt x_0\lt 1 }[/math] והטור הנדסי, לכן, ממבחן ה-M של ויירשטראס, הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x^n=\frac1{1-x} }[/math] מתכנס במ"ש ב-[math]\displaystyle{ [0,x_0] }[/math]. עתה נוכל לעשות אינטגרציה איבר-איבר: [math]\displaystyle{ \int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1-t}=\int\limits_0^x\sum_{n=1}^\infty t^n\mathrm dt=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_0^x t^n\mathrm dt=\sum_{n=2}^\infty\frac{x^{n+1}}{n+1} }[/math]. כמו כן, ברור כי [math]\displaystyle{ \int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1-t}=[-\ln(1-t)]_{t=0}^x=-\ln(1-x) }[/math]. נשאר לחלק ב-x ואז לגזור.

דוגמה 3

מהו סכום הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac n{x^n} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x\lt 1 }[/math]?

פתרון

נשים לב שאם נגדיר[math]\displaystyle{ f_n(x)=\frac1{x^n} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f_n'(x)=(x^{-n})'=-n\cdot x^{-n-1}=\frac{-n}{x^{n+1}} }[/math]. כמו כן [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}=\frac{1/x}{1-1/x}=\frac1{x-1} }[/math]. נבדוק את התנאים לגזירה איבר-איבר. דרוש ש-[math]\displaystyle{ \sum f_n'(x) }[/math] יתכנס במ"ש.

נעזר במבחן ה-M של ויירשראס. אם [math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math] אז יש [math]\displaystyle{ 1\lt a\lt x }[/math] שם מתקיים [math]\displaystyle{ \left|\frac{-n}{x^{n+1}}\right|\le\frac n{a^{n+1}} }[/math]. הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac n{a^{n+1}} }[/math] טור מתכנס עפ"י מבחן המנה של ד'לאמר (או מבחן השורש של קושי).

נסיק שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{-n}{x^{n+1}} }[/math] מתכנס במ"ש ולכן [math]\displaystyle{ \left(\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}\right)'=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac1{x^n}\right)'=\sum_{n=1}^\infty \frac{-n}{x^{n+1}} }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \left(\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}\right)'=\left(\frac1{x-1}\right)'=\frac{-1}{(x-1)^2} }[/math]. לסיכום [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{-n}{x^{n+1}}=\frac{-1}{(x-1)^2} }[/math], ולפיכך [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac n{x^n}=\frac x{(x-1)^2} }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

טורי חזקות

רדיוס ההתכנסות של טור חזקות [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_nx^n }[/math] הוא [math]\displaystyle{ R=\frac1{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}} }[/math], והוא מתכנס בהחלט ב-[math]\displaystyle{ (x_0-R,x_0+R) }[/math]. לגבי התכנסות בקצוות הקטע, יש לבדוק בנפרד.

דוגמה 4

מצאו את תחום התכנסות של הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}\sqrt[3]n }[/math].

פתרון

אכן מדובר על טור חזקות כי כאשר המקדם הכללי הוא [math]\displaystyle{ a_n=\frac1\sqrt[3]n }[/math]. לכן רדיוס ההתכנסות הוא [math]\displaystyle{ R=\frac1{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]\tfrac1\sqrt[3]n}=\left(1/\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]n\right)^{-3}=1 }[/math]. ז"א כאשר [math]\displaystyle{ |x|\lt 1 }[/math] הטור מתכנס. נשאר לבדוק האם יש התכנסות בקצוות [math]\displaystyle{ x=\pm1 }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] הטור הוא [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1^n}\sqrt[3]n }[/math], שמתבדר כי הוא גדול מ-[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac1n=\infty }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math] ברור שהטור מתכנס, לפי משפט לייבניץ. לסיכום, תחום ההתכנסות הוא [math]\displaystyle{ [-1,1) }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה 5

מצאו את תחום ההתכנסות של [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty n!x^{n!} }[/math].

פתרון

נשים לב כי הטור הנתון אינו טור חזקות, ולכן "נתקן" אותו. נגדיר [math]\displaystyle{ a_n=\begin{cases}n&\exists k:\ n=k!\\0&\text{else}\end{cases} }[/math]. נקבל את הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n }[/math]. נשים לב שאכן במקרה הזה נצטרך לחשב [math]\displaystyle{ \limsup }[/math] (ולא סתם [math]\displaystyle{ \lim }[/math]). [math]\displaystyle{ 1/\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1/\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n=1/1=1 }[/math] ולכן רדיוס ההתכנסות הוא 1. נבדוק בקצוות: ב-1 הטור הוא [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty n!\cdot 1^{n!}\to\infty }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math] הטור הוא [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty n!(-1)^{n!} }[/math], שגם שואף לאינסוף כי [math]\displaystyle{ n! }[/math] זוגי לכל [math]\displaystyle{ n\gt 1 }[/math]. לסיכום, תחום ההתכנסות הוא [math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 =סכומי טורים=
-'''תזכורת:''' (אינטגרציה איבר איבר בסדרות) אם <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציה f ב-<math>[a,b]</math>, אז f אינטגרבילית ומתקיים <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b f</math>. באופן דומה ננסח עבור גזירה איבר-איבר בסדרות: <math>f_n</math> סדרת פונקציות גזירות ורציפות ב-<math>[a,b]</math> המתכנסת בנקודה אחת <math>x_0\in[a,b]</math> ל-<math>f(x_0)</math>. אם <math>f_n'</math> סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש ב-<math>[a,b]</math> אז <math>f</math> גזירה <math>\lim_{n\to\infty} f_n'(x)=f'(x)=\left(\lim_{n\to\infty}f_n(x)\right)'</math>. באופן דומה נגדיר עבור טורים. '''עבור אינטגרציה לדוגמה''': יהי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> טור של פונקציות רציפות ב-<math>[a,b]</math> המתכנס במ"ש בקטע לפונקצית סכום <math>S(x)</math> אז טור המספרים מתכנס ומתקיים <math>\sum_{n=0}^\infty \int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b \sum_{n=0}^\infty=\int\limits_a^b S</math>.
+'''תזכורת:''' (אינטגרציה איבר איבר בסדרות) אם <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציה f ב-<math>[a,b]</math>, אז f אינטגרבילית ומתקיים <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b f</math>. באופן דומה ננסח עבור גזירה איבר-איבר בסדרות: <math>f_n</math> סדרת פונקציות גזירות ורציפות ב-<math>[a,b]</math> המתכנסת בנקודה אחת לפחות <math>x_0\in[a,b]</math> ל-<math>f(x_0)</math>. אם <math>f_n'</math> סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש ב-<math>[a,b]</math> אז <math>f</math> גזירה <math>\lim_{n\to\infty} f_n'(x)=f'(x)=\left(\lim_{n\to\infty}f_n(x)\right)'</math>.
+באופן דומה נגדיר עבור טורים. עבור אינטגרציה, לדוגמה: יהי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> טור של פונקציות רציפות ב-<math>[a,b]</math> המתכנס במ"ש בקטע לפונקצית סכום <math>S(x)</math>, אזי טור המספרים מתכנס ומתקיים <math>\sum_{n=0}^\infty \int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b \sum_{n=0}^\infty=\int\limits_a^b S</math>.
+גזירה איבר איבר של טורי פונקציות: יהיו <math>f_n</math> פונציות גזירות רציפות ב-<math>[a,b]</math> כך שהטור <math>\sum_{n=0}^\infty f_n(x)</math> מתכנס ב-<math>x_0\in[a,b]</math> ל-<math>S(x_0)</math> אם טור הנגזרות <math>\sum_{n=0}^\infty f_n'(x)</math> מתכנס במידה שווה בקטע אז מתקיים <math>\sum_{n=0}^\infty f_n'(x)=S'(x)=\left(\sum_{n=0}^\infty f_n(x)\right)'</math>.
 ==דוגמה 1==
-# הוכח שלכל <math>t\in(0,1)</math> מתקיים <math>\ln(1+t)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{t^n}n</math>.
+<ol>
-# חשב <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac1{2^nn}</math>. פתרון: נעזר בתרגיל בטור הנדסי, ידוע ש-<math>\ln(1+t)=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1+x}</math>. בנוסף ידוע שמתקיים <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n=\frac1{1+x}</math> (לפי סדרה הנדסית). מספיק להראות שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש בקטע סגור מהצורה <math>[-a,a]</math>. נשתמש במבחן ה-M של וירשטרס <math>|(-1)^nx^n|\le a^n</math> (עבור הקטע הסגור הנ"ל <math>[-a,a]</math>) אם <math>0<a<1</math> ברור ש-<math>\sum_{n=0}^\infty a^<math>formula</math></math> מתכנס ולכן לפי מבחן ה-M הטור המקורי מתכנס במ"ש.
+<li> הוכיחו שלכל <math>t\in(0,1)</math> מתקיים <math>\ln(1+t)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{t^n}n</math>.
-יהי <math>t\in(-1,1)</math>, נסתכל על הקטע מהצורה <math>[0,t]</math> שם <math>\ln(1+t)=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1-(-x)}=\int\limits_0^t \sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n \mathrm dx=\sum_{n=0}^\infty \int\limits_0^t (-1)^nx^n\mathrm dx</math> (הראנו שהטור מתכנס במ"ש לפי וירשטרס, נחליף בין האינטגרציה לסכימה). זה שווה ל-<math>\left[\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{x=0}^t=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nt^{n+1}}{n+1}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}t^n}n</math>
+===פתרון===
+ידוע ש-<math>\ln(1+t)=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1+x}</math> וש-<math>\frac1{1+x}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n</math> (לפי נוסחת סכום סדרה הנדסית). מספיק להראות שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש בקטע <math>[0,a]</math> ואז נוכל לעשות אינטגרציה איבר-איבר. נשתמש במבחן ה-M של ויירשראס: <math>|(-1)^nx^n|\le a^n</math> לכל <math>x\in[0,a]</math>. אם <math>0<a<1</math> אזי <math>\sum_{n=0}^\infty a^n</math> מתכנס ולכן <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n</math> מתכנס במ"ש.
-ב. ברור כי <math>t=\frac12</math> נמצא בקטע, שם יש התכנסות (כי תחום ההתכנסות טור הנדסי) <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}\left(\frac12\right)^n}n=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{2^nn}=-\ln\left(1+\frac12\right)</math>
+עתה יהי <math>t\in(0,1)</math> ונסתכל על הקטע מהצורה <math>[0,t]</math>, שם הראנו שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש ולכן {{left|<math>\begin{align}\ln(1+t)&=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1+x}\\&=\int\limits_0^t \sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n \mathrm dx\\&=\sum_{n=0}^\infty \int\limits_0^t (-1)^nx^n\mathrm dx\\&=\sum_{n=0}^\infty\left[(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{x=0}^t\\&=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nt^{n+1}}{n+1}\\&=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{t^n}n\end{align}</math>}}{{משל}}
-גזירה איבר איבר של טורי פונקציות: יהיו <math>f_n</math> פונציות גזירות רציפות ב-<math>[a,b]</math> כך שהטור <math>\sum_{n=0}^\infty f_n(x)</math> מתכנס ב-<math>x_0\in[a,b]</math> ל-<math>S(x_0)</math> אם טור הנגזרות <math>\sum_{n=0}^\infty f_n'(x)</math> מתכנס במידה שווה בקטע אז מתקיים <math>\sum_{n=0}^\infty f_n'(x)=S'(x)=\left(\sum_{n=0}^\infty f_n(x)\right)'</math>.
+</li>
+<li> חשבו <math>\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac1{2^nn}</math>.
+===פתרון===
+נעזר בסעיף 1. ברור כי <math>t=\frac12</math> נמצא בקטע <math>(0,1)</math>, ולכן נציב: <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{2^nn}=-\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{\left(\frac12\right)^n}n=-\ln\left(1\tfrac12\right)</math>. {{משל}}
+</li>
+</ol>
 ==דוגמה 2==
-<math>\sum_{n=0}^\infty\frac n{(-n+1)x^n}</math>. חשבו את סכום הטור עבור <math>x>1</math>.
+יטופל בהמשך:
+<div style="opacity:0.5;">
+חשבו את סכום הטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac n{(n+1)x^n}</math> עבור <math>x>1</math>.
 ===פתרון===
-נתייחס לטור הבא <math>\sum_{n=0}^\infty\frac1{x^n}</math> שידוע שמתכנס עבור <math>x>1</math>.
+ראשית נוכיח שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n</math> מתכנס במ"ש ב-<math>(0,1)</math>. יהי <math>0<x_0<1</math> ולכן <math>\left|x^n\right|\le x_0^n</math> לכל <math>\frac1x\in[0,x_0]</math>. כמו כן <math>\sum_{n=1}^\infty x_0^n</math> מתכנס כי <math>0<x_0<1</math> והטור הנדסי, לכן, ממבחן ה-M של ויירשטראס, הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[0,x_0]</math>. עתה נוכל לעשות אינטגרציה איבר-איבר: <math>\int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1-t}=\int\limits_0^x\sum_{n=1}^\infty t^n\mathrm dt=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_0^x t^n\mathrm dt=\sum_{n=2}^\infty\frac{x^{n+1}}{n+1}</math>. כמו כן, ברור כי <math>\int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1-t}=[-\ln(1-t)]_{t=0}^x=-\ln(1-x)</math>. נשאר לחלק ב-x ואז לגזור.
+</div>
-יש להראות כי הטור מתכנס במ"ש. ברור שע"י הצבה <math>t=\frac1x</math> באופן דומה לתרגיל נקבל התכנסות במ"ש.
+==דוגמה 3==
+מהו סכום הטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac n{x^n}</math> עבור <math>x<1</math>?
-<math>S_n(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac n{-n+1}\frac1{x^n}</math>.
+===פתרון===
+נשים לב שאם נגדיר<math>f_n(x)=\frac1{x^n}</math> אזי <math>f_n'(x)=(x^{-n})'=-n\cdot x^{-n-1}=\frac{-n}{x^{n+1}}</math>. כמו כן <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}=\frac{1/x}{1-1/x}=\frac1{x-1}</math>. נבדוק את התנאים לגזירה איבר-איבר. דרוש ש-<math>\sum f_n'(x)</math> יתכנס במ"ש.
-הראנו בשאלת הכנה כי הטור מתכנס במ"ש, נשאר לעשות אינטגרציה <math>\int\sum_{n=0}^\infty x^{-n}\mathrm dx=\sum_{n=0}^\infty \int x^{-n}\mathrm dx=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{-n+1}}{-n+1}=\frac1{1-1/x}</math>. עד כאן <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{-n+1}}{-n+1}=\frac1{1-1/x}=\frac x{x-1}</math>. צריך להגיע לטור המבוקש. ברור כי <math>\int\frac x{x-1}\mathrm dx=\int\frac{x-1+1}{x-1}\mathrm dx=\int\left(1+\frac1{x-1}\right)\mathrm dx=x+\ln|x-1|+c</math>. נשאר לחלק ב-x ואז לגזור.
+נעזר במבחן ה-M של ויירשראס. אם <math>x>1</math> אז יש <math>1<a<x</math> שם מתקיים <math>\left|\frac{-n}{x^{n+1}}\right|\le\frac n{a^{n+1}}</math>. הטור <math>\sum_{n=1}^\infty \frac n{a^{n+1}}</math> טור מתכנס עפ"י מבחן המנה של ד'לאמר (או מבחן השורש של קושי).
-==דוגמה 2.5 {{הערה|(המטרה להסביר את דוגמה 2)}}==
+נסיק שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{-n}{x^{n+1}}</math> מתכנס במ"ש ולכן <math>\left(\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}\right)'=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac1{x^n}\right)'=\sum_{n=1}^\infty \frac{-n}{x^{n+1}}</math> וגם <math>\left(\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}\right)'=\left(\frac1{x-1}\right)'=\frac{-1}{(x-1)^2}</math>. לסיכום <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{-n}{x^{n+1}}=\frac{-1}{(x-1)^2}</math>, ולפיכך <math>\sum_{n=1}^\infty\frac n{x^n}=\frac x{(x-1)^2}</math>. {{משל}}
-מהו סכום הטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac n{x^n}</math> עבור <math>x<1</math>.
-===פתרון===
-נשים לב שאם נגדיר <math>f_n'(x)=\left(\frac1{x^n}\right)'=(x^{-n})'=-n\cdot x^{-n-1}=\frac{-n}{x^{n+2}}</math> ז"א <math>f_n(x)=\frac1{x^n}</math>. אם <math>\sum_{n=1}^\infty f_n=\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}=\frac{1/x}{1-1/x}=\frac1{1-x}</math>. נבדוק את התנאים למשפט "גזירה איבר-איבר של טור פונקציות". דרוש ש-<math>\sum f_n'(x)</math> יתכנס במ"ש.
-נעזר במבחן ה-M של וירשטרס. אם <math>x>1</math> אז יש <math>1<a<x</math> שם מתקיים <math>\left|\frac{-n}{x^{n+1}}\right|\le\left|\frac n{a^{n+1}}</math>. הטור <math>\sum_{n=1}^\infty \frac n{a^{n+1}}</math> טור מתכנס עפ"י מבחן דלאמר או מבחן השורש).
+=טורי חזקות=
+רדיוס ההתכנסות של טור חזקות <math>\sum_{n=1}^\infty a_nx^n</math> הוא <math>R=\frac1{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}</math>, והוא מתכנס בהחלט ב-<math>(x_0-R,x_0+R)</math>. לגבי התכנסות בקצוות הקטע, יש לבדוק בנפרד.
-נסיק לפי מבחן ה-M של וירשטרס שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{-n}{x^{n+1}}</math> מתכנס במ"ש ולכן אפשר להחליף סדר גזירה. <math>\left(\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}\right)'=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac1{x^n}\right)'=\sum_{n=1}^\infty \frac{-n}{x^{n+1}}=\left(\frac1{x-1}\right)'=\frac{-1}{(x-1)^2}</math> לסיכום <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{-n}{x^{n+1}}=\frac{-1}{(x-1)^2}</math>.
+==דוגמה 4==
+מצאו את תחום התכנסות של הטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}\sqrt[3]n</math>.
-=טור חזקות=
-רדיוס ההתכנסות של טור חזקות <math>\sum_{n=1}^\infty a_nx^n</math> הוא <math>\frac1{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}</math> ןקצוות הטור נבדוק בנפרד.
-==דוגמה 3==
-מצא תחום התכנסות של הטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}\sqrt[3]n</math>
 ===פתרון===
-אכן מדובר על חזקות כי <math>\sum=\sum_{n=1}^\infty \frac1\sqrt[3]nx^n</math> ולכן <math>a_n=\frac1\sqrt[3]n</math> ואז רדיוס ההתכנסות הוא <math>R=\frac1{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]\frac1\sqrt[3]n}=1</math>. ז"א <math>|x|<1</math> נשאר לבדוק האם יש התכנסות בקצוות <math>\pm1</math>. עבור <math>x=1</math>: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1^n}\sqrt[3]n</math> שמתבדר כי <math>\sum>\sum_{n=1}^\infty\frac1n</math> ולכן לפי מבחן ההשוואה מתבדר.
+אכן מדובר על טור חזקות כי כאשר המקדם הכללי הוא <math>a_n=\frac1\sqrt[3]n</math>. לכן רדיוס ההתכנסות הוא <math>R=\frac1{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]\tfrac1\sqrt[3]n}=\left(1/\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]n\right)^{-3}=1</math>. ז"א כאשר <math>|x|<1</math> הטור מתכנס. נשאר לבדוק האם יש התכנסות בקצוות <math>x=\pm1</math>. עבור <math>x=1</math> הטור הוא <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1^n}\sqrt[3]n</math>, שמתבדר כי הוא גדול מ-<math>\sum_{n=1}^\infty\frac1n=\infty</math>. עבור <math>x=-1</math> ברור שהטור מתכנס, לפי משפט לייבניץ. לסיכום, תחום ההתכנסות הוא <math>[-1,1)</math>. {{משל}}
+==דוגמה 5==
+מצאו את תחום ההתכנסות של <math>\sum_{n=0}^\infty n!x^{n!}</math>.
-עבור <math>x=-1</math>: ברור שהטור מתכנס לפי טור לייבניץ. לסיכום תחום ההתכנסות הוא <math>[-1,1)</math>.
+===פתרון===
-==דוגמה 4==
+נשים לב כי הטור הנתון אינו טור חזקות, ולכן "נתקן" אותו. נגדיר <math>a_n=\begin{cases}n&\exists k:\ n=k!\\0&\text{else}\end{cases}</math>. נקבל את הטור <math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math>. נשים לב שאכן במקרה הזה נצטרך לחשב <math>\limsup</math> (ולא סתם <math>\lim</math>). <math>1/\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1/\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n=1/1=1</math> ולכן רדיוס ההתכנסות הוא 1. נבדוק בקצוות: ב-1 הטור הוא <math>\sum_{n=0}^\infty n!\cdot 1^{n!}\to\infty</math>. עבור <math>x=-1</math> הטור הוא <math>\sum_{n=0}^\infty n!(-1)^{n!}</math>, שגם שואף לאינסוף כי <math>n!</math> זוגי לכל <math>n>1</math>. לסיכום, תחום ההתכנסות הוא <math>(-1,1)</math>. {{משל}}
-חשבו את תחום ההתכנסות של <math>\sum_{n=0}^\infty n!x^{n!}</math>. נשים לב כי הטור הנתון לא טור חזקות. "נתקן" את הטור לטור חזקות. נסתכל קודם על המקור. נסמן <math>a_n=n!</math> ונגדיר <math>b_k=\begin{cases}n!&k=n!\\0&\text{else}\end{cases}</math>. ברגע זה נקבל את הטור <math>\sum_{k=0}^\infty b_k x^k</math>.נשים לב שאכן במקרה הזה נצטרך את ה-<math>\limsup</math>.<math>\limsup_{n\to\infty}\frac1\sqrt[n]{b_k}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n=1</math> ולכן רדיוס ההתכנסות הוא 1. נבדוק בקצוות: ב-1 הטור הוא <math>\sum_{n=0}^\infty n!\cdot 1^{n!}\to\infty</math>. ועבור <math>x=-1</math> הטור הוא <math>\sum_{n=0}^\infty n!(-1)^{n!}</math> גם אינסוף כי <math>n!</math> זוגי לכל <math>n>1</math>.