88-101 חשיבה מתמטית קיץ תשעא/תרגילים

תרגיל 1 להגשה ליום רביעי ה20 ביולי

הצרנות

• הצרן את הטענות הבאות (מותר לכם להשתמש בפרדיקטים סבירים, בתנאי שתגדירו אותם):
  • לכל מספר ממשי יש מספר טבעי הגדול ממנו.
  • אקסיומת האינדקוציה: אם פרידקט כלשהו אמיתי באחד ([math]\displaystyle{ P(1)\equiv T }[/math]) וכמו כן, העובדה שהוא אמיתי עבור n גוררת שהוא אמיתי עבור n+1 אזי הוא אמיתי תמיד.
  • x הינו מספר ראשוני (מספר המתחלק רק בעצמו ובאחד).
  • כל מספר ראשוני הינו סכום של מספרים זוגיים.
  • קיימים אינסוף תאומים (תאומים הם זוג ראשוניים אשר ההפרש בינהם הינו שתים.)

קבוצות

הגדרה: איחוד של שתי קבוצות A וB הוא קבוצת האיברים שנמצאים לפחות באחת הקבוצות. החיתוך הוא קבוצת האיברים שנמצאים בשתי הקבוצות.

• הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לאיחוד של הקבוצות A וB
• הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לאיחוד של הקבוצות A וB
• הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לחיתוך של הקבוצות A וB
• הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לחיתוך של הקבוצות A וB

הגדרה: קבוצה A מוכלת בקבוצה B אם בB נמצאים כל האיברים מA (למשל הטבעיים מוכלים בשלמים [math]\displaystyle{ \mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z} }[/math], והשלמים מוכלים בממשיים [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}\subseteq\mathbb{R} }[/math]).

• הצרן תנאי השקול לכך ש-C מוכלת בחיתוך של A וB
• הצרן תנאי השקול לכך ש-C אינה מוכלת באיחוד של A וB

(מותר לכם להשתמש בכמתים באופן הבא [math]\displaystyle{ \forall a\in A, \exists a\in A }[/math])

שקילות

הגדרה: טענות [math]\displaystyle{ A_1,A_2,...,A_n }[/math] שקולות אם ((כולן אמיתיות יחד) או (כולן שקריות יחד)).

• הוכח שמספיק להוכיח את הטענות הבאות על מנת להוכיח ש[math]\displaystyle{ A_1,A_2,...,A_n }[/math] שקולות:

[math]\displaystyle{ A_1\rightarrow A_2 }[/math],

[math]\displaystyle{ A_2\rightarrow A_3 }[/math],

[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]

[math]\displaystyle{ A_{n-1}\rightarrow A_n }[/math],

[math]\displaystyle{ A_n\rightarrow A_1 }[/math]

דרכי הוכחה

הוכח שהפסוקים הבאים הינם טאוטולוגיות:

• [math]\displaystyle{ (A\rightarrow B) \leftrightarrow (\neg B \rightarrow \neg A) }[/math]
• [math]\displaystyle{ A \leftrightarrow (\neg A \rightarrow F) }[/math]

(נהוג להחליף ביטויים מהצורה הזו בביטויים השקולים להם כי הם נוחים יותר להוכחה מידי פעם.)

תרגיל שני

הגדרה: הגבול של הפונקציה f בנקודה x הינו L אם לכל סדרה [math]\displaystyle{ x_n }[/math] המתכנסת לx ושאבריה שונים מx מתקיים שהסדרה [math]\displaystyle{ f(x_n) }[/math] מתכנסת ל-L.

(הגדרת גבול של סדרה היא כפי שלמדנו בשיעור)

• הצרן את ההגדרה לעיל
• הצרן את השלילה להגדרה (כלומר, מתי L אינו גבול הפונקציה בנקודה x)

יהי הפרדיקט [math]\displaystyle{ P(x,y) }[/math] האומר אדם x צעיר יותר מאדם y. ויהי הפרדיקט [math]\displaystyle{ Q(x) }[/math] האומר שאדם x הינו שמח.

הצרן את הטענות הבאות:

• מבין כל שלושה אנשים, הצעיר ביותר הוא שמח.
• מבין כל שלושה אנשים שמחים, לפחות שניים הם באותו גיל
• בכל זוג יש לפחות אדם אחד שמח.
• קיים זוג בו שני האנשים שמחים רק אם קיים זוג אחר בו שני האנשים עצובים
• יש רק אדם אחד עצוב
• יש אדם שהוא הכי מבוגר
• אם יש אדם שהוא הכי מבוגר, הוא שמח

(שאלות נוספות יוספו בקרוב)