שדות - תכונות בסיסיות: הבדלים בין גרסאות בדף
(יצירת דף עם התוכן " == איברים אלגבריים וטרנסצנדנטיים == '''הגדרה:''' יהיה <math>F</math> שדה. הרחבה של <math>F</math> היא כינוי...") |
אין תקציר עריכה |
||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
== איברים אלגבריים וטרנסצנדנטיים == | == איברים אלגבריים וטרנסצנדנטיים == | ||
| שורה 5: | שורה 4: | ||
'''הגדרה:''' יהיה <math>F</math> שדה. הרחבה של <math>F</math> היא כינוי לכל שדה <math>K</math> המכיל את <math>F</math>. לרוב כותבים גם <math>L/K</math>. | '''הגדרה:''' יהיה <math>F</math> שדה. הרחבה של <math>F</math> היא כינוי לכל שדה <math>K</math> המכיל את <math>F</math>. לרוב כותבים גם <math>L/K</math>. | ||
אם <math>K/F</math> היא הרחבת שדות, אז באופן טבעי <math>K</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>F</math>. המימד של <math>K</math> מעל <math>F</math> יסומן ב-<math>[K:F]</math>. | אם <math>K/F</math> היא הרחבת שדות, אז באופן טבעי <math>K</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>F</math>. המימד של <math>K</math> מעל <math>F</math> יסומן ב-<math>[K:F]</math> (הוא אינו חייב להיות סופי). | ||
'''טענה ("נוסחת המכפלה"):''' יהיו <math>F\subseteq K\subseteq L</math> שדות. אזי <math>[L:F]=[L:K]\cdot[K:F]</math>. | |||
'''הרעיון של ההוכחה:''' אם <math>A</math> הוא בסיס ל-<math>L</math> כמרחב וקטורי מעל <math>K</math> ו-<math>B</math> הוא בסיס ל-<math>K</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> אז הקבוצה <math>\{ab~|~a\in A, b\in B\}</math> היא בסיס ל-<math>L</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> והיא בעלת <math>[L:K][K:F]</math> איברים (זה לא טריוויאלי). | |||
'''הגדרה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. האיבר <math>a</math> נקרא אלגברי מעל <math>F</math> אם קיים פולינום <math>f(x)</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. אם לא קיים פולינום כזה, <math>a</math> נקרא טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>. | '''הגדרה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. האיבר <math>a</math> נקרא אלגברי מעל <math>F</math> אם קיים פולינום <math>f(x)</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. אם לא קיים פולינום כזה, <math>a</math> נקרא טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>. | ||
גרסה מ־14:45, 24 בנובמבר 2011
איברים אלגבריים וטרנסצנדנטיים
הגדרה: יהיה [math]\displaystyle{ F }[/math] שדה. הרחבה של [math]\displaystyle{ F }[/math] היא כינוי לכל שדה [math]\displaystyle{ K }[/math] המכיל את [math]\displaystyle{ F }[/math]. לרוב כותבים גם [math]\displaystyle{ L/K }[/math].
אם [math]\displaystyle{ K/F }[/math] היא הרחבת שדות, אז באופן טבעי [math]\displaystyle{ K }[/math] הוא מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math]. המימד של [math]\displaystyle{ K }[/math] מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] יסומן ב-[math]\displaystyle{ [K:F] }[/math] (הוא אינו חייב להיות סופי).
טענה ("נוסחת המכפלה"): יהיו [math]\displaystyle{ F\subseteq K\subseteq L }[/math] שדות. אזי [math]\displaystyle{ [L:F]=[L:K]\cdot[K:F] }[/math].
הרעיון של ההוכחה: אם [math]\displaystyle{ A }[/math] הוא בסיס ל-[math]\displaystyle{ L }[/math] כמרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ K }[/math] ו-[math]\displaystyle{ B }[/math] הוא בסיס ל-[math]\displaystyle{ K }[/math] כמרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] אז הקבוצה [math]\displaystyle{ \{ab~|~a\in A, b\in B\} }[/math] היא בסיס ל-[math]\displaystyle{ L }[/math] כמרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] והיא בעלת [math]\displaystyle{ [L:K][K:F] }[/math] איברים (זה לא טריוויאלי).
הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ K/F }[/math] הרחבת שדות ו-[math]\displaystyle{ a\in K }[/math]. האיבר [math]\displaystyle{ a }[/math] נקרא אלגברי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] אם קיים פולינום [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ f(a)=0 }[/math]. אם לא קיים פולינום כזה, [math]\displaystyle{ a }[/math] נקרא טרנסצנדנטי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math].