שינויים

# נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: {{left|<math>\int\limits_0^2 x^2e^begin{x^3align}}\mathrm dx</math>. שיטה א - נתעלם מהגבולות עד סוף החישוב. נציב <math>tV&=x^3\impliespi\frac{int\mathrm dtlimits_{-r}3=^r f^2\mathrm dx</math>. לכן <math>\int&=\pi\int e^t\fraclimits_{-r}^r \left(r^2-x^2\right)\mathrm dt}3dx\\&=\frac{e^t}3=pi\left[r^2x-\frac{e^{x^3}}3\right]_{x=0-r}^2r\\&=2\pi\left(r^3-\frac{er^8-13}3\right)\\&=\frac43\pi r^3\end{align}</math>}} {{משל}}# [[קובץ:נפח חרוט. דרך ב png|ימין|ממוזער|300px]]נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. בסרטוט משמאל יש גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה- נחליף את הגבולות בדרך: x. הפונקציה היא <math>ty=x^3\implies t(frac rhx+0)=0,\ t(2)=8</math> ולכן ולפיכך הנפח הוא {{left|<math>\intbegin{align}V&=\pi\int\limits_0^8h\left(\frac{erhx\right)^t}32\mathrm dtdx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\left[\frac{ex^t3}3\right]_{tx=0}^8h\\&=\frac{e\pi r^8-12h}3</math># נחשב שטח עיגול בעל רדיוס r. <math>x^2+y^2=r^2\implies y=\sqrtend{r^2-x^2align}</math>}}כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים. לכן השטח הוא <math>2\int\limits_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2משל}\mathrm dx}</mathli>. נציב <mathli>x=r\sin(\theta)=ממוצע==תהא f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>... הערהונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: כאשר החלפנו את גבולות האינטגרציה בהצגה לכל <math>x=rn\sin(in\theta)mathbb N</math> היינו צריכים לבחור נגדיר חלוקה <math>\thetaP_n</math> כך ש-של הקטע לקטעים שווים <math>xa=rx_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>, אבל יכולנו לבחור . כאשר <math>\thetaforall k:\ x_k-x_{k-1}=\frac{r\pib-a}2n</math> כי אז . הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא <math>x=r\sin(frac1n\theta)=r\sin\left(\fracsum_{r\pik=1}2\right^n f(x_k)=r</math>, ועבור . לפי בחירת <math>x=-rP_n</math> יכולנו לבחור , לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{rb-a}n\implies\frac1n=\pifrac{x_k-x_{k-1}}{b-a}2</math>. אם כן היינו מוצאים ונובע: <math>S=\int\limits_sum_{-\frac{r\pi}2k=1}^n\fracfrac1n f(x_k)=\sum_{r\pik=1}2 \sqrt{r^2-r^2\sin^2nf(\thetax_k)}\ r\cos(\theta)\mathrm d\theta=2\int\limits_frac{x_k-\fracx_{r\pik-1}2}^\frac{r\pib-a}2r^2\cos^2(\theta)\mathrm d\theta=2r^2\int\limits_frac1{b-a}\fracsum_{r\pi}2k=1}^n f(x_k)\frac{rDelta x_k</math> (כאשר <math>\pi}2\fracsum_{k=1+\cos}^n f(2x_k)\thetaDelta x_k</math> הוא סכום רימן)}2. נשאיף <math>n\mathrm dto\theta=rinfty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\pi r^2lambda(P_n)\to0</math>. הטעות נובעת מכך שקבענו שמצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\sqrtfrac1{r^2b-r^2a}\sinint\limits_a^2b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, גם אם היא לא רציפה. ''גישה אחרת (\thetaאינטואיטיבית):'' אם <math>f(x)}=\sqrtge0</math> רציפה אז <math>\frac1{r^2b-a}\cos^2(int\theta)}limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.</li><li>=r=אורך הגרף==[[קובץ:קירוב אורך גרף.png|ימין|300px]]עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\cos(\theta)dots,q_n</math>, מה שנכון רק כאשר לכל k <math>\cosq_k=(\thetax_k,f(x_k))\ge0</math>. הטווח של האינטגרציה היה קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י <math>L(P)=\left[-\fracsum_{r\pik=1}2,\frac^n d(q_{r\pik-1}2\right],q_k)</math>, שכולל תחומים בהם כאשר <math>\cosd(\thetaA,B)<0</math>הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. בתחומים אלה צריך לבחור מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{r(x_{k-1}-x_k)^2\cos+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2(}</math>. לכן אורך הגרף L מקיים <math>\thetaforall n:\ L(P_n)}\le L</math> ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=-r\cossup_n L(\thetaP_n)</math> ולחלק את הקטע . לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\left[-le\frac{rinfty</math>.<br />''דוגמה:'' נגדיר <math>f(x)=\pibegin{cases}2,x\frac{rsin\pi}2left(\frac1x\right)&x\ne 0\\0&x=0\end{cases}</math>. היא רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> לתחומים שונים לפי הסימן של אבל אורך הגרף הוא <math>\cos(\theta)infty</math>.

==יישומים של אינטגרציה==# אם בקטע נניח ש-{{ltr|f'}} קיימת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> מתקיים ונקח חלוקה P כלשהי. כבר ראינו ש-{{left|<math>f\begin{align}L(xP)&=\le gsum_{k=1}^n\sqrt{(xx_{k-1}-x_k)</math> כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא <math>^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\int\limits_a&=\sum_{k=1}^bn\sqrt{1+\left(g\frac{f(xx_k)-f(xx_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\mathrm dx(x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}</math>.# נפח של גוף סיבוב גרף }}(ע"פ משפט לגראנז' יש <math>c_k</math> כאלה כך ש-<math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k). נסובב את השטח מתחת לגרף </math>y=) והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> בין a ל-b סביב ציר ה. היה נתון ש-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור <math>f'(x)=c</math> קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו - רציפה ולכן גם <math>\pi c^2sqrt{1+f'(b-ax)^2}</math>. כעת נניח ש-רציפה, וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ge0\mathrm dx</math> רציפה ב-. השערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף <math>[a,b]L=\sup_n L(P_n)</math> ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. ובכןנוכיח זאת: נקח חלוקה כלשהי P של נגדיר <math>[a,I=\int\limits_a^b]\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math>, וכן <math>aL=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=bsup_n L(P_n)</math>. תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל ונניח <math>[x_{k-1},x_k]L<\infty</math> מסתובב סביב ציר ה-x עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום . יהי <math>M_k\varepsilon>0</math> ומינימום נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>m_k[a,b]</math> בקטע זה. נסמן בכך ש-<math>V_k0<L-L(Q)<\frac\varepsilon2</math> הנפח שנוצר ע"י חלק זה . אם {{ltr|Q'}} עידון של הגרף. Q אז מתקיים <math>L(Q)\pi m_k^2le L(x_k-x_{x-1}Q')\le V_kL</math> ולכן <math>0\le\pi M_k^2L-L(x_k-x_{x-1}Q')<\frac\varepsilon2</math>. יוצא שהנפח בסה"כ הוא כעת נתון ש-<math>V=\sum_{k=1}^n V_kf'</math> ומתקיים רציפה ולכן <math>\sum_sqrt{k=1}^n\pi m_k^2+f'(x_k-x_{x-1})\le V\le\sum_{k=1}^n\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. נעיר שהסכום בצד ימין הוא בדיוק אינטגרבילית ב-<math>\overline S(\pi f^2[a,P)b]</math> ובצד שמאל . לפיכך קיימת <math>\underline S(\pi f^2,P)delta>0</math>. ז"א לכל כך שאם P חלוקה P כלשהי של <math>\underline S(\pi f^2[a,P)\le V\le\overline S(\pi f^2,P)b]</math>. נשאיף כך ש-<math>\lambda(P)<\to0delta</math> וכיוון ש-f רציפה גם ואם S סכום רימן כלשהו הבנוי על P אז <math>|I-S|<\pi f^2frac\varepsilon2</math> רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול . לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של Q כך ש-<math>\intlambda(P)<\limits_a^b \pi f^2=Vdelta</math>.==דוגמאות==# נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: כבר למדנו ש-<math>V=\pi\int\limits_{L(P)</math> הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק <math>|I-r}^r f^2L|=\pi\int\limits_{|I-r}^r S+L(r^2-x^2P)\mathrm dx=\pi\left[r^2x-L|\frac{x^3}3\right]_{x=le|I-r}^r=2\piS|+|L(r^3P)-L|<\frac{r^3}3)=\frac43\pi r^3varepsilon</math>.# נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר הז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-x. גרף (4) <math>y=\frac rhx+0varepsilon</math>ומכאן נובע שהם שווים. לפי זה הנפח הוא <math>\pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx=\pi(\frac rh)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx=\pi\left(\frac rh\right)^2\frac{x^3}3\right]_{x=0משל}^h=\frac{\pi r^2h}3</mathli>, כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים.# נגדיר ממוצע של פונקציה רציפה: תהא f מוגדרת ורציפה</ol>