=הוכחה=
נסמן את הבסיס לגרעין ב-<math>\{v_1,...,v_k\}</math>.
נשלים את הבסיס הזה לבסיס ל-V, נסמנו ב- <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_p\}</math>.
נוכיח כי <math>E=\{Tu_1,...,Tu_p\}</math> בסיס לתמונה, ומכאן נסיק בקלות את המשפט.
===E פורש את ImT===
כיוון שכל וקטור ב-V הינו צירוף לינארי של איברי הבסיס, T שולחת כל וקטור לצירוף לינארי של תמונות איברי הבסיס.
לכן, באופן כללי, בהנתן בסיס ל-V התמונות של איברי הבסיס '''פורשות''' (אך לא בהכרח בסיס) לתמונה של T.
כלומר, <math>ImT=span\{Tv_1,...,Tv_k,Tu_1,...,Tu_p\}</math>.
ברור כי <math>Tv_1=...=Tv_k=0</math> (הרי בחרנו את <math>v_1,...,v_k</math> להיות בסיס לגרעין).
לכן מתקיים <math>ImT=span\{Tu_1,...,Tu_p\}</math>.
===E בת"ל===
ניקח צירוף לינארי מתאפס של איברי E:
::<math>a_1Tu_1+...+a_pTu_p=0</math>
לכן
::<math>T(a_1u_1+...+a_pu_p)=0</math>
לכן
::<math>a_1u_1+...+a_pu_p\in kerT</math>
ולכן קיים צירוף לינארי של איברי הבסיס לגרעין כך ש:
::<math>a_1u_1+...+a_pu_p=b_1v_1+...+b_kv_k</math>
נעביר אגף לקבל צירוף לינארי מתאפס של איברי הבסיס של V, ולכן כל המקדמים הם אפס
לכן E בת"ל.
===ספירת מימדים וסיכום===
הוכחנו, איפוא, כי E הינו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים ומימדים לכל תתי המרחבים המעורבים בעניין.
::<math>dim(V)=k+p=dim(kerT)+dim(ImT)</math>