שינויים
=יישומים של אינטגרציה=
<ol>
<li>==שטח==אם בקטע <math>[a,b]</math> מתקיים <math>f(x)\le g(x)</math> כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא <math>\int\limits_a^b(g(x)-f(x))\mathrm dx</math>.</li><li>==נפח של גוף סיבוב גרף (1)==[[קובץ:נפח גוף סיבוב. png|ימין|ממוזער|250px]]נסובב את השטח מתחת לגרף <math>y=f(x)</math> בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור <math>f(x)=c</math> קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו - : <math>\pi c^2(b-a)</math>. כעת נניח ש-<math>f(x)\ge0</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. ובכן: נקח חלוקה כלשהי P של <math>[a,b]</math>, <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל <math>[x_{k-1},x_k]</math> מסתובב סביב ציר ה-x. עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> בקטע זה. נסמן ב-<math>V_k</math> הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף של f. אז מתקיים <math>\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V_k\le\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. יוצא שהנפח בסה"כ הוא <math>V=\sum_{k=1}^n V_k</math> ומתקיים <math>\sum_{k=1}^n\pi m_k^2(\Delta x_k-x_{x-1})\le V\le\sum_{k=1}^n\pi M_k^2(\Delta x_k-x_{x-1})</math>. נעיר נשים לב שהסכום בצד ימין הוא בדיוק <math>\overline S(\pi f^2,P)</math> ובצד שמאל <math>\underline S(\pi f^2,P)</math> עבור חלוקה החלוקה P. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> וכיוון ש-f רציפה גם <math>\pi f^2</math> רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול: <math>V=\int\limits_a^b \pi f^2=V</math>.===דוגמאות===
# נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: {{left|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_{-r}^r f^2\\&=\pi\int\limits_{-r}^r \left(r^2-x^2\right)\mathrm dx\\&=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{x=-r}^r\\&=2\pi\left(r^3-\frac{r^3}3\right)\\&=\frac43\pi r^3\end{align}</math>}} {{משל}}
# [[קובץ:נפח חרוט.png|ימין|ממוזער|300px]]נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו בסרטוט משמאל יש גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4) הפונקציה היא <math>y=\frac rhx+0</math>. לפי זה ולפיכך הנפח הוא {{left|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\left[\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h\\&=\frac{\pi r^2h}3\end{align}</math>}}כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים. {{משל}}
</li>
<li>==ממוצע==תהא f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>n\in\mathbb N</math> נגדיר חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. כאשר <math>\forall k:\ x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n</math>. הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא <math>\frac1n\sum_{k=1}^n f(x_k)</math>. לפי בחירת <math>P_n</math>, לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}</math> ונובע: <math>\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> (כאשר <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> הוא סכום רימן). נשאיף <math>n\to\infty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\lambda(P_n)\to0</math> מצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, גם אם היא לא רציפה. ''גישה אחרת (אינטואיטיבית):'' אם <math>f(x)\ge0</math> רציפה אז <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.</li><li>==אורך הגרף==[[קובץ: קירוב אורך גרף.png|ימין|300px]]עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(x_k,f(x_k))</math>. קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י <math>L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)</math>, כאשר <math>d(A,B)</math> הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}</math>. לכן L אורך הגרף L מקיים שלכל <math>\forall n:\ L(P_n)\le L</math> ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\le\infty</math>.<br />''דוגמה: '' נגדיר <math>f(x)=\begin{cases}x\sin\left(\frac1x\right)&x\ne 0\\0&x=0\end{cases}</math>. היא רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אבל אורך הגרף הוא <math>\infty</math>.<br />גרף (5).
</ol>