הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/5.6.11"
(יצירת דף עם התוכן "=טורי חזקות {{הערה|(המשך)}}= ==דוגמה 1== חשבו את רדיוס ההתכנסות של הטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{n^n}{n!}(x-2)^{2...") |
מ (←פתרון) |
||
שורה 31: | שורה 31: | ||
קרבו את <math>\ln(1.5)</math> כך שהשארית קטנה מ-<math>2\cdot10^{-2}</math>. | קרבו את <math>\ln(1.5)</math> כך שהשארית קטנה מ-<math>2\cdot10^{-2}</math>. | ||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | נעזר בטור טיילור מסדר N של <math>\ln</math>: <math>P_N(1+x)=\sum_{n=0}^N (-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}</math> ונציב <math>x=\tfrac12</math>. קיבלנו <math>\ln(1.5)\approx P_N(1+0.5)=\sum_{n=0}^N\frac{(-1)^n}{2^{n+1}(n+1)}</math>, שהוא טור לייבניץ ולכן <math>| | + | נעזר בטור טיילור מסדר N של <math>\ln</math>: <math>P_N(1+x)=\sum_{n=0}^N (-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}</math> ונציב <math>x=\tfrac12</math>. קיבלנו <math>\ln(1.5)\approx P_N(1+0.5)=\sum_{n=0}^N\frac{(-1)^n}{2^{n+1}(n+1)}</math>, שהוא טור לייבניץ ולכן <math>|S-S_n|\le|a_{n+1}|</math> (כאשר <math>S=\lim_{N\to\infty}P_N(1.5)</math>, ומכיוון שכבר הוכחנו בעבר ש-<math>\lim_{N\to\infty}R_N(1+x)=0</math> נקבל <math>S=\ln(1.5)</math>). דרוש ש-<math>|S-S_N|<2\cdot10^{-2}</math>, ובגלל ש-<math>|a_3|=\frac1{2^4\cdot4}=\frac1{64}<2\cdot10^{-2}</math> נחשב <math>\sum_{n=0}^2\frac{(-1)^n}{2^{n+1}(n+1)}=\frac5{12}</math>. {{משל}} |
גרסה אחרונה מ־13:18, 8 ביולי 2011
תוכן עניינים
טורי חזקות (המשך)
דוגמה 1
חשבו את רדיוס ההתכנסות של הטור .
פתרון
נתחיל מההצבה כדי שנקבל תבנית של טור חזקות:
. נעזר במבחן המנה:
, כלומר רדיוס ההתכנסות של הטור החדש הוא
ולכן רדיוס ההתכנסות של הטור המקורי (מכיוון ש-
) הוא
.
דוגמה 2
מצאו את תחום ההתכנסות של הטור וחשבו את סכומו לכל x בתחום.
פתרון
אם נציב נקבל את הטור ההנדסי
. טור זה מתכנס אם"ם
ואם כן אזי
. לסיכום, תחום ההתכנסות הוא
וסכום הטור הוא
.
דוגמה 3
הוכח כי .
פתרון
נכוון לטור טיילור של כי
. ידוע כי
, ומכיוון ש-
מתכנס במ"ש על
ל-
לכל
אפשר לעשות אינטגרציה איבר-איבר:
. הנקודה
אמנם אינה נמצאת ב-
, אבל אפשר להשתמש במבחן אבל: אם לטור
יש רדיוס התכנסות R ו-
מתכנס ל-S אזי
קיים ושווה ל-S. לפיכך
.
דוגמה 4
חשבו בקירוב של
.
פתרון
טור טיילור של הוא
ולכן טור טיילור של
הוא
. ברור כי הטור הנ"ל מתכנס במ"ש בכל
(כי רדיוס ההתכנסות הוא, עפ"י מבחן השורש או מבחן המנה,
) ולכן נעשה אינטגרציה איבר-איבר:
. הטור באגף הימיני ביותר הוא טור לייבניץ ולכן (מאינפי 1)
(כאשר S הוא סכום הטור,
הוא סכום הטור החלקי מהאיבר ה-0 עד n, ו-
הוא האיבר ה-
של הטור). עבור
מתקיים
ולכן נחשב
, ונקבל
.
דוגמה 5
נתונה פונקציה רציפה כלשהי ב-
והפונציה
.
- הוכיחו כי הטור
מתכנס במ"ש בתחום ההגדרה של
.
- העזרו בכך ש-
(אין צורך להוכיח זאת) וחשבו את
.
פתרון
- נעזר במבחן ה-M של ויירשראס:
ו-
מתכנס, לכן הטור
מתכנס במ"ש על
.
טענת עזר: נוכיח שהטווח שלהוא קטע. ראשית נוכיח שלכל קטע
,
הוא קטע. ממשפט ויירשראס השני, קיימת נקודה
שבה
מקסימלית ו-
שבה היא מינימלית, ונניח בלי הגבלת הכלליות ש-
. אזי
רציפה ב-
ולכן, מממשפט ערך הביניים, לכל
קיים
כך ש-
. לפיכך הוכחנו ש-
. מאידך,
הוא הערך המינימלי של
ו-
הוא הערך המקסימלי, לכן ברור ש-
. מכאן ש-
, כלומר הטווח הוא קטע, כדרוש. הטענה נכונה לכל קטע
ולכן נשאיף
ונקבל שהיא נכונה ל-
.
לפיכך מתקיימים התנאים לשימוש במבחן ה-M של ויירשראס, ומכיוון שהטור של f מתכנסת במ"ש עלהוא בפרט מתכנס במ"ש על תת הקטע
. מכאן ש-
מתכנס במ"ש.
- הטור מתכנס במ"ש ולכן ניתן לעשות אינטגרציה איבר-איבר:
דוגמה 6
קרבו את כך שהשארית קטנה מ-
.
פתרון
נעזר בטור טיילור מסדר N של :
ונציב
. קיבלנו
, שהוא טור לייבניץ ולכן
(כאשר
, ומכיוון שכבר הוכחנו בעבר ש-
נקבל
). דרוש ש-
, ובגלל ש-
נחשב
.