לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 &\lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix} }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחתית הדף את השורה הבאה:

== כותרת שאלה ==

לכתוב מתחתיה את השאלה שלכם, וללחוץ על 'שמירה'.

(אין צורך להרשם לאתר. רק לעקוב אחרי ההוראות הפשוטות...)

ארכיון

ארכיון 1 - שאלות על תרגילים 1-4

ארכיון 2 - שאלות על תרגילים 5-8

ארכיון 3 - שאלות על תרגילים 10-11

ארכיון 4 - שאלות על תרגיל 12 והמבחן

שאלות

שאלה

איך מוכיחים שכל מטריצה אלכסונית מעל המרוכבים חופפת למטריצה אלכסונית שיש בה רק את הערכים 0,1. מעל הממשיים, המטריצה חופפת למטריצה עם ערכים 0,1,-1.

תשובה

מאיפה השאלה הזו? אין בה הגיון, איך יכול להיות שמעל הממשיים יש יותר אופציות מאשר מעל המרוכבים?

שאלה

אם x1...xm ע"ע של A. אז מהם הע"ע של A^-1 ושל A^2?

תשובה

תענה על זה בעצמך.

שאלה

יש שאלה שאני לא יודע לפתור: הוכח או הפרך - אם הפולינום האופייני של שתי מטריצות שווה וכן הפולינום המינימלי, אז המטריצות דומות.

תשובה

תעבור על תרגילי הבית והפתרונות. בהקדם. זו פשוט שאלה מהתרגילים.

שאלה

הי חברים מישהו יכול לעזור לי אם השאלה הבאה: יהיT:V→V ה"ל, כך שלכל : v∈

T(v),v> =0> הוכח : T=0.

תשובה

אני אעזור, זה פשוט לא נכון. קח מטריצת סיבוב ב90 מעלות. למעשה, אם תסתכל בשאלה הראשונה של תרגיל 10 תראה שזה נכון לכל אופרטור אנטי סימטרי

ארז - אני מאמין שהתרגיל לקוח מהחוברת של ד"ר צבאן, עמ' 96 תרגיל 1.10 1/2 א':

הוכח שאם לכל u.v בממ"פ V מתקיים <Tu,v> = <0> (הכוונה לאפס, פשוט שמתי את ה<> כדי שלא ייצא מעוות), אזי T=0.

זה כבר הגיוני. הוקטור היחיד שמאונך לכל הקטורים במרחב הוא אפס. ולכן יוצא שלכל u בהכרח Tu מאונך לכל הוקטורים במרחב ולכן אפס. ולכן T העתקת האפס.

האם אפשר להוכיח את זה בדרך הבאה (?) :

אם לכל u.v בממ"פ V מתקיים <Tu,v> = <0>, אזי בפרט גם עבור v=Tu, ולכן : <Tu,Tu>=<0>, ולכן לכל u במרחב יתקיים: [math]\displaystyle{ ||Tu||^2 =0 }[/math], בפרט עבור u שונה מאפס, ולכן Tu=0 גורר ש-T=0.

אופס רשמתי את זה לא לגמרי נכון, אני חושב שזה שאלה 1.11 באותו עמוד.. השאלה היא אם יש לך מרחב מכפלה פנימית מעל C עם ה"ל, מ-V ל-V, שמקיימת:T(v),v> =0> לכל v במרחב, ואז צריך להוכיח(ככה כתוב בחוברת!) שזוהי העתקת האפס, ... תודה(:

נו, ומה רע להשתמש ברמז שם?

[math]\displaystyle{ 0=\lt T(v+iu),v+iu\gt =\lt Tv,v\gt +\lt Tiu,iu\gt +\lt Tv,iu\gt +\lt Tiu,v\gt = }[/math]

[math]\displaystyle{ =\lt Tv,iu\gt +\lt iTu,v\gt =-i\lt Tv,u\gt +i\lt Tu,v\gt }[/math]

וגם

[math]\displaystyle{ 0=\lt T(v+u),v+u\gt =\lt Tv,v\gt +\lt Tu,u\gt +\lt Tv,u\gt +\lt Tu,v\gt = }[/math]

[math]\displaystyle{ = \lt Tv,u\gt +\lt Tu,v\gt }[/math]

משני אלה נובע:

[math]\displaystyle{ \lt Tv,u\gt =\lt Tu,v\gt }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \lt Tv,u\gt =-\lt Tu,v\gt }[/math] ולכן יוצא ש

[math]\displaystyle{ \forall v,u\in V : \lt Tv,u\gt =0 }[/math]

ולפי ההוכחה מלמעלה, זו חייבת להיות העתקת האפס.

שאלה

איך מוכיחים שאם שתי מטריצות דומות אז לכל עע שלהן יש אותו ריבוי גיאומטרי. חשבנו אולי להשתמש בצורת ג'ורדן אבל לא נתון שהפולינום שלהן מתפרק לגורמים לינארים.

תשובה

דבר ראשון, אפשר לעשות צורת ז'רדן מעל המרוכבים, וברור שלע"ע ממשי יהיו רק ו"ע ממשיים.

דבר שני, צריך לזכור שמטריצה הפיכה היא מטריצת מעבר בין בסיסים. לכן אם תיקח את הו"ע העצמיים של המטריצה, תהפוך את הקואורדינטות שלהם לבסיס המתאים למטריצה ההפיכה (עמודותיה) הכפל בה יהפוך את הקואורדינטות בחזרה לבסיס הסטנדרטי, המטריצה תכפול אותו בע"ע ואז המטריצה ההופכית תחזיר את זה לקואורדינטות החדשות.

עכשיו אם וקטורים הם בת"ל גם הקואורדינטות שלהם לפי בסיס כלשהו בת"ל ולכן תקבל את אותו המימד של המרחב העצמי (כלומר ריבוי גיאומטרי) בעזרת וקטורי הקואורדינטות של הו"ע.

אבל אני יודע שאם לשתי מטריצות יש אותם ו"ע אז יש להן אותם מרחבים עצמיים? אם כן, איך?

תודה.

תחזור על ההגדרה של מרחב עצמי. מרחב עצמי של ע"ע a הוא קבוצת הוקטורים העצמיים של a איחוד עם אפס

ואם מראים למעשה שכל פתרון של [math]\displaystyle{ \lambda I-A=0 }[/math] הוא גם פתרון של [math]\displaystyle{ \lambda I-B=0 }[/math] כאשר A ו-B דומות ולהפך אז יש להם אותם ריבויים גיאומטריים?

כן, כי זה בדיוק ההגדרה של מרחב עצמי:

[math]\displaystyle{ V_{\lambda}=\{v|(A-\lambda I)v=0\} }[/math]

הריבוי גיאומטרי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] מוגדר להיות [math]\displaystyle{ dimV_\lambda }[/math]

ועוד שאלה

בהוכחה של המשפט, שלV מ"ו מעל R יש ת"מ אינווריאנטי ממימד 1 או 2 סימנו את הע"ע המרוכב והו"ע המרוכב לפי ממשי + i מדומה ואז קיבלנו ש: שתי משוואות שמקשרות בין המטריצה, החלקים המדומים\ממשיים של הו"ע והע"ע. איך ממשיכים הלאה? איך זה עוזר?

תשובה

מעל המרוכבים קיים ל[math]\displaystyle{ A }[/math] וקטור עצמי אחד לפחות עם ע"ע אחד לפחות תמיד. [תרגיל: האם יכול להיות שקיים רק אחד?]

נסמן [math]\displaystyle{ x=u+iv }[/math] ו"ע כאשר [math]\displaystyle{ u,v }[/math] וקטורים ממשיים, ונסמן [math]\displaystyle{ \lambda = \alpha + i\beta }[/math] הע"ע המתאים. לכן [math]\displaystyle{ Ax=\lambda x }[/math] נפתח את הביטוי, נשווה את הצד הדמיוני והממשי ונקבל 2 משוואות [math]\displaystyle{ Av=\alpha u - \beta v }[/math] ו [math]\displaystyle{ Av=\alpha v + \beta u }[/math]. אז רואים בקלות שלכל וקטור [math]\displaystyle{ w \in span\{u,v\} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ Aw \in span\{u,v\} }[/math] ולכן האופרטור אינווריאנטי תחת התת מרחב [math]\displaystyle{ span\{u,v\} }[/math].

תודה! (:

שאלה

למה לכל פונ' ריבועית כללית יש את הצורה q(x)=(x^t)Ax ?

תשובה

ראינו בתרגיל שכל תבנית ריבועית [math]\displaystyle{ q(v) }[/math] מתאימה לתבנית בי לינארית סימטרית [math]\displaystyle{ f(v,v) }[/math], ולמדנו שלכל תבנית בי לנארית יש מטריצה [math]\displaystyle{ [f] }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ f(v,u)=v^t[f]u }[/math] ולמדנו שהמטריצה של תבנית בי לינארית היא סמטרית אם"ם התבנית סמטרית.

שאלה

מישהו אמר לי ששאלו את מרצה הקבוצה השנייה האם יהיה פירוק פולרי במבחן והוא אמר שלא...יש מישהו שיכול לאמת את זה כדי שאהיה בטוח?

שאלה

האם ידועה החלוקה בין ציון הבוחן, המבחן ושיעורי הבית? האם יש אפשרות ליידע את כולנו בממוצע הציונים בשיעורי הבית, כולל שיעורי הבית האחרונים? תודה רבה!!

תשובה

בימים הקרובים יפורסמו ציונים

שאלה

כתבנו בהרצאה על שניוניות ש אפשר לסדר את הע"ע של T האופרטור הצל"ע בסדר כזה, כך שהראשונים יהיו שונים מ0, ובסוף יהיו שווים ל0, ושהRANK של T שקול למס' הע"ע השונים. למה זה?

טוב הבנתי לבד חח, זה בגלל שהראנק של אופרטור שקול לראנק של ההצגה שלו לפי בסיס כלשהו ללא תלות בבסיס...

שאלה

בהוכחה של המשפט: A לכסינה \iff הפולינום המינימלי שלה הוא מהצורה m_A(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k) עבור \lambda_1,...,\lambda_k הע"ע השונים של A

בכיוון אחד ההוכחה היא טיפה מסובכת. אי אפשר להוכיח גם את הכיוון הראשון בעזרת בלוקי ז'ורדן? A לכסינה לכן היא דומה למטריצה אלכסונית. אפשר להסתכל על האלכסון כבלוקים בגודל 1X1 וזהו הבלוק הגדול ביותר לכל ע"ע.. ולכן החזקה הגדולה ביותר בפולינום המינימלי היא 1... זה טוב?

תשובה

באמת שלהוכיח עם ז'ורדן זה באופן כללי בעייתי כי לא הוכחנו אותו בקורס, ולכן אי אפשר לדעת במה משתמשים בהוכחה שלו.

בקשה

הקישור למבחנים שבאתר של ד"ר צבאן מאוד נחמד, אבל איפה אפשר למצוא את המבחן שבוריס עשה שנה שעברה?? לי לפחות זה נראה הכי יעיל.. אם מישו יודע(:

שאלה

ארז- כתבת לגבי המבחן-# לגבי משפט אוילר, הוא מחולק לחלק מתמטי וחלק פיסיקלי. את החלק הפיסיקלי לא צריך לדעת למבחן, אבל את החלק המתמטי כן (וכל המשפטונים שמובילים להוכחה כמובן). איזה חלק מתמטי יש למשפט? ההצגה של אופרטור אורתוגונלי בצורת בלוקים?

תשובה

זה הנוסח מהמרצה, תבין את הכוונה שלו מהמחברת. אני מניח שזה אכן הבלוקים, והמשמעות שלהם, שאותה הייתם צריכים להבין כבר בתרגיל 12 ולצערי חלקכם לא הבין אותה.

שאלה

ידוע ש- [math]\displaystyle{ \lt u,v\gt =\lt u,b\gt }[/math], וכן u שונה מוקטור האפס.

האם בהכרח ניתן לומר ש: b=v ? אם לא, מהו בדיוק משפט ההצגה של ריס ומתי הוא עובד? באינטרנט מצאתי פירושים אחרים לגמרי למשפט ההצגה של ריס מזה שלמדנו. בהרצאה למדנו על משפט 'יחידות ההצגה של ריס' עבור מכפלות פנימיות. תודה רבה ארז אין עליך!

תשובה

מה פתאום! הרי אם v וb סתם וקטורים שמאונכים לu למה שהם יהיו שווים??

משפט ההצגה של ריס אומר שבממ"פ כל פונקציונל [math]\displaystyle{ f:V\rightarrow\mathbb{F} }[/math] שווה לפונקציה מהצורה [math]\displaystyle{ \lt w,\cdot\gt :V\rightarrow\mathbb{F} }[/math] עבור איזהשהו וקטור קבוע [math]\displaystyle{ w }[/math].

כלומר, יש איזומורפיזם בין הפונקציונאלים הלינאריים לבין המרחב הוקטורי עליו הם פועלים. איזומורפיזם זה הוא ההתאמה החח"ע ועל שבין f פונקציונל לw הוקטור הקבוע שציינתי למעלה, ומתקיים תמיד [math]\displaystyle{ f(v)=\lt w,v\gt }[/math].

ציונים

מתי מפרסמים את ציוני התרגיל ואיך הציון נקבע לפי הגבוהה מבין השתיים ? ( הבוחן או שיעורי הבית )

תשובה

אמרתי שנפרסם בימים הקרובים, ולמה שזה יהיה לגבוה מבין השניים? אולי נעשה את זה הגבוה מבין ציון התרגיל או 99?

הכוונה היא שציון התרגיל יקבע לא לפי 10 אחוז שיעורי בית 10 אחוז בוחן אלה 20 אחוז הגבוהה מבין השתיים וזאת בשביל מוטיבצייה והרגשה טובה . זה יראה על זה שאתם מעריכים את כל מה שהשקענו כל הסמסטר הזה כי באמת הקרבנו המון. תבואו לקראתנו אנחנו ילדים.

כן הבנתי את זה, ואני הצעתי על מנת להעלות את המורל לתת לכולכם פשוט 100. אנחנו מאד מעריכים את ההשקעה שלכם, ואנחנו מראים את זה פרט לחיוכים ועוגיות בנוסף על ידי הציון. כעת אנחנו צריכים להעריך יותר את מי שהשקיע יותר נכון? אז אני מציע ככה: ניתן לכם ציון, בהתאם לכמה שהצלחתם בכל תרגיל. מי שהצליח יותר יקבל יותר נקודות, ומי שהצליח פחות יקבל פחות. אבל כולכם תקבלו נקודות.

כך לדוגמא תלמיד שהצליח כמו שאתה אומר הצליח בכל התרגילים בצורה יפה והשקיע ובבוחן לא הלך לו .. (ולהפך) אז לדעתי צריך לקחת את הציון הגבוה - ממוצע תרגילים או בוחן וזאת כדי שאלה שהשקיעו לא התבאסו וירגישו שזה היה ליחנם בכל אופן אני זז לישון יש לי בית ספר מחר על הבוקר אם תרצה לקחת את זה לצומת ליבך זה יהיה נפלא לילה טוב

שאלה

צריך להודיע למישהו אם אני לא יכול להיבחן במועד א' או פשוט לא להגיע?

תשובה

לא צריך להודיע, אבל זה לא מומלץ. זה סיכון לגשת ישר למועד ב', כי הוא האחרון שיהיה.

המשך לשאלה ממקודם על בלוקי ג'ורדן

אמרת שלהוכיח עם בלוקי ז'ורדן זה בעייתי, אבל בהוכחה שאתה כתבת כיוון אחד כן השתמשת. אני לא מבין מה ההבדל בין מה שאני נתתי לבין הכיוון השני של ההוכחה שמופיעה באתר?

תשובה

אני אזכיר שמה שכתבתי באתר היה השלמה לתרגיל, ובאותו תרגיל הוכחנו דברים בעזרת צורת ז'ורדן על מנת ללמד צורת ז'ורדן. במבחן אני לא בטוח בכלל שהוכחות בעזרת צורת ז'ורדן יתקבלו כי הן עוקפות את המטרה המקורית, כמו אנשים שניסו להוכיח עם פוליטופים בבוחן. אני אנסה לחשוב על הוכחה טובה בכיוון השני גם.

בכל מקרה, תקרא ותבין את ההוכחה שיש בכיוון הראשון, זה סוג היכולת שנלמד בקורס, לא תשובה של משפט בעזרת ז'ורדן. 

בחלק הראשון של ההוכחה- למה צריך את החלק של החישוב של (A-li)vi ? שזה שווה להפרש הע"ע כפול הו"ע? הרי בהמשך ההוכחה אפשר ישר להזיז ימינה את A-ljI שיהיה ליד vi ואז זה ישר 0...למה צריך להחליף חלק משאר האיברים המוכפלים?

(תשובה לא מארז) אי אפשר להזיז את A-ljI ימינה סתם ככה. מה שיש לך אחרי זה לא סקלרים אלא מטריצות, ואתה לא יכול להחליף את הסדר.

שאלה

האם יתקיים שיעור חזרה עם המרצה? קיבלתי רק איימיל שיש שיעור חזרה עם לואי ביום שני מ-3 עד 7

איך קיבלת? אני לא קיבלתי..

שאלה

תרגיל: יהי V מרחב וקטורי עם בסיס B. הגדר מכפלה פנימית על V, כך שביחס למכפלה זו B בא"נ. מה אני אמור לעשות כאן, יותר נכון מה אני יכול לעשות כאן, מלבד להגדיר את התנאים למכפלה הפנימית המבוקשת עבור v1,...,vn וקטורי הבסיס B? (יש רמז לתרגיל, שאומר 'להשתמש באיזומורפיזם בין V למרחב הוקטורים F^n)

תשובה

תגדיר את המכפלה הפנימית לוקטורי הבסיס ואז מה? איך אתה יודע שהיא מוגדרת היטב?

לעומת זאת, אם תגדיר את המכפלה הפנימית באופן כללי, אז תענה על התרגיל. ולמה אתה חושב אומרים לך להשתמש במרחב הוקטורי הרגיל F^n? איך נראות מכפלות פנימיות מעליו?

לא נעים לי להגיד, אבל אני ממש לא יודע למה. בכל הנוגע ל'להגדיר מכפלה פנימית' אני יכול רק לנחש מתוך כמה המכפלות הפנימיות שלמדנו (הסטנדרטית, אינטגרל בין 1 ל-(1-), וכ'ו..), אבל אני לא מבין מדוע אומרים להשתמש באיזומורפיזם, או איך נראות מכפלות פנימיות מעל F^n. (כל המכפלות הפנימיות מעל F^n, לא?)

תסתכל על תרגיל 1.9 בעמוד 96 בחוברת. בנוסף, תזכר מה המשמעות של מטריצת גרהם, מה למדנו לגביה?

שאלה

יש לי כמה שאלות:

כשאמרת שיהיה ציטוט משפט או הגדרה, כמה משפטים כבר אפשר לצטט? כלומר לכמה משפטים יש שם ייחודי לחלוטין כמו משפט פירוק הניצב?

אפשר דוגמא אחת לשאלה מסוג הוכח/הפרך?

יש משפטים שההוכחה שלהם מאוד ארוכה, וגם אם אני אבין אותה טוב מאוד ואזכור כמה טריקים אני לא בטוח שאצליח להוכיח אותן במבחן, כגון משפט הלכסון, משפט קיילי המילטון, ומשפט השילוש. בכל זאת משפטים אלה יכולים להיות במבחן להוכחה?

תודה רבה!

תשובה

אני לא יודע, זו לשון המרצה, אני לא ראיתי את המבחן. יהיו ברורים בשאלה לגבי מה לצטט או להגדיר, יש מספיק הגדרות ומשפטים שאפשר לצטט או להגדיר.

כמו שאמרתי, לא ראיתי את המבחן. אתה יכול לחשוב בדיוק כמוני על שאלות הוכח/הפרך, לראות מתרגילי הבית דוגמאות מהבוחן וכו'.

הכל יכול להיות במבחן, גם דברים שנראים לך ארוכים. בעבר תלמידים חשבו שמשהו לא יהיה כי הוא ארוך מידי ולכן לא למדו אותו והפסידו. ראה מקרה משפט המימדים.

שאלה

באיזה בנין וחדר יהיה התירגול?

תשובה

אלגברה ליניארית 2 שעור חזרה עם ארז שיינר יתקיים ביום שני 1/2/10 בין השעות 19-15 בנין 202 חדר 204

מועד ב'

אינני יכול לגשת למועד א', האם מבנה הבחינה של מועד ב' יהיה זהה?

שאלה

אני שם לב שיש כל מיני דברים בתרגול שלא ראינו בכלל בהרצאה (אופרטור חיובי לחלוטין, פירוק פולרי, בנושא של המרחב הדואלי - מאפסים, וכו') האם ייתכן והם יהיו במבחן? התשובה קריטית, כי זה חוסך המון זמן לפתירת תרגילים יותר רלוונטיים. תודה.

מצטרף לשאלה.

כמו שאמרתי איני יודע בדיוק איך נראה המבחן. לעומת זאת המרצים יודעים במדיוק איך נראה התרגיל, ולפיכך יוכלו לשים במבחן כל חומר. התרגיל הוא חלק בלתי נפרד מהקורס, והמרצים מכירים את מערך השיעור של התרגיל, ואת תרגילי הבית שחולקו.

הוכחת תהליך גרם שמידט

ניסיתי להוכיח את גרם שמידט (עבור החלק שהופך קבוצת וקטורים לקבוצה אורתוגונלית) באינדוקציה. הגעתי למבוי סתום (יהיו {[math]\displaystyle{ v_1, . . v_n }[/math]} הוקטורים המקוריים, {[math]\displaystyle{ u_1, . . . u_n }[/math]} הוקטורים החדשים.: הנחתי נכונות עבור n=k+1, כלומר [math]\displaystyle{ u_{k+1} = v_{k+1} - ( \lt v_{k+1},u_1\gt \frac{u_1}{||u_1||^2}+ . . . + \lt v_{k+1},u_k\gt \frac{u_k}{||u_k||^2} ), }[/math] כאשר ההנחה אומרת שהוא מאונך לכל הוקטורים שלפניו, ולכן לכל i מ-1 עד k נקבל: [math]\displaystyle{ \lt u_{k+1},u_i\gt =0 }[/math] לכן, כאשר פותחים את הביטוי מקבלים: [math]\displaystyle{ \lt v_{k+1},u_i\gt =\lt \lt v_{k+1},u_i\gt \frac{u_i}{||u_i||^2},u_i\gt }[/math] וזוהי הנחת האינדוקצייה. כאשר אני מחשב את u_k+2, ומוסיף את אחת מהנחות האינדוקצייה (שהיא שכל הוקטורים u_1,...,u_{k+1} מאונכים זה לזה), אני מקבל שנותר לי להוכיח את השוויון הבא (לכל i מ-1 ועד k כמובן): [math]\displaystyle{ \lt v_{k+2},u_i\gt -\lt \lt v_{k+2},u_i\gt \frac{u_i}{||u_i||^2},u_i\gt =0 }[/math]

איך בדיוק אני עושה את זה?

תודה רבה!

תשובה

יש לך סתם טעות חישוב.. השיוון שאתה מקבל לאחר כפל שני הצדדים ב[math]\displaystyle{ u_i }[/math] הינו:

[math]\displaystyle{ \lt u_{k+1},u_i\gt =\lt v_{k+1},u_i\gt -\frac{\lt v_{k+1},u_i\gt }{||u_i||^2} \lt u_i,u_i\gt = 0 }[/math]

שאר הדברים בכפל הופכים לאפס כמובן.

תודה רבה, ארז, על התגובה המהירה ועל הרצון הטוב לעזור לנו! אין לי מילים לתאר כמה אני מודה לך!!!

אני שמח לשמוע :)

שאלה - הוכחת אי-שוויון קושי שוורץ

יש לי שאלה שעשוייה להראות די בסיסית - הוכחנו בכיתה את אי-שוויון קושי שוורץ בעזרת אי-שוויון בסל, עבור שני וקטורים u,v. הטענה שהוכחנו היא: [math]\displaystyle{ |\lt u,v\gt |\le||u||*||v|| }[/math] וכן שוויון יתקיים אם ורק אם u,v ת"ל.

עכשיו, בסיום ההוכחה הגענו לאי השוויון הבא (שנותר להוכיחו כדי להוכיח את כל הטענה): [math]\displaystyle{ ||v||^2 \le |\lt v,\frac{u}{||u||}\gt |^2 }[/math] וכאן בעצם נגמרה ההוכחה. מדוע הטענה הזו נכונה בעצם לכל u,v?

תשובה

קודם כל הטענה הינה הפוכה:

[math]\displaystyle{ ||v||^2 \ge |\lt v,\frac{u}{||u||}\gt |^2 }[/math]

ושנית כל, זה בדיוק אי שיוויון בסל.

ניקח [math]\displaystyle{ S=\{\frac{u}{||u||}\} }[/math] קבוצה א"נ (לכן הנרמול) ולכל וקטור [math]\displaystyle{ v }[/math] במרחב מתקיים אי השיוויון הנ"ל.

הבנתי! שכחתי שאי-שוויון בסל נכון לכל קבוצה אורתונורמלית, ולא רק לבא"נ כפי שחשבתי. תודה ארז :) !

שאלה

מה זה אומר ש - T העתקה ליניארית היא איזומטריה??

תשובה

T איזומטריה אם היא שומרת נורמה. כלומר [math]\displaystyle{ \forall v \in V : ||Tv||=||v|| }[/math]

שאלה

u שייך לU+ סכום ישר עם U++. ובנוסף u לא שייך לU+. למה זה אומר לי שu שייך לU++? כלומר, הוא יכול להיות חיבור של 'שניהם', לא?

אני מאמין שהתכוונת לצירוף לינארי של איברי הבסיס של U+ עם U++. אז זהו - שלא :) לפי ההגדרה אם מוגדר סכום ישר של U+ ו-U++, הכוונה היא שאין ביניהם חיתוך, כלומר אין וקטור שהוא צ"ל של איברי הבסיס של U+ וגם צ"ל של איברי הבסיס של U++ (הכוונה לצרוף לינארי לא טרוויאלי), ולכן וקטור לא יכול להיות שייך לשני המקומות באותו זמן, אבל מצד שני אם הוא ב-V (כאשר V סכום הישר הנ"ל) חייב להתקיים שהאיחוד של הספאנים נותן את כל המרחב V, כך שלכל וקטור v ב-V יש בדיוק שתי אופציות איפה להיות.

אוקי, תודה. :) עוד שאלה כללית לגבי מינוח. נניח שV ממ"פ, נגדיר את V להיות R^2. אז F (השדה מעליו הוא מוגדר) חייב להיות R?

אני חושב שכן. לעומת זאת, אני יודע שחשוב לזכור ש-R מוכל ב-C, לכן כל מטריצה שמקיימת תכונות של R מקיימת גם תכונות של C (למשל התפרקות הפולינום האופייני).

תיקון קטן, רשמת איחוד הספאנים הוא המרחב כולו - זה כמעט תמיד לא נכון. נכון לאמר שחיבור הספאנים נותן את המרחב כולו. וכל דבר שהוא לא באיחוד, כלומר הוא לא בקבוצה אחת או השנייה אז הוא מתפרק לשני רכיבים, כל רכיב באחת בקבוצות.

שאלה

אפשר בבקשה לצרף את משפט הליכסון? ההוכחה שלו לא הייתה בצורה מלאה במחברת... תודה!

תשובה

אתם צריכים להיות מסוגלים להוכיח את זה לבד. הרי המשפט אומר שמטריצה לכסינה אם"ם יש בסיס למרחב כולו המורכב מו"ע שלה. קל מאד להוכיח שזה נכון אם"ם קיימת P הפיכה כך שAP=PD כאשר D אלכסונית.

שאלה

בשינוי בסיס של מכפלה פנימית אמרו ש-C היא מטריצת המעבר מבסיס B ל-B1 אבל למעשה אנו מסתכלים על הוקטורים כוקטורי שורה ולא עמודה. למעשה מדובר במטריצת המעבר המשוחלפת?

לכסון ושילוש - אורתוגונלי ואוניטרי

מה בדיוק המטרה של יצירת כינוי חדש לפעולה מעל R? איך הידיעה על כך שהלכסון/שילוש שביצענו היא מעל R יכולה לעזור לנו?

בלכסון אני יכול להבין שקל יותר לעבוד איתה כי יש לה פחות דרישות (מעצם העובדה שב-R אין מרוכבים), אבל בשילוש יש דווקא יותר דרישות עבור המקרה הפרטי של R, אז למה שמישהו ירצה לשלש אורתוגונלית כשהוא צריך לבדוק שהפולינום האופייני מל"ל מעל R, אם הוא יכול פשוט לשלש אוניטרית בלי לבדוק תנאים מקדימים?

תשובה

לפעמים אנחנו פשוט מעל R ולא מעניינים אותנו המרוכבים, למשל בכל מה שקשור לזויות והיטלים. ההבדל העיקרי הוא, שהמטריצה המלכסנת/משלשת מכילה ערכים מרוכבים, ולפעמים אנחנו לא מעוניינים בזה.

זה כמו שיש מטריצות שהן לא לכסינות מעל הממשיים אבל כן מעל המרוכבים, ויש מטריצות שאינן לכסינות כלל.

שאלה

כיצד מוכיחים שלמטריצות דומות אותם פולינומים מינימליים?

תשובה

בקלות: [math]\displaystyle{ f_A=|A-xI|=|P^{-1}BP-xI|=|P^{-1}BP-xP^{-1}P|= |P^{-1}||B-xI||P|=|B-xI|=f_B }[/math]

זו ההוכחה לפולינומים אופיינים. כדי להוכיח פולינומים מינימליים, תראה שעבור כל פולינום שמאפס את A, הוא מאפס גם את B וההפך. זה מראה לך בוודאות שהפולינום המינימליים שווים.

שאלה

האם אופרטור שומר מרחקים הוא בהכרח אוניטרי?