לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 &\lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix} }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחתית הדף את השורה הבאה:

== כותרת שאלה ==

לכתוב מתחתיה את השאלה שלכם, וללחוץ על 'שמירה'.

(אין צורך להרשם לאתר. רק לעקוב אחרי ההוראות הפשוטות...)

ארכיון

ארכיון 1 - שאלות על תרגילים 1-4

ארכיון 2 - שאלות על תרגילים 5-8

ארכיון 3 - שאלות על תרגילים 10-11

ארכיון 4 - שאלות על תרגיל 12 והמבחן

ארכיון 5 - שאלות על המבחן

שאלות

שאלה

אפשר בבקשה לצרף את משפט הליכסון? ההוכחה שלו לא הייתה בצורה מלאה במחברת... תודה!

תשובה

אתם צריכים להיות מסוגלים להוכיח את זה לבד. הרי המשפט אומר שמטריצה לכסינה אם"ם יש בסיס למרחב כולו המורכב מו"ע שלה. קל מאד להוכיח שזה נכון אם"ם קיימת P הפיכה כך שAP=PD כאשר D אלכסונית.

לא נראה לי שהוא התכוון לזה.. לפי דעתי הוא התכוון למשפט עם התכונות השקולות (ר"ג=ר"א, וכו').

תצטרכו לנסח אותו במדיוק. אם הריבוי הגיאומטרי שווה לאלגברי ברור שיש בסיס המורכב מוקטורים עצמיים, כי ידוע שו"ע של ע"ע שונים הם בת"ל. בכיוון ההפוך, אם הריבוי הגיאומטרי קטן ממש מהאלגברי אז ברור שאין בסיס המורכב מו"ע משיקולי מימדים.

שאלה

בשינוי בסיס של מכפלה פנימית אמרו ש-C היא מטריצת המעבר מבסיס B ל-B1 אבל למעשה אנו מסתכלים על הוקטורים כוקטורי שורה ולא עמודה. למעשה מדובר במטריצת המעבר המשוחלפת?

לכסון ושילוש - אורתוגונלי ואוניטרי

מה בדיוק המטרה של יצירת כינוי חדש לפעולה מעל R? איך הידיעה על כך שהלכסון/שילוש שביצענו היא מעל R יכולה לעזור לנו?

בלכסון אני יכול להבין שקל יותר לעבוד איתה כי יש לה פחות דרישות (מעצם העובדה שב-R אין מרוכבים), אבל בשילוש יש דווקא יותר דרישות עבור המקרה הפרטי של R, אז למה שמישהו ירצה לשלש אורתוגונלית כשהוא צריך לבדוק שהפולינום האופייני מל"ל מעל R, אם הוא יכול פשוט לשלש אוניטרית בלי לבדוק תנאים מקדימים?

תשובה

לפעמים אנחנו פשוט מעל R ולא מעניינים אותנו המרוכבים, למשל בכל מה שקשור לזויות והיטלים. ההבדל העיקרי הוא, שהמטריצה המלכסנת/משלשת מכילה ערכים מרוכבים, ולפעמים אנחנו לא מעוניינים בזה.

זה כמו שיש מטריצות שהן לא לכסינות מעל הממשיים אבל כן מעל המרוכבים, ויש מטריצות שאינן לכסינות כלל.

שאלה

כיצד מוכיחים שלמטריצות דומות אותם פולינומים מינימליים?

תשובה

בקלות: [math]\displaystyle{ f_A=|A-xI|=|P^{-1}BP-xI|=|P^{-1}BP-xP^{-1}P|= |P^{-1}||B-xI||P|=|B-xI|=f_B }[/math]

זו ההוכחה לפולינומים אופיינים. כדי להוכיח פולינומים מינימליים, תראה שעבור כל פולינום שמאפס את A, הוא מאפס גם את B וההפך. זה מראה לך בוודאות שהפולינום המינימליים שווים.

צודק, טעות שלי. עשינו אבל את ההוכחה הזו עשינו בתרגיל באמת (כמו שרשמת מראים שיש אותם פולינומים מאפסים)

שאלה

האם אופרטור שומר מרחקים הוא בהכרח אוניטרי?

איפה הטעות שלי?

נניח Length Tv = Length v (אני כותב LENGTH במקום נורמה כי אני לא יודע לכתוב מתמטית חח) אזי vxv=TvxTv כשהמכפלה זה המכפלה הפנימית. כלומר Tv-vxTv-v=0 לכן בהכרח Tv=v ולכן בהכרח T=I

תשובה

קודם כל, אונטרי זה לא I, אלא T אוניטרי אם TT*=I.

שנית, אסור לעשות את מה שרשמת עם מכפלה פנימית. [math]\displaystyle{ \lt Tv,Tv\gt -\lt v,v\gt \neq \lt Tv-v,Tv-v\gt }[/math]. הכלל הנכון הינו [math]\displaystyle{ \lt v,u\gt -\lt w,u\gt =\lt v-w,u\gt }[/math]

שלישית, למדנו בתרגיל שאופרטור הוא אוניטרי אם"ם שומר אורכים אם"ם שומר מכפלה פנימית. ואם זה לא מספיק, ההוכחה שאופרטור ששומר אורכים שומר מכפלה פנימית נמצאת באתר בעמוד הראשי.

השאלה שלי הייתה אם אופרטור שומר מרחקים הוא בהכרח אוניטרי. לא נורמות ולא מ"פ. מרחקים.

ומה ההבדל בין שמירת נורמה לשמירת מרחקים? איך מודדים מרחק? אתה בעצמך רשמת נורמה בשאלה...

אני כתבתי רק את השאלה המקורית, לא את שתי השורות שמתחתיה. מרחק זה הנורמה של הפרש הוקטורים.

אז אם מרחק זה נורמה, והנורמה נשמרת אז ברור שהמרחק נשמר. ולחילופין, כל נורמה היא מרחק של הוקטור מאפס. זה שקול לחלוטין. אלה שמות שונים לאותו הדבר

החזרת תרגילים

ארז - ביום שני הקרוב (מחרתיים) יש לנו שיעור חזרה, ועדיין לא קבלתי את כל התרגילים בחזרה וחשוב לי לראות מה עשיתי - האם הם כבר נבדקו? ולגבי אלה שנבדקו, מאיפה אפשר לאסוף אותם?

תשובה

אם הם יחזרו אלינו אנחנו נחזיר אותם ביום שני. בכל מקרה אני ממליץ לקרוא את הפתרונות שיש באתר (בלי שום קשר לתרגילים)

שאלה

בהוכחה של משפט אוילר כתוב שאם ההצגה של T אורתוגונלי לפי בא"נ B במרחב ממימד 2 היא Ref a, ניתן לשנות את הבסיס ככה שזה ייצא מטריצה שיש בה במקום 11 מינוס אחת, במקום 22 אחת ובשאר אפסים. איך משנים את הבסיס כדי שייצא ככה?

תשובה

ניקח אופרטור שיקוף לפי ישר מסוים. מה האופרטור עושה לוקטור שנמצא על הישר? כלום, משאיר אותו כמו שהוא. מה האופרטור עושה לוקטור המאונך לישר? הופך אותו לצד השני, כלומר מחזיר את מינוס הוקטור. לכן ניקח את הבסיס שהוא וקטור על הישר שלפיו משקפים ווקטור מאונך לו. זה תמיד יהיה בסיס (למה?).

זה הסבר ל2 על 2. אבל למדנו שכל אופרטור א"ג הוא סכום ישר של אופרטורים על מרחבי 2 על 2.

למדנו שהוא סכום ישר של סיבובים עם מינוס אחדים ואחדים. מה האחדים והמינוס אחדים מייצגים?

או שיקוף (מינוס אחד) או פשוט שליחת וקטור לעצמו (אחד). הרי מה מטריצה הזו עושה לוקטורי הבסיס? מסובבת זוגות של וקטורי בסיס, חלק משאיר כמו שהם, וחלק משקפת כלומר הופכת את הכיוון

אם אני ממש רוצה למצוא את הבסיס המפורש שבשאלה, מה אני עושה?

איזה שאלה? רשמתי איך מוצאים את הבסיס

שאלה - אורתוגונליות של אופרטור

תוך כדי הוכחת חלק קטן ממשפט אוילר, שבא להוכיח את אחת מטענות העזר הרבות הבאה: אם T אורתוגונלי, U אינווריאנטי, אזי גם U+ אינווריאנטי, נתקלתי במשהו שלא הבנתי מההרצאה: T אורתוגונלית, אז מדוע היא חח"ע? האם כל T אורתוגונלית בכל תת-מרחב (גם לא T-אינווריאנטי) תהיה חח"ע?

תשובה

מה זה מטריצה א"ג? מטריצה שעמודותיה הן בסיס א"נ, ובפרט הן בסיס. כלומר זו מטריצה הפיכה ובוודאי חח"ע. אם היא לא הייתה חח"ע היה לה גרעין לי טריוויאלה, וזו סתירה לכך שעמודותיה הן בת"ל.

אההה מצוין, תודה!

ויש לי עוד שאלה: בהוכת המשפט: 'יהי V מעל R, ו-T אופרטור אורתוגונלי, אזי קיים בא"נ עבורו ההצגה של T היא מטריצת בלוקים שכוללת: [math]\displaystyle{ Rot(a_1) . . . Rot(a_k), -1 . . . -1, 1, . . . 1 }[/math] (אלו הם הבלוקים, והשאר אפסים)'.

הוכחנו בעצם באינדוקצייה, אבל משהו פה נראה לי מוזר:

כשהגענו למקרה ה-n עבור n>2 אמרנו שבגלל ש-T אורתוגונלית יש תת"מ אינווריאנטי U ממימד 1 או 2, ואז יש לו בא"נ B1 כאשר ההעתקה המצומצמת של T עבור U לפי הבסיס B1 היא מהצורה הדרושה. בנוסף, נובע גם שיש גם U+ שהמימד שלו קטן מ-n. איך פתאום קפצנו מכאן למשפט הבא: "לכן לפי הנחת האינדוקצייה יש בא"נ B2 עבור U+ עבורו ההצגה של ההעתקה המצומצמת T ל-U+ לפי B2 היא כנדרש"? על איזו הנחה מדובר?

מה זו הנחת האינדוקציה? זה בדיוק מה שצריך להוכיח הרי. האינדוקציה פה נעשית על המימד. כלומר אנחנו מניחים שכל אופרטור א"ג הוא מהצורה הזו אם הוא פועל על מרחב ממימד n. כעת אנחנו לוקחים את המרחב הגדול, ומפרקים אותו לשני תתי מרחבים אינווריאנטיים U, U+ שהמימד שלהם קטן ממש מהמימד של המרחב כולו. לכן לפי הנחת האינדוקציה האופרטור נראה כמו במשפט על כל אחת מתתי המרחבים הללו.

אהההה הבנתי, אז הנחת האינדוקצייה שפועלת על המימד נכונה כאן כי אנחנו משתמשים בה עבור U+ שאנחנו יודעים שהמימד שלו קטן ממש מ-n, וההנחה היא עבור 1, . . n-1, ובעצם מוכיחים עבור סכום הישר של ההצגות המצומצמות של T לפי הבסיסים שלהם ב-n. נחמד מאוד :) ! תודה ארז, אין עליך!!

שאלה

בפתרונות של שאלה מס' 3 סעיף א' בתרגיל 11, כתוב שזה העתקה בי לינארית. לא הבנתי איך, קח y=0'0'0 x=1'1'1 ותקבל f(x,y)=1 כשאמור לצאת 0...

תשובה

צודק, זו טעות. נתקן