שינויים
/* בסיס ומימד */
*spanS=V
*מספר האיברים בS שווה למימד של V. (מסומן: <math>\#S=dimV</math>.)
===תרגיל חשוב===
יהיה V מרחב וקטורי, ויהי W תת מרחב. '''הוכח/הפרך''': אם dimV=dimW מתקיים שV=W בהכרח
====פתרון====
נתון שdimV=dimW. נניח בשלילה ש<math>V\neq W</math> ונראה אם אנחנו מקבלים סתירה או האם מוצאים דוגמא נגדית. מכיוון שנתון <math>W\subseteq V</math> העובדה ש<math>V\neq W</math>גוררת בהכרח שקיים וקטור <math>v\in V</math> כך ש <math>v\notin W</math> (זה תרגיל לוגי פשוט). נסמן dimW=dimV=n וניקח בסיס כלשהו לW (אנחנו יודעים שקיים כזה) <math>S=\{v_1,...,v_n\}</math>.
כעת, נוכיח ש<math>S\cup \{v\}</math> בהכרח בת"ל. נניח בשלילה שהיא כן תלוייה, לכן יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של <math>v_1,v_2,..,v_n,v</math> שמתאפס. נניח והמקדם של v שונה מאפס, לכן קל להראות שהוא צירוף לינארי של האחרים בסתירה לכך ש-v אינו שייך לW (הרי יש סגירות בW לצירופים לינאריים) לכן המקדם של v הינו אפס. כעת נשארנו עם צירוף לינארי לא טריוויאלי שמתאפס של <math>v_1,...,v_n</math> וזו סתירה לכך שהם בת"ל מתוקף הגדרתם כבסיס.
על כן, מצאנו קבוצה בת"ל המכילה n+1 וקטורים, כלומר יותר גדולה מהמימד. נשלים אותה לבסיס לV ונקבל בסיס לV עם יותר מ-n איברים, בסתירה.
התוצאה של תרגיל זה, כאמור, חשובה מאד. אם W תת מרחב של V והוכחנו שהם מאותו המימד זה מספיק על מנת להגיד שהם שווים. אתם תדרשו בעצם לעשות הוכחות כאלה באמצעות מימדים לא פעם ואף לא פעמיים.
