88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/גבול

חזרה לסדרות

גבול של סדרה

ההגדרה המדוייקת של סדרה

הגדרה. בבדידה נלמד/למדנו את ההגדרה המדוייקת של פונקציה. סדרה הינה פונקציה מקבוצת הטבעיים אל קבוצה כלשהי. סדרה ממשית, למשל, הינה פונקציה מהטבעיים אל הממשיים.

באופן טבעי, התמונה של המספר הטבעי 1 נקראת האיבר הראשון של הסדרה, התמונה של 2 היא האיבר השני וכן הלאה.

גבול של סדרה

תהי סדרת מספרים ממשיים [math]\displaystyle{ \{a_n\}_1^{\infty}=a_1,a_2,a_3,... }[/math], (כך ש [math]\displaystyle{ a_1,a_2,a_3,...\in\mathbb{R} }[/math]).

לדוגמא:

[math]\displaystyle{ \{\frac{1}{2^n}\}_1^{\infty}=\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},... }[/math]

גבול של סדרה הוא נקודה ממשית אליה איברי הסדרה מתקרבים. לסדרה שלא מתקרבת לנקודה ספציפית אין גבול, למשל: [math]\displaystyle{ 0,1,0,1,0,... }[/math] (לסדרה זו אין גבול). נגדיר את מושג הגבול באופן מדוייק:

הגדרת הגבול

הגדרה. תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה של מספרים ממשיים. אזי מספר ממשי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb{R} }[/math] נקרא גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ 0\lt \epsilon\in\mathbb{R} }[/math] קיים [math]\displaystyle{ N_{\epsilon}\in\mathbb{N} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt N_{\epsilon} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-L|\lt \epsilon }[/math].

במקרה זה מסמנים [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L }[/math]

הסבר ההגדרה

נתרגם את זה למילים. למדנו ש[math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] מודד אורך, מספר טבעי [math]\displaystyle{ N_{\epsilon}\in\mathbb{N} }[/math] מסמל מקום בסדרה, וערך מוחלט של הפרש מודד מרחק בין שני האיברים. בנוסף למדנו על המשפט הלוגי 'לכל סיר יש מכסה שמתאים לו'. עכשיו נרשום את הגדרת הגבול במילים:

נקודה L על ציר המספרים הממשיים היא גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math]

אם לכל אורך ([math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math]) [סיר]

קיים מקום בסדרה ([math]\displaystyle{ N_{\epsilon}\in\mathbb{N} }[/math]) [מכסה]

כך שהחל ממנו והלאה (לכל [math]\displaystyle{ n\gt N_{\epsilon} }[/math]) מתקיים שהמרחק בין איברי הסדרה לבין הנקודה L קטן מהאורך [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] ([math]\displaystyle{ |a_n-L|\lt \epsilon }[/math]) [מתאים לו]

דוגמאות

תרגיל. מצא את גבול הסדרה [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n-1}{n} }[/math]

פתרון. מהתבוננות באיברים הראשונים של הסדרה אנו מנחשים שגבול הסדרה הינו 1. נוכיח זאת.

יהי אפסילון גדול מאפס. (הוכחה באינפי מתחילה בשורה זו לעיתים תכופות. מכיוון שההגדרות דורשות שתכונה מסוימת תתקיים לכל אפסילון, אם נוכיח אותה לאפסילון מבלי להתייחס לערך שלו, הוכחנו שהיא נכונה תמיד.)

כעת, אנו רוצים למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה איברי הסדרה קרובים לאחד עד כדי אפסילון. כלומר:

[math]\displaystyle{ |\frac{n-1}{n}-1|\lt \epsilon }[/math]

נפתח את הביטוי.

[math]\displaystyle{ |\frac{n-1}{n}-1|=|\frac{-1}{n}|=\frac{1}{n} }[/math]

כעת, אנו מעוניינים כי יתקיים [math]\displaystyle{ \frac{1}{n}\lt \epsilon }[/math], זה נכון אם"ם [math]\displaystyle{ n\gt \frac{1}{\epsilon} }[/math]

נבחר, אפוא, [math]\displaystyle{ N_{\epsilon}\gt \frac{1}{\epsilon} }[/math] כלשהו (מותר כיוון שאחרת המספרים הטבעיים היו חסומים, וידוע שאין חסם עליון למספרים הטבעיים). לכן ברור כי לכל [math]\displaystyle{ n\gt N_{\epsilon} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ n\gt N_{\epsilon}\gt \frac{1}{\epsilon} }[/math] ולכן איברי הסדרה קרובים ל-1 עד כדי אפסילון כפי שרצינו.

תרגיל. מצא את גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\sqrt[n]{n} }[/math]

ננחש את הגבול ע"י הצבה במחשבון (או אינטואיציה מבריקה) להיות אחד. כעת, יהי אפסילון כלשהו, נוכיח כי קיים מקום בסדרה החל ממנו איברי הסדרה קרובים לאחד עד כדי אפסילון. כלומר, [math]\displaystyle{ |a_n-1|\lt \epsilon }[/math].

זה שקול ל- [math]\displaystyle{ -\epsilon\lt a_n-1\lt \epsilon }[/math]

זה שקול ל- [math]\displaystyle{ 1-\epsilon\lt \sqrt[n]{n}\lt 1+\epsilon }[/math]

כיוון ש [math]\displaystyle{ n\geq 1 }[/math] הצד השמאלי טריוויאלי (שכן אם השורש היה קטן מאחד, כאשר היינו מעלים אותו בחזקה הוא היה נשאר קטן מאחד). לכן נותר עלינו להוכיח כי קיים מקום בסדרה [math]\displaystyle{ N_\epsilon }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt N_\epsilon }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{n}\lt 1+\epsilon }[/math]

כלומר, אנו רוצים שיתקיים [math]\displaystyle{ n\lt (1+\epsilon)^n }[/math]

נביט בביטוי [math]\displaystyle{ (1+\epsilon)^n=(1+\epsilon)\cdot(1+\epsilon)\cdots (1+\epsilon) }[/math]. נזכר בשיעור קומבינטוריקה ונשים לב שכמות האפשרויות לקבל אפסילון כפול אפסילון כפול אחדות בעת פתיחת הסוגריים שווה לכמות האפשרויות לבחור זוגות מבין n איברים והיא [math]\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2} }[/math]. בסה"כ אנו מקבלים:

[math]\displaystyle{ (1+\epsilon)^n=\frac{n(n+1)}{2}\epsilon^2+K }[/math]

(כאשר K הוא מספר חיובי כלשהו המורכב משאר הכפולות שהשמטנו.)

אם כך, [math]\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2}\epsilon^2\lt (1+\epsilon)^n }[/math]. לכן, אם נמצא מקום בסדרה שהחל ממנו מתקיים [math]\displaystyle{ n\lt \frac{n(n+1)}{2}\epsilon^2\lt (1+\epsilon)^n }[/math] נסיים את התרגיל.

[math]\displaystyle{ n\lt \frac{n(n+1)}{2}\epsilon^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ 1\lt \frac{n+1}{2}\epsilon^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ n+1\gt \frac{2}{\epsilon^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ n\gt \frac{2}{\epsilon^2}-1 }[/math]

וכמובן שכיוון שהמספרים הטבעיים אינם חסומים, אחרי מקום מסויים בסדרה אי השיוויון הזה יתקיים כפי שרצינו.

שלילת גבול

שלילת הגבול.

L אינו גבול של סדרה אם קיים [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ N\in\mathbb{N} }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |a_n-L|\geq\epsilon }[/math]

תרגיל. הוכח שלסדרה [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math] לא קיים גבול

נניח בשלילה שקיים גבול L ממשי כלשהו. נניח עוד כי L אי שלילי (ההוכחה עבור השליליים תהא דומה). ניקח [math]\displaystyle{ \epsilon = 1 }[/math] (הרי צריך להוכיח כי קיים אפסילון). כעת, יהי [math]\displaystyle{ N\in\mathbb{N} }[/math] ניקח n אי זוגי גדול ממנו. במקרה זה [math]\displaystyle{ |a_n-L|=|-1-L|=1+L\geq 1=\epsilon }[/math] כפי שרצינו. (שימו לב שהורדנו את הערך המוחלט בעזרת ההנחה כי L אינו שלילי.)

אריתמטיקה (חשבון) של גבולות

משפט. תהי [math]\displaystyle{ a_n\rightarrow L }[/math] (סדרה השואפת לגבול L) ותהי [math]\displaystyle{ b_n\rightarrow K }[/math] אזי:

• [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)=L+K }[/math]
• [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}(a_n\cdot b_n)=L\cdot K }[/math]
• אם [math]\displaystyle{ K\neq 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{L}{K} }[/math]

תרגיל. מצא את גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\frac{3n^7+5n^2+1}{6n^7+n^4} }[/math].

פתרון.

נחלק את המונה ואת המכנה ב- [math]\displaystyle{ n^7 }[/math]. נקבל [math]\displaystyle{ a_n=\frac{3+5n^{-5}+n^{-7}}{6+n^{-3}} }[/math]. חזקות שליליות של n שואפות לאפס ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות אנו רואים כי הגבול שווה ל- [math]\displaystyle{ \frac{3}{6}=\frac{1}{2} }[/math].

התכנסות במובן הרחב

דיברנו עד כה על התכנסות סדרה לגבול סופי מסויים. מה לגבי סדרות השואפות לאינסוף? אנו מעוניים להבדיל אותן מסדרות כפי שראינו לעיל שאינן מתקרבות לשום כיוון מסויים.

הגדרה. תהא [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה. אזי אומרים כי הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף אם לכל [math]\displaystyle{ M\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ N_M\in\mathbb{N} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt N_M }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\gt M }[/math]

הערה: שימו לב ש-M בדומה לאפסילון מודד מרחק, אך מכיוון שההגבלה כאן היא חמורה יותר כאשר המרחק גדול (בניגוד לקטן) אנו מסמנים מרחק זה באות M ולא באות אפסילון. אנחנו נשמור על מתכונת זו לאורך הקורס.

ההגדרה להתכנסות במובן הרחב למינוס אינסוף דומה עם שינויים קלים בהתאם.