משפט הדרגה

משפט הדרגה

יהיו V,W מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow W }[/math]. אזי מתקיים:

[math]\displaystyle{ dim(kerT)+dim(ImT)=dim(V) }[/math]

הוכחה

נסמן את הבסיס לגרעין ב-[math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_k\} }[/math].

נשלים את הבסיס הזה לבסיס ל-V, נסמנו ב- [math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_k,u_1,...,u_p\} }[/math].

נוכיח כי [math]\displaystyle{ E=\{Tu_1,...,Tu_p\} }[/math] בסיס לתמונה, ומכאן נסיק בקלות את המשפט.

E פורש את ImT

כיוון שכל וקטור ב-V הינו צירוף לינארי של איברי הבסיס, T שולחת כל וקטור לצירוף לינארי של תמונות איברי הבסיס.

לכן, באופן כללי, בהנתן בסיס ל-V התמונות של איברי הבסיס פורשות (אך לא בהכרח בסיס) לתמונה של T.

כלומר, [math]\displaystyle{ ImT=span\{Tv_1,...,Tv_k,Tu_1,...,Tu_p\} }[/math].

ברור כי [math]\displaystyle{ Tv_1=...=Tv_k=0 }[/math] (הרי בחרנו את [math]\displaystyle{ v_1,...,v_k }[/math] להיות בסיס לגרעין).

לכן מתקיים [math]\displaystyle{ ImT=span\{Tu_1,...,Tu_p\} }[/math].

E בת"ל

ניקח צירוף לינארי מתאפס של איברי E:

[math]\displaystyle{ a_1Tu_1+...+a_pTu_p=0 }[/math]

לכן

[math]\displaystyle{ T(a_1u_1+...+a_pu_p)=0 }[/math]

לכן

[math]\displaystyle{ a_1u_1+...+a_pu_p\in kerT }[/math]

ולכן קיים צירוף לינארי של איברי הבסיס לגרעין כך ש:

[math]\displaystyle{ a_1u_1+...+a_pu_p=b_1v_1+...+b_kv_k }[/math]

נעביר אגף לקבל צירוף לינארי מתאפס של איברי הבסיס של V, ולכן כל המקדמים הם אפס

לכן E בת"ל.

ספירת מימדים וסיכום

הוכחנו, אפוא, כי E הינו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים ומימדים לכל תתי המרחבים המעורבים בעניין.

[math]\displaystyle{ dim(V)=k+p=dim(kerT)+dim(ImT) }[/math]