אלגברה לינארית 1/מבחנים/פתרון מבחן דמה תשעא: הבדלים בין גרסאות בדף
(←שאלה 2) |
(←סעיף א) |
||
| (7 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
| שורה 4: | שורה 4: | ||
התרגיל בסוף [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7|מערך תרגול 7]] | התרגיל בסוף [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7|מערך תרגול 7]] | ||
=שאלה 3= | =שאלה 3= | ||
הפתרון נכון כל עוד המאפיין שונה מ-2 | |||
==סעיף א== | ==סעיף א== | ||
נניח כי v ניתן להצגה בצורה הנ"ל, וכך נחשב את w1,w2. לאחר שנחשב אותם, נוכיח שהם אכן מקיימים את התכונות הדרושות. | נניח כי v ניתן להצגה בצורה הנ"ל, וכך נחשב את w1,w2. לאחר שנחשב אותם, נוכיח שהם אכן מקיימים את התכונות הדרושות. | ||
| שורה 13: | שורה 14: | ||
אם כן קיבלנו 2 משוואות בשני נעלמים, ואנו מחלצים מתוכן: | אם כן קיבלנו 2 משוואות בשני נעלמים, ואנו מחלצים מתוכן: | ||
:<math>w_1=\frac{v+ | :<math>w_1=\frac{v+Tv}{2},w_2=w_1=\frac{v-Tv}{2}</math> | ||
אם כן, לכל <math>v\in V</math> נגדיר <math>w_1=\frac{v+ | אם כן, לכל <math>v\in V</math> נגדיר <math>w_1=\frac{v+Tv}{2},w_2=w_1=\frac{v-Tv}{2}</math>. קל לוודא שאכן מתקיים | ||
:<math>v=w_1+w_2,Tw_1=w_1,Tw_2=-w_2</math> | :<math>v=w_1+w_2,Tw_1=w_1,Tw_2=-w_2</math> | ||
==סעיף ב== | ==סעיף ב== | ||
נגדיר <math>V_1=\{w|Tw=w\},V_2=\{w|Tw=-w\}</math>. נובע בקלות מסעיף א כי <math> | נגדיר <math>V_1=\{w|Tw=w\},V_2=\{w|Tw=-w\}</math>. נובע בקלות מסעיף א כי <math>V_1+V_2=V</math>. אם נוכיח כי החיתוך בינהם הוא אפס, נקבל בקלות ממשפט המימדים כי <math>V_1\oplus V_2=V</math>. אז איחוד הבסיסים בינהם יהווה בסיס העונה על דרישות התרגיל. | ||
אבל אם וקטור w נמצא | אבל אם וקטור w נמצא בחיתוך הוא מקיים w=-w ולכן w=0. משל. | ||
=שאלה 4= | |||
==סעיף א== | |||
הפרכה: | |||
:<math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}</math> | |||
==סעיף ב== | |||
נניח כי <math>AA^t=0</math>. נובע בקלות מהתרגיל שפתרנו ב[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/2#תרגיל 5.11|מערך תרגול 2]] כי A=0. כעת, נניח כי <math>BAA^t=0</math> נכפול במשוחלפת של B ונקבל <math>0=BAA^tB^t=BA(BA)^t</math> ואז שוב BA=0 | |||
==סעיף ג== | |||
הוכחה: | |||
נובע ממשפט המימדים כי <math>dimV_1+dimV_2\geq 2n+1</math> לכן בלי הגבלת הכלליות ניתן להניח כי <math>dimV_1\geq n+1</math>. באופן דומה <math>dimV_1\geq n+1</math> ומכיוון ש <math>V_1+U_1\subseteq V</math> מתקיים לפי משפט המימדים כי <math>dim (V_1\cap U_1)>0</math>. | |||
מכיוון שהסכום מכיל את כל החיתוכים האפשריים, זוג אחד מבינהם חייב להיות חיתוך לא אפס, ולכן הסכום אינו אפס. | |||
גרסה אחרונה מ־15:59, 19 בספטמבר 2011
שאלה 1
שאלה 2
התרגיל בסוף מערך תרגול 7
שאלה 3
הפתרון נכון כל עוד המאפיין שונה מ-2
סעיף א
נניח כי v ניתן להצגה בצורה הנ"ל, וכך נחשב את w1,w2. לאחר שנחשב אותם, נוכיח שהם אכן מקיימים את התכונות הדרושות.
[math]\displaystyle{ v=w_1+w_2 }[/math], נפעיל את T על שני האגפים לקבל
- [math]\displaystyle{ Tv=Tw_1+Tw_2=w_1-w_2 }[/math]
אם כן קיבלנו 2 משוואות בשני נעלמים, ואנו מחלצים מתוכן:
- [math]\displaystyle{ w_1=\frac{v+Tv}{2},w_2=w_1=\frac{v-Tv}{2} }[/math]
אם כן, לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ w_1=\frac{v+Tv}{2},w_2=w_1=\frac{v-Tv}{2} }[/math]. קל לוודא שאכן מתקיים
- [math]\displaystyle{ v=w_1+w_2,Tw_1=w_1,Tw_2=-w_2 }[/math]
סעיף ב
נגדיר [math]\displaystyle{ V_1=\{w|Tw=w\},V_2=\{w|Tw=-w\} }[/math]. נובע בקלות מסעיף א כי [math]\displaystyle{ V_1+V_2=V }[/math]. אם נוכיח כי החיתוך בינהם הוא אפס, נקבל בקלות ממשפט המימדים כי [math]\displaystyle{ V_1\oplus V_2=V }[/math]. אז איחוד הבסיסים בינהם יהווה בסיס העונה על דרישות התרגיל.
אבל אם וקטור w נמצא בחיתוך הוא מקיים w=-w ולכן w=0. משל.
שאלה 4
סעיף א
הפרכה:
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} }[/math]
סעיף ב
נניח כי [math]\displaystyle{ AA^t=0 }[/math]. נובע בקלות מהתרגיל שפתרנו במערך תרגול 2 כי A=0. כעת, נניח כי [math]\displaystyle{ BAA^t=0 }[/math] נכפול במשוחלפת של B ונקבל [math]\displaystyle{ 0=BAA^tB^t=BA(BA)^t }[/math] ואז שוב BA=0
סעיף ג
הוכחה:
נובע ממשפט המימדים כי [math]\displaystyle{ dimV_1+dimV_2\geq 2n+1 }[/math] לכן בלי הגבלת הכלליות ניתן להניח כי [math]\displaystyle{ dimV_1\geq n+1 }[/math]. באופן דומה [math]\displaystyle{ dimV_1\geq n+1 }[/math] ומכיוון ש [math]\displaystyle{ V_1+U_1\subseteq V }[/math] מתקיים לפי משפט המימדים כי [math]\displaystyle{ dim (V_1\cap U_1)\gt 0 }[/math].
מכיוון שהסכום מכיל את כל החיתוכים האפשריים, זוג אחד מבינהם חייב להיות חיתוך לא אפס, ולכן הסכום אינו אפס.