הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.3.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
מ |
מ |
||
שורה 10: | שורה 10: | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | # כיוון ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> משפט 9 נותן שלכל <math>x\in[a,b]</math> f אינטגרבילית בקטע <math>[a,x_0]</math> ולכן <math>A(x)=\int\limits_a^x f</math> מוגדרת היטב. נוכיח ש-A רציפה ע"י זה שהיא מקיימת את תנאי ליפשיץ. ובכן f אינטגרבילית ובפרט היא חסומה: <math>|f(x)|\le M</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. כעת אם <math>x,y\in[a,b]</math> אז <math>|A(y)-A(x)|=\left|\int\limits_a^y f-\int\limits_a^x f\right|=\left|\int\limits_x^y f\right|\le M|y-x|</math> ונובע ש-A רציפה. כעת נניח ש-f רציפה בנקודה <math>x_0\in[a,b]</math>. ר"ל A גזירה שם. ובכן <math>A(x_0+\Delta x)-A(x_0)=\int\limits_a^{x_0+\Delta x} f-\int\limits_a^{x_0} f=\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f</math> ולכן <math>\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f</math>. נעיר ש-<math>\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(x_0)=f(x_0)\Delta x</math> (כי <math>f(x_0)</math> פונקציה קבועה). לכן <math>f(x_0)=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(x_0)</math>. מכאן ש-<math>\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\Big(f(t)-f(x_0)\Big)\mathrm dt</math>. נותר להוכיח שכאשר <math>\Delta x\to0</math> אגף ימין (ולכן אגף שמאל) שואף ל-0. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-f רציפה ב-<math>x_0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|t-x_0|<\delta</math> אז <math>|f(t)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. כעת נניח ש-<math>|\Delta x|<\delta</math>. אם כן האינטגרל באגף ימין הוא על קטע בין <math>x_0</math> ל-<math>x_0+\Delta x</math> ולכן כל t בקטע זה מקיים <math>|t-x_0|<\Delta x</math>. נובע שלכל t בקטע <math>|f(t)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. יוצא שאם <math>|\Delta x|\le\delta</math> אז <math>\left|\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)\right|=\left|\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}(f(t)-f(x_0))\mathrm dt\right|<\ | + | # כיוון ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> משפט 9 נותן שלכל <math>x\in[a,b]</math> f אינטגרבילית בקטע <math>[a,x_0]</math> ולכן <math>A(x)=\int\limits_a^x f</math> מוגדרת היטב. נוכיח ש-A רציפה ע"י זה שהיא מקיימת את תנאי ליפשיץ. ובכן f אינטגרבילית ובפרט היא חסומה: <math>|f(x)|\le M</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. כעת אם <math>x,y\in[a,b]</math> אז <math>|A(y)-A(x)|=\left|\int\limits_a^y f-\int\limits_a^x f\right|=\left|\int\limits_x^y f\right|\le M|y-x|</math> ונובע ש-A רציפה. כעת נניח ש-f רציפה בנקודה <math>x_0\in[a,b]</math>. ר"ל A גזירה שם. ובכן <math>A(x_0+\Delta x)-A(x_0)=\int\limits_a^{x_0+\Delta x} f-\int\limits_a^{x_0} f=\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f</math> ולכן <math>\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f</math>. נעיר ש-<math>\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(x_0)=f(x_0)\Delta x</math> (כי <math>f(x_0)</math> פונקציה קבועה). לכן <math>f(x_0)=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(x_0)</math>. מכאן ש-<math>\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\Big(f(t)-f(x_0)\Big)\mathrm dt</math>. נותר להוכיח שכאשר <math>\Delta x\to0</math> אגף ימין (ולכן אגף שמאל) שואף ל-0. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-f רציפה ב-<math>x_0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|t-x_0|<\delta</math> אז <math>|f(t)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. כעת נניח ש-<math>|\Delta x|<\delta</math>. אם כן האינטגרל באגף ימין הוא על קטע בין <math>x_0</math> ל-<math>x_0+\Delta x</math> ולכן כל t בקטע זה מקיים <math>|t-x_0|<\Delta x</math>. נובע שלכל t בקטע <math>|f(t)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. יוצא שאם <math>|\Delta x|\le\delta</math> אז <math>\left|\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)\right|=\left|\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}(f(t)-f(x_0))\mathrm dt\right|<\frac{|\Delta x|\varepsilon}{|\Delta x|}</math>. הדבר נכון לכל <math>\varepsilon>0</math>, לכן <math>\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)=0</math> ז"א <math>A'(x_0)</math> קיים ושווה ל-<math>f(x_0)</math>. {{משל}} |
# נתון ש-f רציפה בכל <math>[a,b]</math>. לפי החלק הקודם <math>\forall x\in[a,b]:\ A'(x)=f(x)</math>, כלומר A קדומה ל-f ב-<math>[a,b]</math>. קיים קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. מכאן ש-<math>F(b)-F(a)=A(b)+c-\Big(A(a)+c\Big)=A(b)-A(a)=\int\limits_a^b f-\int\limits_a^a f=\int\limits_a^b f</math>. {{משל}} | # נתון ש-f רציפה בכל <math>[a,b]</math>. לפי החלק הקודם <math>\forall x\in[a,b]:\ A'(x)=f(x)</math>, כלומר A קדומה ל-f ב-<math>[a,b]</math>. קיים קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. מכאן ש-<math>F(b)-F(a)=A(b)+c-\Big(A(a)+c\Big)=A(b)-A(a)=\int\limits_a^b f-\int\limits_a^a f=\int\limits_a^b f</math>. {{משל}} | ||
שורה 16: | שורה 16: | ||
אם f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אז קיימת לה פונקצייה קדומה ב-<math>[a,b]</math>. | אם f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אז קיימת לה פונקצייה קדומה ב-<math>[a,b]</math>. | ||
====הוכחה==== | ====הוכחה==== | ||
− | כיוון ש-f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> כולו | + | כיוון ש-f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> כולו <math>A(x)=\int\limits_a^x f</math> קדומה ל-f ב-<math>[a,b]</math>. |
====דוגמאות==== | ====דוגמאות==== | ||
* <math>f(x)=e^{x^2}</math>. זו פונקציה אלמנטרית ומוגדרת בכל <math>\mathbb R</math>, ולכן רציפה שם. לפי המסקנה יש לה פונקציה קדומה. זו דוגמה קלאסית לפונקציה אלמנטרית שהפונקציה הקדומה שלה לא אלמנטרית. | * <math>f(x)=e^{x^2}</math>. זו פונקציה אלמנטרית ומוגדרת בכל <math>\mathbb R</math>, ולכן רציפה שם. לפי המסקנה יש לה פונקציה קדומה. זו דוגמה קלאסית לפונקציה אלמנטרית שהפונקציה הקדומה שלה לא אלמנטרית. | ||
שורה 31: | שורה 31: | ||
− | + | '''הגדרה:''' עבור <math>f(x)\ge0</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> נגדיר את השטח שמתחת לגרף של f ע"י <math>\int\limits_a^b f</math>. לפי זה, אם <math>f(x)\le0</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^b f</math> = מספר שלילי או 0 שהוא "מינוס השטח שמעל הגרף". אם f מחליפה סימן אז <math>\int\limits_a^b f</math> = השטח מעל ציר ה-x פחות השטח מתחת לציר ה-x ולכן <math>\int\limits_a^b |f|</math> = השטח בין הגרף לציר ה-x. | |
− | + | ||
− | '''הגדרה:''' עבור <math>f(x)\ge0</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> נגדיר את השטח שמתחת לגרף של f ע"י <math>\int\limits_a^b f</math>. לפי זה, אם <math>f(x)\le0</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^b f</math> = מספר שלילי או 0 שהוא "מינוס השטח שמעל הגרף" | + | |
===דוגמת חישוב=== | ===דוגמת חישוב=== | ||
− | + | [[קובץ:שטח בין גרפים.png|200px|ימין]] | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | בגרף שמשמאל ברור שהשטח בין הגרפים הוא <math>\int\limits_a^b f-g</math>, ובנימוק פשוט זה נכון בכל מקרה ש-<math>f(x)\ge g(x)</math> ב-<math>[a,b]</math>. | |
− | |||
+ | למשל, נחשב את השטח שבין הגרפים <math>y=\sin(x)</math> ו-<math>y=\cos(x)</math> בקטע <math>\left[0,\tfrac\pi2\right]</math>: | ||
+ | <div align="center">[[קובץ:שטח בין סינוס לקוסינוס.png|400px]]</div> | ||
בקטע <math>\left[0,\tfrac\pi4\right]</math> מתקיים <math>\cos(x)\ge\sin(x)</math> ובקטע <math>\left[\tfrac\pi4,\tfrac\pi2\right]</math> מתקיים <math>\cos(x)\le\sin(x)</math>. לכן השטח הוא {{left|<math>\begin{align}\int\limits_0^\frac\pi2 |\cos(x)-\sin(x)|\mathrm dx&=\int\limits_0^\frac\pi4 \Big(\cos(x)-\sin(x)\Big)\mathrm dx+\int\limits_\frac\pi4^\frac\pi2 \Big(\sin(x)-\cos(x)\Big)\mathrm dx\\&=\left([\sin(x)+\cos(x)]_{x=0}^\frac\pi4\right)+\left([-\sin(x)-\cos(x)]_{x=\frac\pi4}^\frac\pi2\right)\\&=\left(\frac\sqrt22+\frac\sqrt22-(0+1)\right)+\left(-1-0+\frac\sqrt22+\frac\sqrt22\right)\\&=2\sqrt2-2\end{align}</math>}} | בקטע <math>\left[0,\tfrac\pi4\right]</math> מתקיים <math>\cos(x)\ge\sin(x)</math> ובקטע <math>\left[\tfrac\pi4,\tfrac\pi2\right]</math> מתקיים <math>\cos(x)\le\sin(x)</math>. לכן השטח הוא {{left|<math>\begin{align}\int\limits_0^\frac\pi2 |\cos(x)-\sin(x)|\mathrm dx&=\int\limits_0^\frac\pi4 \Big(\cos(x)-\sin(x)\Big)\mathrm dx+\int\limits_\frac\pi4^\frac\pi2 \Big(\sin(x)-\cos(x)\Big)\mathrm dx\\&=\left([\sin(x)+\cos(x)]_{x=0}^\frac\pi4\right)+\left([-\sin(x)-\cos(x)]_{x=\frac\pi4}^\frac\pi2\right)\\&=\left(\frac\sqrt22+\frac\sqrt22-(0+1)\right)+\left(-1-0+\frac\sqrt22+\frac\sqrt22\right)\\&=2\sqrt2-2\end{align}</math>}} | ||
{{משל}} | {{משל}} |
גרסה מ־12:13, 11 ביולי 2011
את ההוכחה למשפט 11 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-1.3.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.
תוכן עניינים
האינטגרל לפי רימן (המשך)
משפט 12 (המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי)
תהי f מוגדרת ואינטגרבילית בקטע .
- לכל
נגדיר
. אזי A מוגדרת היטב ורציפה ב-
ולכל
שבה f רציפה A גזירה כך ש-
.
- נוסחת ניוטון-לייבניץ: נניח ש-f רציפה בכל הקטע
. אם F קדומה ל-f אז
.
הוכחה
- כיוון ש-f אינטגרבילית ב-
משפט 9 נותן שלכל
f אינטגרבילית בקטע
ולכן
מוגדרת היטב. נוכיח ש-A רציפה ע"י זה שהיא מקיימת את תנאי ליפשיץ. ובכן f אינטגרבילית ובפרט היא חסומה:
לכל
. כעת אם
אז
ונובע ש-A רציפה. כעת נניח ש-f רציפה בנקודה
. ר"ל A גזירה שם. ובכן
ולכן
. נעיר ש-
(כי
פונקציה קבועה). לכן
. מכאן ש-
. נותר להוכיח שכאשר
אגף ימין (ולכן אגף שמאל) שואף ל-0. לצורך זה יהי
נתון. כיוון ש-f רציפה ב-
קיים
כך שאם
אז
. כעת נניח ש-
. אם כן האינטגרל באגף ימין הוא על קטע בין
ל-
ולכן כל t בקטע זה מקיים
. נובע שלכל t בקטע
. יוצא שאם
אז
. הדבר נכון לכל
, לכן
ז"א
קיים ושווה ל-
.
- נתון ש-f רציפה בכל
. לפי החלק הקודם
, כלומר A קדומה ל-f ב-
. קיים קבוע c כך ש-
לכל
. מכאן ש-
.
מסקנה
אם f רציפה בקטע אז קיימת לה פונקצייה קדומה ב-
.
הוכחה
כיוון ש-f רציפה בקטע כולו
קדומה ל-f ב-
.
דוגמאות
-
. זו פונקציה אלמנטרית ומוגדרת בכל
, ולכן רציפה שם. לפי המסקנה יש לה פונקציה קדומה. זו דוגמה קלאסית לפונקציה אלמנטרית שהפונקציה הקדומה שלה לא אלמנטרית.
-
כאשר
-
-
-
תרגילים לחידוד
- נגדיר
. נמצא את
: לפי חלק א של משפט 12 מתקיים
.
- נגדיר
. נמצא את
: נגדיר
ולכן
. לפי זה
ולפיכך, ע"פ כלל השרשרת,
.
הגדרה: עבור רציפה ב-
נגדיר את השטח שמתחת לגרף של f ע"י
. לפי זה, אם
ב-
אז
= מספר שלילי או 0 שהוא "מינוס השטח שמעל הגרף". אם f מחליפה סימן אז
= השטח מעל ציר ה-x פחות השטח מתחת לציר ה-x ולכן
= השטח בין הגרף לציר ה-x.
דוגמת חישוב
בגרף שמשמאל ברור שהשטח בין הגרפים הוא , ובנימוק פשוט זה נכון בכל מקרה ש-
ב-
.
למשל, נחשב את השטח שבין הגרפים ו-
בקטע
:
![\left[0,\tfrac\pi4\right]](/images/math/a/d/4/ad443a23a524ee9b06986eb6c71924c7.png)
![\cos(x)\ge\sin(x)](/images/math/8/4/a/84a1d25fe16db1d3ce53c53640a7039d.png)
![\left[\tfrac\pi4,\tfrac\pi2\right]](/images/math/5/5/7/5570c0484decdccf0a3970f8cb0633d3.png)
![\cos(x)\le\sin(x)](/images/math/e/d/1/ed1688612e58b2d97ac6fc097e992501.png)
![\begin{align}\int\limits_0^\frac\pi2 |\cos(x)-\sin(x)|\mathrm dx&=\int\limits_0^\frac\pi4 \Big(\cos(x)-\sin(x)\Big)\mathrm dx+\int\limits_\frac\pi4^\frac\pi2 \Big(\sin(x)-\cos(x)\Big)\mathrm dx\\&=\left([\sin(x)+\cos(x)]_{x=0}^\frac\pi4\right)+\left([-\sin(x)-\cos(x)]_{x=\frac\pi4}^\frac\pi2\right)\\&=\left(\frac\sqrt22+\frac\sqrt22-(0+1)\right)+\left(-1-0+\frac\sqrt22+\frac\sqrt22\right)\\&=2\sqrt2-2\end{align}](/images/math/0/5/d/05d97e9286e66c19908e1846480de557.png)