שינויים
/* תכונות המרחב הנפרש */
====הוכחה====
אם <math>v\in spanA</math> אזי קיימים וקטורים וסקלרים <math>v_1,...,v_k\in A</math>, <math>a_1,...,a_k\in\mathbb{F}</math> כך שמתקיים <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k</math>. מתוך הנתון ש<math>A\subseteq W</math> נובע ש<math>v_1,...,v_k\in W</math> ולכן מתוך סגירות לכפל וסקלר וחיבור <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k\in W</math> משל.
קל לראות ש<math>U+W=span\{U\cup W\}</math>, וכפי שאמרנו הסכום הינו תת המרחב הקטן ביותר המכיל את שני תתי המרחבים.
===תרגיל - הקשר בין צירוף לינארי לבין פתרון מערכת משוואות לינאריות===
הוכח:
*<math>b\in span\{v_1,...,v_n\}</math> '''אם"ם''' קיים פתרון למערכת <math>Ax=b</math> כאשר <math>A=(v_1 v_2 \cdots v_n)</math> הינה המטריצה שעמודותיה הם הוקטורים <math>v_1,...,v_n</math>
*במקרה זה הפתרון x הינו וקטור הסקלרים של הצירוף הלינארי שנותן את b. כלומר, כאשר <math>x=\begin{pmatrix)(x_1\\x_2\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}</math> מתקייפ <math>b=x_1v_1+...+x_nv_n</math>
*נניח והוקטורים שייכים למרחב <math>\mathbb{F}^n</math>. הוכח שקיים צירוף לינארי יחיד הנותן את b אם"ם המטריצה הינה הפיכה. מה ניתן להסיק על הוקטורים במקרה זה?
====פתרון====
*אם הוקטורים שייכים למרחב <math>\mathbb{F}^n</math> יוצא שהמטריצה הינה ריבועית ולכן למערכת יש פתרון יחיד אם"ם A הפיכה
