88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 4

פונקציות

הגדרה: יהיו A,B קבוצות וR יחס בינהן. אזי:

• התחום של R הינו [math]\displaystyle{ dom(R)=\{a\in A|\exists b\in B:(a,b)\in R\} }[/math]
• התמונה של R הינה [math]\displaystyle{ im(R)=\{b\in B|\exists a\in A:(a,b)\in R\} }[/math]

דוגמא.

• אם R יחס מלא על A אזי האיחוד של התמונה והתחום שווה A
• [math]\displaystyle{ R=\{(1,a),(2,b),(3,a)\} }[/math] אזי התחום הוא [math]\displaystyle{ dom(R)=\{1,2,3\} }[/math] והתמונה הינה [math]\displaystyle{ im(R)=\{a,b\} }[/math]

הגדרה:

• יחס R נקרא חד ערכי אם [math]\displaystyle{ [(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b) }[/math]
• יחס R נקרא חד-חד ערכי אם [math]\displaystyle{ [(x,b)\in R] \and [(y,b) \in R] \rightarrow (x=y) }[/math] (כלומר, היחס ההופכי הינו חד ערכי)
• יחס R נקרא על אם [math]\displaystyle{ \forall b\in B:\exists a\in A:(a,b)\in R }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ im(R)=B }[/math]

הגדרה:

יחס חד ערכי נקרא פונקציה; נסמן במקרה זה [math]\displaystyle{ (a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a) }[/math].

דוגמאות:

• [math]\displaystyle{ f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ f(p)=p^2 }[/math] (אינה חח"ע ואינה על)
• [math]\displaystyle{ f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ f(p)=p }[/math]. זו נקראת פונקצית הזהות והיא חח"ע וגם על
• [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{Z} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ f(x)=[x] }[/math] מוגדר להיות הערך השלם הקרוב ביותר ל-x (במקרה של חצי לוקחים את הגבוה). זו פונקציה על שאינה חח"ע
• [math]\displaystyle{ f:\mathbb{Z}_2\rightarrow\mathbb{Z}_3 }[/math] כאשר לוקחים את 0 ל0 ואת 1 ל1. זו פונקציה חח"ע שאינה על. (כל פונקציה היא על לתמונה של עצמה.)
• פונקצית דיריכליי: על כל מספר רציונאלי מקבלת 1 ועל כל מספר אי רציונאלי מקבלת אפס.