התרגיל בסוף [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7|מערך תרגול 7]]
=שאלה 3=
הפתרון נכון כל עוד המאפיין שונה מ-2
==סעיף א==
נניח כי v ניתן להצגה בצורה הנ"ל, וכך נחשב את w1,w2. לאחר שנחשב אותם, נוכיח שהם אכן מקיימים את התכונות הדרושות.
אם כן קיבלנו 2 משוואות בשני נעלמים, ואנו מחלצים מתוכן:
:<math>w_1=\frac{v+tvTv}{2},w_2=w_1=\frac{v-tvTv}{2}</math>
אם כן, לכל <math>v\in V</math> נגדיר <math>w_1=\frac{v+tvTv}{2},w_2=w_1=\frac{v-tvTv}{2}</math>. קל לוודא שאכן מתקיים
:<math>v=w_1+w_2,Tw_1=w_1,Tw_2=-w_2</math>
==סעיף ב==
נגדיר <math>V_1=\{w|Tw=w\},V_2=\{w|Tw=-w\}</math>. נובע בקלות מסעיף א כי <math>v_1V_1+v_2V_2=V</math>. אם נוכיח כי החיתוך בינהם הוא אפס, נקבל בקלות ממשפט המימדים כי <math>v_1V_1\oplus v_2V_2=V</math>. אז איחוד הבסיסים בינהם יהווה בסיס העונה על דרישות התרגיל.
אבל אם וקטור w נמצא באיחוד בחיתוך הוא מקיים w=-w ולכן w=0. משל.
=שאלה 4=
נניח כי <math>AA^t=0</math>. נובע בקלות מהתרגיל שפתרנו ב[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/2#תרגיל 5.11|מערך תרגול 2]] כי A=0. כעת, נניח כי <math>BAA^t=0</math> נכפול במשוחלפת של B ונקבל <math>0=BAA^tB^t=BA(BA)^t</math> ואז שוב BA=0
==סעיף ג==
הוכחה:
נובע ממשפט המימדים כי <math>dimV_1+dimV_2\geq 2n+1</math> לכן בלי הגבלת הכלליות ניתן להניח כי <math>dimV_1\geq n+1</math>. באופן דומה <math>dimV_1\geq n+1</math> ומכיוון ש <math>V_1+U_1\subseteq V</math> מתקיים לפי משפט המימדים כי <math>dim (V_1\cap U_1)>0</math>.
מכיוון שהסכום מכיל את כל החיתוכים האפשריים, זוג אחד מבינהם חייב להיות חיתוך לא אפס, ולכן הסכום אינו אפס.