88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/תתי סדרות

חזרה לסדרות

תתי סדרות

תת סדרה מתקבלת מסדרה ע"י השמטת מספר כלשהו של איברים (לא בהכרח סופי). נגדיר זאת במדוייק:

הגדרה. תהי סדרה ממשית [math]\displaystyle{ a_m }[/math] ותהי סדרה עולה ממש של מספרים טבעיים [math]\displaystyle{ n_k }[/math] (כלומר, [math]\displaystyle{ n_1\lt n_2\lt n_3\lt ... }[/math]). אזי [math]\displaystyle{ a_{n_k} }[/math] הינה תת סדרה של [math]\displaystyle{ a_n }[/math].

הערה: שימו לב שמכיוון שההגדרה המדוייקת של סדרה הינה פונקציה, תת סדרה הינה הרכבה של פונקצית הסדרה על פונקציה המשמיטה איברים מהסדרה (בפרט, את כל האיברים שבין [math]\displaystyle{ n_i }[/math] לבין [math]\displaystyle{ n_{i+1} }[/math] לכל i).

דוגמא. נביט בסדרה [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math] ובסדרת המספרים הטבעיים [math]\displaystyle{ n_k=2k }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a_{n_k}=(-1)^{2k}=1 }[/math] הינה תת סדרה של הסדרה המקורית.

דוגמא. נביט בסדרה [math]\displaystyle{ a_1,a_2,a_3,... }[/math] אזי תת סדרה אחת שלה תהא [math]\displaystyle{ a_1,a_3,a_{15},a_{85},... }[/math]

הגדרה. תהא [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה. אזי L נקרא גבול חלקי של הסדרה אם קיימת לה תת סדרה [math]\displaystyle{ a_{n_k} }[/math] השואפת ל-L.

משפט. תהא [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה. אזי L גבול חלקי שלה אם"ם לכל [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ N\in\mathbb{N} }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |a_n-L|\lt \epsilon }[/math]

במילים, קיימים אינסוף איברים מהסדרה הקרובים לגבול כרצוננו, אך לא כל האיברים חייבים להתקרב לגבול כרצוננו (אחרת הוא היה גבול מלא ולא חלקי).

משפט. סדרה מתכנסת לגבול L אם"ם כל תתי הסדרות שלה מתכנסות לגבול L

מסקנה. אם לסדרה קיימת תת סדרה המתכנסת לגבול K וקיימת תת סדרה שאינה מתכנסת לגבול K אזי הסדרה המקורית אינה מתכנסת.

משפט בולצאנו ויירשטראס. לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנס.

הוכחה. (בהוכחה מוזכרת גם הלמה של קנטור.)