אלגברה לינארית 1/מבחנים/פתרון מבחן דמה תשעא: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
 
(7 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות)
שורה 4: שורה 4:
התרגיל בסוף [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7|מערך תרגול 7]]
התרגיל בסוף [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7|מערך תרגול 7]]
=שאלה 3=
=שאלה 3=
הפתרון נכון כל עוד המאפיין שונה מ-2
==סעיף א==
==סעיף א==
נניח כי v ניתן להצגה בצורה הנ"ל, וכך נחשב את w1,w2. לאחר שנחשב אותם, נוכיח שהם אכן מקיימים את התכונות הדרושות.
נניח כי v ניתן להצגה בצורה הנ"ל, וכך נחשב את w1,w2. לאחר שנחשב אותם, נוכיח שהם אכן מקיימים את התכונות הדרושות.
שורה 13: שורה 14:
אם כן קיבלנו 2 משוואות בשני נעלמים, ואנו מחלצים מתוכן:
אם כן קיבלנו 2 משוואות בשני נעלמים, ואנו מחלצים מתוכן:


:<math>w_1=\frac{v+tv}{2},w_2=w_1=\frac{v-tv}{2}</math>
:<math>w_1=\frac{v+Tv}{2},w_2=w_1=\frac{v-Tv}{2}</math>




אם כן, לכל <math>v\in V</math> נגדיר <math>w_1=\frac{v+tv}{2},w_2=w_1=\frac{v-tv}{2}</math>. קל לוודא שאכן מתקיים
אם כן, לכל <math>v\in V</math> נגדיר <math>w_1=\frac{v+Tv}{2},w_2=w_1=\frac{v-Tv}{2}</math>. קל לוודא שאכן מתקיים


:<math>v=w_1+w_2,Tw_1=w_1,Tw_2=-w_2</math>
:<math>v=w_1+w_2,Tw_1=w_1,Tw_2=-w_2</math>


==סעיף ב==
==סעיף ב==
נגדיר <math>V_1=\{w|Tw=w\},V_2=\{w|Tw=-w\}</math>. נובע בקלות מסעיף א כי <math>v_1+v_2=V</math>. אם נוכיח כי החיתוך בינהם הוא אפס, נקבל בקלות ממשפט המימדים כי <math>v_1\oplus v_2=V</math>. אז איחוד הבסיסים בינהם יהווה בסיס העונה על דרישות התרגיל.
נגדיר <math>V_1=\{w|Tw=w\},V_2=\{w|Tw=-w\}</math>. נובע בקלות מסעיף א כי <math>V_1+V_2=V</math>. אם נוכיח כי החיתוך בינהם הוא אפס, נקבל בקלות ממשפט המימדים כי <math>V_1\oplus V_2=V</math>. אז איחוד הבסיסים בינהם יהווה בסיס העונה על דרישות התרגיל.


אבל אם וקטור w נמצא באיחוד הוא מקיים w=-w ולכן w=0. משל.
אבל אם וקטור w נמצא בחיתוך הוא מקיים w=-w ולכן w=0. משל.
 
=שאלה 4=
==סעיף א==
הפרכה:
 
:<math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}</math>
==סעיף ב==
נניח כי <math>AA^t=0</math>. נובע בקלות מהתרגיל שפתרנו ב[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/2#תרגיל 5.11|מערך תרגול 2]] כי A=0. כעת, נניח כי <math>BAA^t=0</math> נכפול במשוחלפת של B ונקבל <math>0=BAA^tB^t=BA(BA)^t</math> ואז שוב BA=0
==סעיף ג==
הוכחה:
 
נובע ממשפט המימדים כי <math>dimV_1+dimV_2\geq 2n+1</math> לכן בלי הגבלת הכלליות ניתן להניח כי <math>dimV_1\geq n+1</math>. באופן דומה <math>dimV_1\geq n+1</math> ומכיוון ש <math>V_1+U_1\subseteq V</math> מתקיים לפי משפט המימדים כי <math>dim (V_1\cap U_1)>0</math>.
 
מכיוון שהסכום מכיל את כל החיתוכים האפשריים, זוג אחד מבינהם חייב להיות חיתוך לא אפס, ולכן הסכום אינו אפס.

גרסה אחרונה מ־15:59, 19 בספטמבר 2011

שאלה 1

משפט ההגדרה

שאלה 2

התרגיל בסוף מערך תרגול 7

שאלה 3

הפתרון נכון כל עוד המאפיין שונה מ-2

סעיף א

נניח כי v ניתן להצגה בצורה הנ"ל, וכך נחשב את w1,w2. לאחר שנחשב אותם, נוכיח שהם אכן מקיימים את התכונות הדרושות.

[math]\displaystyle{ v=w_1+w_2 }[/math], נפעיל את T על שני האגפים לקבל

[math]\displaystyle{ Tv=Tw_1+Tw_2=w_1-w_2 }[/math]

אם כן קיבלנו 2 משוואות בשני נעלמים, ואנו מחלצים מתוכן:

[math]\displaystyle{ w_1=\frac{v+Tv}{2},w_2=w_1=\frac{v-Tv}{2} }[/math]


אם כן, לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ w_1=\frac{v+Tv}{2},w_2=w_1=\frac{v-Tv}{2} }[/math]. קל לוודא שאכן מתקיים

[math]\displaystyle{ v=w_1+w_2,Tw_1=w_1,Tw_2=-w_2 }[/math]

סעיף ב

נגדיר [math]\displaystyle{ V_1=\{w|Tw=w\},V_2=\{w|Tw=-w\} }[/math]. נובע בקלות מסעיף א כי [math]\displaystyle{ V_1+V_2=V }[/math]. אם נוכיח כי החיתוך בינהם הוא אפס, נקבל בקלות ממשפט המימדים כי [math]\displaystyle{ V_1\oplus V_2=V }[/math]. אז איחוד הבסיסים בינהם יהווה בסיס העונה על דרישות התרגיל.

אבל אם וקטור w נמצא בחיתוך הוא מקיים w=-w ולכן w=0. משל.

שאלה 4

סעיף א

הפרכה:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} }[/math]

סעיף ב

נניח כי [math]\displaystyle{ AA^t=0 }[/math]. נובע בקלות מהתרגיל שפתרנו במערך תרגול 2 כי A=0. כעת, נניח כי [math]\displaystyle{ BAA^t=0 }[/math] נכפול במשוחלפת של B ונקבל [math]\displaystyle{ 0=BAA^tB^t=BA(BA)^t }[/math] ואז שוב BA=0

סעיף ג

הוכחה:

נובע ממשפט המימדים כי [math]\displaystyle{ dimV_1+dimV_2\geq 2n+1 }[/math] לכן בלי הגבלת הכלליות ניתן להניח כי [math]\displaystyle{ dimV_1\geq n+1 }[/math]. באופן דומה [math]\displaystyle{ dimV_1\geq n+1 }[/math] ומכיוון ש [math]\displaystyle{ V_1+U_1\subseteq V }[/math] מתקיים לפי משפט המימדים כי [math]\displaystyle{ dim (V_1\cap U_1)\gt 0 }[/math].

מכיוון שהסכום מכיל את כל החיתוכים האפשריים, זוג אחד מבינהם חייב להיות חיתוך לא אפס, ולכן הסכום אינו אפס.