שינויים

# נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: {{left|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_0limits_{-r}^r f^2 \\&=\pi\int\limits_{-r}^r \left(r^2-x^2e2\right)\mathrm dx\\&=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\mathrm dxright]_{x=-r}^r\\&=2\pi\left(r^3-\frac{r^3}3\right)\\&=\frac43\pi r^3\end{align}</math>}} {{משל}}# [[קובץ:נפח חרוט.<ul><li>שיטה א png|ימין|ממוזער|300px]]נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. בסרטוט משמאל יש גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה- נתעלם מהגבולות עד למציאת x. הפונקציה הקדומה: נציב היא <math>ty=x^3\implies\frac{\mathrm dt}3=\mathrm dxrhx+0</math>. לכן ולפיכך הנפח הוא {{left|<math>\intbegin{align}V&=\pi\int\limits_0^h\left(\frac{erhx\right)^t}32\mathrm dtdx\\&=\pi\left[(\frac{e^t}3rh\right]_{)^2\int\limits_0^h x=0}^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\left[\frac{e^{x^3}}3\right]_{x=0}^2h\\&=\frac{e\pi r^8-12h}3\end{align}</math>}}כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים.{{משל}}</li><li> דרך ==ממוצע==תהא f מוגדרת ורציפה ב - נחליף <math>[a,b]</math> ונחשב את הגבולות במהלך החישובהממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>t=x^3n\implies t|_{xin\mathbb N</math> נגדיר חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=0}=0,x_0<x_1<x_2<\ t|_{xdots<x_n=2}=8b</math> ולכן . כאשר <math>\int=forall k:\limits_0^8\fracx_k-x_{e^tk-1}3\mathrm dt=\left[\frac{e^tb-a}3n</math>. הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא <math>\right]_frac1n\sum_{tk=01}^8=\frac{e^8-1}3n f(x_k)</math>. לפי בחירת <limath>P_n</ulmath># נחשב שטח עיגול בעל רדיוס r. , לכל k מתקיים <math>x^2+y^2x_k-x_{k-1}=r^2\frac{b-a}n\implies y\frac1n=\sqrtfrac{r^2x_k-x^2x_{k-1}}{b-a}</math>. לכן השטח הוא ונובע: <math>2\int\limits_sum_{-rk=1}^rn\sqrtfrac1n f(x_k)=\sum_{rk=1}^2nf(x_k)\frac{x_k-x^2x_{k-1}}{b-a}=\mathrm dxfrac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math>. נציב (כאשר <math>x=r\sinsum_{k=1}^n f(\thetax_k)\Delta x_k</math>הוא סכום רימן)... הערה: כאשר החלפנו את גבולות האינטגרציה בהצגה נשאיף <math>x=rn\sin(to\theta)infty</math> היינו צריכים לבחור ומכיוון שבמקרה כזה <math>\thetalambda(P_n)\to0</math> כך שמצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>x=r\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, אבל יכולנו לבחור גם אם היא לא רציפה. ''גישה אחרת (אינטואיטיבית):'' אם <math>f(x)\theta=\frac{r\pi}2ge0</math> כי רציפה אז <math>x=r\sin(\theta)=r\sin\left(\fracfrac1{r\pib-a}2\right)=rint\limits_a^b f</math>הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, ועבור שזה הממוצע.<math/li>x<li>==אורך הגרף==[[קובץ:קירוב אורך גרף.png|ימין|300px]]עבור פונקציה f רציפה ב-r<math>[a,b]</math> יכולנו לבחור נעשה חלוקה <math>-\frac{r\pi}2P_n</math>של הקטע. אם כן היינו מוצאים החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>S=q_0,q_1,\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2 \sqrt{r^2-r^2\sin^2dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(\thetax_k,f(x_k)}\ r\cos)</math>. קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י <math>L(\thetaP)\mathrm d\theta=2\int\limits_sum_{-\frac{r\pi}2k=1}^\frac{r\pi}2r^2\cos^2n d(\theta)\mathrm d\theta=2r^2\int\limits_q_{k-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2\frac{1+\cos(2\theta)}2\mathrm ,q_k)</math>, כאשר <math>d\theta=r\pi r^2(A,B)</math>הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. הטעות נובעת מכך שקבענו שמרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{r^2(x_{k-r^2\sin1}-x_k)^2+(\thetaf(x_k)-f(x_{k-1}=\sqrt{r))^2\cos^2(\theta)}=r\cos(\theta)</math>, מה שנכון רק כאשר . לכן אורך הגרף L מקיים <math>\cosforall n:\ L(\thetaP_n)\ge0le L</math>. הטווח של האינטגרציה היה ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=\left[-\frac{r\pi}2,\frac{r\pi}2\right]sup_n L(P_n)</math>, שכולל תחומים בהם . לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\cos(le\theta)<0infty</math>. בתחומים אלה צריך לבחור <br />''דוגמה:'' נגדיר <math>f(x)=\sqrtbegin{r^2cases}x\cos^2sin\left(\thetafrac1x\right)}&x\ne 0\\0&x=-r0\cos(\theta)end{cases}</math> ולחלק את הקטע . היא רציפה בקטע הסגור <math>\left[-\frac{r\pi}20,\frac{r\pi}2\right1]</math> לתחומים שונים לפי הסימן של אבל אורך הגרף הוא <math>\cos(\theta)infty</math>.

==יישומים של אינטגרציה==# אם בקטע <math>[a,b]</math> מתקיים <math>f(x)\le g(x)</math> כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא <math>\int\limits_a^b(g(x)-f(x))\mathrm dx</math>.# נפח של גוף סיבוב גרף (1). נסובב את השטח מתחת לגרף <math>y=f(x)</math> בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור <math>f(x)=c</math> קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו - <math>\pi c^2(b-a)</math>. כעת נניח ש-<math>f(x)\ge0</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. ובכן: נקח חלוקה כלשהי P של <math>[a,b]</math>, <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל <math>[x_{k-1},x_k]</math> מסתובב סביב ציר ה-x עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> בקטע זה. נסמן ב-<math>V_k</math> הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף. אז מתקיים <math>\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V_k\le\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. יוצא שהנפח בסה"כ הוא <math>V=\sum_{k=1}^n V_k</math> ומתקיים <math>\sum_{k=1}^n\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V\le\sum_{k=1}^n\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. נעיר שהסכום בצד ימין הוא בדיוק <math>\overline S(\pi ltr|f^2,P)</math> ובצד שמאל <math>\underline S(\pi f^2,P)</math>. ז"א לכל חלוקה P <math>\underline S(\pi f^2,P)\le V\le\overline S(\pi f^2,P)</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> וכיוון ש-f רציפה גם <math>\pi f^2</math> רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול <math>\int\limits_a^b \pi f^2=V</math>.==דוגמאות==# נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: <math>V=\pi\int\limits_{-r'}^r f^2=\pi\int\limits_{-r}^r (r^2-x^2)\mathrm dx=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{x=-r}^r=2\pi(r^3-\frac{r^3}3)=\frac43\pi r^3</math>.# נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4) <math>y=\frac rhx+0</math>. לפי זה הנפח הוא <math>\pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx=\pi(\frac rh)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx=\pi\left(\frac rh\right)^2\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h=\frac{\pi r^2h}3</math>, כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים.# תהא f מוגדרת קיימת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>n\in\mathbb N</math> נגדיר ונקח חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>P כלשהי. כאשר לכל k <math>x_kכבר ראינו ש-x_{k-1}=\frac{b-a}</math>. נרשום את הממוצע של f בנקודות החלוקה. הוא left|<math>\frac1n\sumbegin{k=1align}^n f(x_k)</math>. לפי בחירת <math>P_n</math>, לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}</math> ונובע: <math>\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> (כאשר <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> הוא סכום רימן). נשאיף <math>n\to\infty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\lambda(P_n)\to0</math> מצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית גם אם היא לא רציפה. גישה אחרת: אם <math>f(x)\ge0</math> רציפה אז <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.# אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(x_k,f(x_k))</math>. קירוב סביר לאורת הגרף נתון ע"י <math>L(P)&=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)</math>, כאשר <math>d(A,B)</math> הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2</math>. לכן L אורך הגרף מקיים שלכל <math>P_n</math> <math>L(P_n)}\le L</math> ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\le\infty</math>. דוגמה: נגדיר <math>f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)</math>. היא רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אבל אורך הגרף הוא <math>\infty</math>. גרף (5). כאשר ראינו ש-<math>L(P)=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2} \ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}</math> }}(ע"פ משפט לגראנז' יש <math>c_k</math> כזה כאלה כך ש-<math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math> ) והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. היה נתון ש-<math>f'(x)</math> רציפה ולכן גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה , וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx</math> והשערה . השערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. נוכיח זאת: נגדיר <math>I=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> וכן <math>L=\sup_n L(P_n)</math> ונניח <math>L<\infty</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת <math>P'</math> Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0<L-L(P'Q)<\frac\varepsilon2</math>. אם {{ltr|Q '}} עידון של <math>P'</math> Q אז <math>L(P'Q)\le L(Q')\le L</math> ולכן <math>0<\le L-L(Q')<\frac\varepsilon2</math>. כעת נתון ש-<math>f'</math> רציפה ולכן <math>\sqrt{1+f'^2(x)^2}</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. לכן קיים לפיכך קיימת <math>\delta>0</math> כך שאם P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> ואם S סכום רימן כלשהו הבנו הבנוי על P אז <math>|I-S|<\frac\varepsilon2</math>. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של <math>P'</math> Q כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. כבר למדנו ש-<math>L(P)</math> הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק <math>|I-L|=|I-S+S_L|=|I-S+L(P)-L|\le|I-S|+|L(P)-L|<\varepsilon</math> ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-<math>\varepsilon</math> לכן הם ומכאן נובע שהם שווים. {{משל}}</li></ol>