הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/29.5.11"
(←פתרון) |
|||
שורה 24: | שורה 24: | ||
==דוגמה 2== | ==דוגמה 2== | ||
− | |||
− | |||
חשבו את סכום הטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac n{(n+1)x^n}</math> עבור <math>x>1</math>. | חשבו את סכום הטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac n{(n+1)x^n}</math> עבור <math>x>1</math>. | ||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | ראשית נוכיח שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n</math> מתכנס במ"ש ב-<math>(0,1)</math>. יהי <math>0<x_0<1</math> ולכן <math>\left|x^n\right|\le x_0^n</math> לכל <math> | + | נשים לב כי <math>\frac n{(n+1)x^n}=\frac1{x^n}-\frac1{(n+1)x^n}</math>, ומכיוון שהטור המקורי הוא טור חזקות של <math>\frac1x</math>, הוא מתכנס בהחלט בתחום ההתכנסות שלו (למעט, אולי, בקצוות). לפיכך, מספיק לחשב את <math>\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}-\sum_{n=1}^\infty \frac1{(n+1)x^n}</math>. |
− | </ | + | |
+ | ראשית נוכיח שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n</math> מתכנס במ"ש ב-<math>(0,1)</math>. יהי <math>0<x_0<1</math> ולכן <math>\left|x^n\right|\le x_0^n</math> לכל <math>x\in[0,x_0]</math>. כמו כן <math>\sum_{n=1}^\infty x_0^n</math> מתכנס כי <math>0<x_0<1</math> והטור הנדסי, לכן, ממבחן ה-M של ויירשראס, הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[0,x_0]</math>. עתה נוכל לעשות אינטגרציה איבר-איבר: <math>\int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1-t}=\int\limits_0^x\sum_{n=1}^\infty t^n\mathrm dt=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_0^x t^n\mathrm dt=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n+1}}{n+1}</math>. כמו כן, ברור כי <math>\int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1-t}=[-\ln|1-t|]_{t=0}^x=-\ln(1-x)</math>, ולכן <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n+1}=-\frac1x\ln(1-x)</math>. | ||
+ | |||
+ | עתה, אם <math>x>1</math> אזי <math>\frac1x\in(0,1)</math> ולבסוף {{left|<math>\begin{align}\sum_{n=1}^\infty\frac n{(n+1)x^n}&=\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}-\sum_{n=1}^\infty \frac1{(n+1)x^n}\\&=\frac1{1-\tfrac1x}-\left(-\frac1{1/x}\ln\left(1-\frac1x\right)\right)\\&=\frac x{x-1}-x\ln\left(\frac{x-1}x\right)\end{align}</math>}} {{משל}} | ||
==דוגמה 3== | ==דוגמה 3== | ||
שורה 55: | שורה 56: | ||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | נשים לב כי הטור הנתון אינו טור חזקות, ולכן "נתקן" אותו. נגדיר <math>a_n=\begin{cases}n&\exists k:\ n=k!\\0&\text{else}\end{cases}</math>. נקבל את הטור <math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math>. | + | נשים לב כי הטור הנתון אינו טור חזקות, ולכן "נתקן" אותו. נגדיר <math>a_n=\begin{cases}n&\exists k:\ n=k!\\0&\text{else}\end{cases}</math>. נקבל את הטור <math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math>. במקרה הזה נצטרך לחשב <math>\limsup</math> (ולא סתם <math>\lim</math>). <math>1/\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1/\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n=1/1=1</math> ולכן רדיוס ההתכנסות הוא 1. נבדוק בקצוות: ב-1 הטור הוא <math>\sum_{n=0}^\infty n!\cdot 1^{n!}\to\infty</math>. עבור <math>x=-1</math> הטור הוא <math>\sum_{n=0}^\infty n!(-1)^{n!}</math>, שגם שואף לאינסוף כי <math>n!</math> זוגי לכל <math>n>1</math>. לסיכום, תחום ההתכנסות הוא <math>(-1,1)</math>. {{משל}} |
גרסה מ־15:24, 30 באוגוסט 2011
תוכן עניינים
סכומי טורים
תזכורת: (אינטגרציה איבר איבר בסדרות) אם סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציה f ב-, אז f אינטגרבילית ומתקיים . באופן דומה ננסח עבור גזירה איבר-איבר בסדרות: סדרת פונקציות גזירות ורציפות ב- המתכנסת בנקודה אחת לפחות ל-. אם סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש ב- אז גזירה .
באופן דומה נגדיר עבור טורים. עבור אינטגרציה, לדוגמה: יהי טור של פונקציות רציפות ב- המתכנס במ"ש בקטע לפונקצית סכום , אזי טור המספרים מתכנס ומתקיים .
גזירה איבר איבר של טורי פונקציות: יהיו פונציות גזירות רציפות ב- כך שהטור מתכנס ב- ל- אם טור הנגזרות מתכנס במידה שווה בקטע אז מתקיים .
דוגמה 1
- הוכיחו שלכל מתקיים .
פתרון
ידוע ש- וש- (לפי נוסחת סכום סדרה הנדסית). מספיק להראות שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש בקטע ואז נוכל לעשות אינטגרציה איבר-איבר. נשתמש במבחן ה-M של ויירשראס: לכל . אם אזי מתכנס ולכן מתכנס במ"ש.
עתה יהי ונסתכל על הקטע מהצורה , שם הראנו שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש ולכן - חשבו .
פתרון
נעזר בסעיף 1. ברור כי נמצא בקטע , ולכן נציב: .
דוגמה 2
חשבו את סכום הטור עבור .
פתרון
נשים לב כי , ומכיוון שהטור המקורי הוא טור חזקות של , הוא מתכנס בהחלט בתחום ההתכנסות שלו (למעט, אולי, בקצוות). לפיכך, מספיק לחשב את .
ראשית נוכיח שהטור מתכנס במ"ש ב-. יהי ולכן לכל . כמו כן מתכנס כי והטור הנדסי, לכן, ממבחן ה-M של ויירשראס, הטור מתכנס במ"ש ב-. עתה נוכל לעשות אינטגרציה איבר-איבר: . כמו כן, ברור כי , ולכן .
עתה, אם אזי ולבסוףדוגמה 3
מהו סכום הטור עבור ?
פתרון
נשים לב שאם נגדיר אזי . כמו כן . נבדוק את התנאים לגזירה איבר-איבר. דרוש ש- יתכנס במ"ש.
נעזר במבחן ה-M של ויירשראס. אם אז יש ולכן . הטור טור מתכנס עפ"י מבחן המנה של ד'לאמר (או מבחן השורש של קושי).
נסיק שהטור מתכנס במ"ש ולכן וגם . לסיכום , ולפיכך .
טורי חזקות
רדיוס ההתכנסות של טור חזקות הוא , והוא מתכנס בהחלט ב-. לגבי התכנסות בקצוות הקטע, יש לבדוק בנפרד.
דוגמה 4
מצאו את תחום התכנסות של הטור .
פתרון
אכן מדובר על טור חזקות כי כאשר המקדם הכללי הוא . לכן רדיוס ההתכנסות הוא . ז"א כאשר הטור מתכנס. נשאר לבדוק האם יש התכנסות בקצוות . עבור הטור הוא , שמתבדר כי הוא גדול מ-. עבור ברור שהטור מתכנס, לפי משפט לייבניץ. לסיכום, תחום ההתכנסות הוא .
דוגמה 5
מצאו את תחום ההתכנסות של .
פתרון
נשים לב כי הטור הנתון אינו טור חזקות, ולכן "נתקן" אותו. נגדיר . נקבל את הטור . במקרה הזה נצטרך לחשב (ולא סתם ). ולכן רדיוס ההתכנסות הוא 1. נבדוק בקצוות: ב-1 הטור הוא . עבור הטור הוא , שגם שואף לאינסוף כי זוגי לכל . לסיכום, תחום ההתכנסות הוא .