שדות - תכונות בסיסיות: הבדלים בין גרסאות בדף
(יצירת דף עם התוכן " == איברים אלגבריים וטרנסצנדנטיים == '''הגדרה:''' יהיה <math>F</math> שדה. הרחבה של <math>F</math> היא כינוי...") |
אין תקציר עריכה |
||
| (12 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
== הרחבות של שדות == | |||
'''הגדרה:''' יהיה <math>F</math> שדה. הרחבה של <math>F</math> היא כינוי לכל שדה <math>K</math> המכיל את <math>F</math>. לרוב כותבים גם <math>K/F</math>. באופן טבעי <math>K</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>F</math>. המימד של <math>K</math> מעל <math>F</math> יסומן ב-<math>[K:F]</math> (הוא אינו חייב להיות סופי). | |||
'''דוגמא:''' <math>\mathbb{C}/\mathbb{R}</math> היא הרחבת שדות ממימד סופי. <math>\mathbb{R}/\mathbb{Q}</math> היא הרחבת שדות ממימד אינסופי. | |||
''' | '''טענה:''' יהיו <math>F\subseteq K\subseteq L</math> שדות. אזי <math>[L:F]=[L:K]\cdot[K:F]</math>. | ||
אם <math>K/ | '''הרעיון של ההוכחה:''' אם <math>A</math> הוא בסיס ל-<math>L</math> כמרחב וקטורי מעל <math>K</math> ו-<math>B</math> הוא בסיס ל-<math>K</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> אז הקבוצה <math>\{ab~|~a\in A, b\in B\}</math> היא בסיס ל-<math>L</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> והיא בעלת <math>[L:K][K:F]</math> איברים (זה לא טריוויאלי). | ||
'''הגדרה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. האיבר <math>a</math> נקרא אלגברי מעל <math>F</math> אם קיים פולינום <math>f(x)</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. אם לא קיים פולינום כזה, <math>a</math> נקרא טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>. | '''תכונה:''' אם <math>F</math> שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של <math>F</math> הוא גם שדה. | ||
'''הגדרה:''' נניח ש-<math>L</math> שדה ו-<math>F,K</math> תת שדות של <math>L</math>. הקומפוזיטום של <math>F,K</math> הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את <math>F,K</math>. הוא יסומן ב-<math>FK</math>. | |||
== איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים == | |||
'''הגדרה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. האיבר <math>a</math> נקרא אלגברי מעל <math>F</math> אם קיים פולינום <math>f(x)\neq 0</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. אם לא קיים פולינום כזה, <math>a</math> נקרא טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>. | |||
'''דוגמא:''' <math>\sqrt{2}</math> הוא אלגברי מעל <math>\mathbb{Q}</math> כי הוא מאפס את <math>x^2-2\in\mathbb{Q}</math>. לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים <math>e,\pi</math> הם טרנסצנדנטיים מעל <math>\mathbb{Q}</math>. | |||
'''הערה:''' לא קשה להראות כי כמות המספרים המרוכבים האלגבריים מעל <math>\mathbb{Q}</math> היא בת מנייה. לכן, בהכרח קיימים ב-<math>\mathbb{C}</math> (וגם ב-<math>\mathbb{R}</math>) איברים טרנסצנדנטיים. (זו הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך שקיימים מספרים טרנצנדנטיים). | |||
'''דוגמא:''' יהיה <math>F</math> שדה ויהי <math>F(t)</math> שדה השברים של <math>F[t]</math>. קל לבדוק כי <math>t</math> טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>. למעשה, כל איבר ב-<math>F(t)\setminus F</math> הוא טרנסצנדנטי. | |||
'''הערה:''' אם <math>F\subseteq K\subseteq L</math> שדות ו-<math>a\in L</math> אלגברי מעל <math>F</math> אז הוא גם אלגברי מעל <math>K</math>. (נובע ישירות ע"י שימוש בהגדרה מכך ש-<math>F[x]\subseteq K[x]</math>.) | |||
'''הגדרה:''' הרחבת שדות <math>K/F</math> נקראת אלגברית אם כל איבר ב-<math>K</math> אלגברי מעל <math>F</math>. | |||
'''סימון:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. מסמנים <math>F[a]=\{f(a)~|~f\in F[x]\}</math>. | |||
'''טענה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. אזי <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math> אם ורק אם המימד של <math>F[a]</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> סופי. במקרה זה <math>F[a]</math> שדה. | |||
'''הוכחה:''' כוון אחד: נניח ש-<math>\dim_FF[a]=n<\infty</math>. אזי הקבוצה <math>\{1,a,a^2,\ldots,a^n\}</math> היא בגודל <math>n+1</math> ולכן תלויה לינארית מעל <math>F</math>. לכן קיימים <math>\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in F</math>, לא כולם 0, כך ש-<math>\alpha_0+\alpha_1a+\ldots+\alpha_na^n=0</math>. אם נגדיר <math>f(x)=\alpha_0+\alpha_1x+\ldots+\alpha_nx^n\in F[x]</math> אז <math>f(x)\neq 0</math> ובעצם הראינו <math>f(a)=0</math>. לכן <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math>. | |||
כוון שני: נניח שקיים <math>f(x)\neq 0</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. נסמן | |||
<math>n=\deg f</math>. מספיק להראות ש-<math>\{1,a,a^2,\ldots,a^{n-1}\}</math> קבוצה פורשת (מעל <math>F</math>) ל-<math>F[a]</math>. יהי <math>b\in F[a]</math> אזי <math>b=g(a)</math> עבור <math>g(x)\in F[x]</math> כלשהו. קיימים פולינומים <math>q(x),r(x)\in F[x]</math> כך ש-<math>g(x)=q(x)f(x)+r(x)</math> וגם <math>\deg r<\deg f=n</math>. אזי <math>g(a)=q(a)f(a)+r(a)=r(a)</math> ו-<math>r(a)\in\mathrm{span}\{1,a,\ldots,a^{n-1}\}</math> כי <math>\deg r<n</math>. | |||
כדי לראות שבמקרה זה <math>F[a]</math> שדה, נשים לב ש-<math>F[a]</math> הוא תחום שלמות ממימד סופי מעל <math>F</math> ולכן סיימנו הודות לתרגיל הבא: | |||
'''תרגיל:''' יהי <math>R</math> תחום שלמות ו-<math>F\subseteq R</math> שדה כך ש-<math>\dim_FR<\infty</math>. אזי <math>R</math> שדה. [רמז: לכל <math>r\in R</math> ההעתקה <math>x\mapsto rx</math> היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).] | |||
'''מסקנה:''' אם <math>K/F</math> הרחבת שדות ממעלה סופית (כלומר <math>[K:F]<\infty</math> היא הרחבה אלגברית. | |||
== תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו == | |||
'''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math>. הראו כי <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> שדה והמימד שלו מעל <math>F</math> סופי. הראו כי זה תת השדה הקטן ביותר המכיל את <math>F</math> ואת <math>a_1,\ldots,a_n</math>. (הערה: <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> מוגדר באופן אינדוקטיבי ע"י <math>F[a_1,\ldots,a_n]=F[a_1,\ldots,a_{n-1}][a_n]</math>. קיימות גם הגדרות שקולות אחרות.) | |||
'''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות, <math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math> ו-<math>F\subseteq K\subseteq L</math>. הוכיחו כי הקומפוזיטום של <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> ו-<math>K</math> הוא <math>K[a_1,\ldots,a_n]</math>. | |||
== איברים אלגבריים - מבט מעמיק == | |||
'''טענת עזר:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a,b\in K</math> אלגבריים. אזי <math>F[a,b]/F</math> הרחבה אלגברית. | |||
'''הוכחה:''' לפי טענה מקודם מספיק להראות ש-<math>[F[a,b]:F]<\infty</math>. מתקיים <math>[F[a,b]:F]=[F[a,b]:F[a]]\cdot [F[a]:F]</math> ולכן מספיק להראות סופיות של כל אחד מהגורמים במכפלה. לפי אותה טענה <math>[F[a]:F]<\infty</math> כי <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math>. בנוסף, <math>b</math> אלגברי מעל <math>F</math> ולכן גם מעל <math>F[a]</math>. כעת, אותה טענה גם אומרת כי <math>[F[a,b]:F[a]]<\infty</math> ולכן גמרנו. | |||
'''מסקנה:''' אם <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a,b\in F</math> אלגבריים מעל <math>F</math>, אז גם <math>ab,a+b</math> אלגבריים מעל <math>F</math>. | |||
'''תרגיל:''' בהנחות של המסקנה, אם <math>a\neq 0</math> אז גם <math>a^{-1}</math> אלגברי. | |||
'''מסקנה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות. נסמן ב-<math>A</math> את כל האיברים ב-<math>K</math> שאלגבריים מעל <math>F</math>. אזי <math>A</math> שדה. למעשה, <math>A</math> הוא תת השדה הגדול ביותר של <math>K</math> שאלגברי מעל <math>F</math>. | |||
'''דוגמא:''' לפי מה שעכשיו הראינו, אוסף האיברים האלגבריים מעל <math>\mathbb{Q}</math> ב-<math>\mathbb{C}</math> הוא שדה. (למעשה, זה הסגור האלגברי של <math>\mathbb{Q}</math>.) | |||
'''דוגמא:''' יהי <math>F</math> שדה ויהי <math>K=F(t)</math> (שדה השברים של <math>F[t]</math> = שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה <math>t</math>). אזי האיברים האלגבריים מעל <math>K</math> הם רק השדה <math>F</math>. | |||
'''טענה:''' יהיו <math>F\subseteq K\subseteq L</math> שדות כך ש-<math>K/F</math> הרחבה אלגברית. אזי איבר <math>a\in L</math> הוא אלגברי מעל <math>K</math> אם ורק אם הוא אלגברי הוא אלגברי מעל <math>F</math>. | |||
'''הוכחה:''' כוון אחד ברור מאליו -- אם <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math> אז הוא גם אלגברי מעל <math>K</math>. הכוון השני לא טריוויאלי. נניח ש-<math>a</math> אלגברי מעל <math>K</math> אזי קיים פולינום <math>0\neq f(x)\in K[x]</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. יהיו <math>b_0,b_1,b_2,\ldots,b_n\in K</math> מקדמי הפולינום <math>f</math>. היות ו-<math>K/F</math> הרחבה אלגברית, אז כל האיברים <math>b_0,b_1,\ldots,b_n</math> אלגבריים מעל <math>F</math>. לכן, לפי תרגיל מקודם, <math>K_0=F[b_0,\ldots,b_n]</math> הוא שדה ממימד סופי מעל <math>F</math>. בנוסף, <math>f(x)\in K_0[x]</math> ולכן <math>a</math> אלגברי מעל <math>K_0</math>. לפי טענה ממקודם, זה אומר ש-<math>[K_0[a]:K_0]<\infty</math>. לכן <math>[K_0[a]:F]=[K_0[a]:K_0]\cdot [K_0:F]<\infty</math>. לפי מסקנה מקודם, זה אומר שההרחבה <math>K_0[a]/F</math> אלגברית ולכן <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math>. | |||
'''הערה:''' בהוכחה היינו צריכים להגדיר את <math>K_0</math> כי לא היה נתון ש-<math>[K:F]<\infty</math>. | |||
'''מסקנה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ויהי <math>A</math> שדה האיברים ב-<math>K</math> שאלגבריים מעל <math>F</math>. יהי <math>A'</math> שדה האיברים ב-<math>K</math> שאלגבריים מעל <math>A</math>. אזי <math>A=A'</math>. | |||
== שדות סגורים אלגברית == | |||
'''הגדרה:''' שדה <math>F</math> נקרא סגור אלגברית אם לכל <math>f(x)\in F[x]</math> ממעלה 1 או יותר קיים <math>a\in F</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. (כלומר, לכל פולינום ממעלה 1 או יותר מעל <math>F</math> יש שורש ב-<math>F</math>.) | |||
'''טענה:''' יהי <math>F</math> שדה. אזי התנאים הבאים שקולים: | |||
* <math>F</math> סגור אלגברית | |||
* ל-<math>F</math> אין אף הרחבה אלגברית חוץ מ-<math>F/F</math> (ההרחבה הטריוויאלית). | |||
* כל פולינום ממעלה 1 או יותר מעל <math>F</math> מתפרק לגורמים לינאריים. | |||
'''הוכחה:''' תרגיל. | |||
'''דוגמא:''' המשפט היסודי של האלגברה אומר ששדה המספרים המרוכבים, <math>\mathbb{C}</math>, הוא סגור אלגברית. | |||
'''משפט:''' לכל <math>F</math> קיים שדה <math>K\supseteq F</math> כך ש-<math>K/F</math> הרחבה אלגברית ו-<math>K</math> סגור אלגברית. השדה <math>K</math> יחיד עד כדי איזומורפיזם של שדות. | |||
'''סימון:''' את השדה <math>K</math> מהמשפט האחרון נהוג לסמן ב-<math>\overline{F}</math>. שדה זה נקרא ה'''סגור האלגברי של <math>F</math>'''. | |||
== עוד תרגילים == | |||
'''תרגיל:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ונניח ש-<math>K</math> סגור אלגברית. יהי <math>A</math> שדה האיברים האלגבריים מעל <math>F</math> ב-<math>K</math>. הוכיחו כי <math>A</math> הוא הסגור האלגברי של <math>F</math>. | |||
'''תרגיל:''' האם <math>\mathbb{R}</math> סגור אלגברית? מדוע? | |||
'''תרגיל:''' יהי <math>F</math> שדה אינסופי. הוכיחו שהעוצמה של <math>\overline{F}</math> שווה לעוצמה של <math>F</math>. | |||
גרסה אחרונה מ־11:14, 25 בנובמבר 2011
הרחבות של שדות
הגדרה: יהיה [math]\displaystyle{ F }[/math] שדה. הרחבה של [math]\displaystyle{ F }[/math] היא כינוי לכל שדה [math]\displaystyle{ K }[/math] המכיל את [math]\displaystyle{ F }[/math]. לרוב כותבים גם [math]\displaystyle{ K/F }[/math]. באופן טבעי [math]\displaystyle{ K }[/math] הוא מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math]. המימד של [math]\displaystyle{ K }[/math] מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] יסומן ב-[math]\displaystyle{ [K:F] }[/math] (הוא אינו חייב להיות סופי).
דוגמא: [math]\displaystyle{ \mathbb{C}/\mathbb{R} }[/math] היא הרחבת שדות ממימד סופי. [math]\displaystyle{ \mathbb{R}/\mathbb{Q} }[/math] היא הרחבת שדות ממימד אינסופי.
טענה: יהיו [math]\displaystyle{ F\subseteq K\subseteq L }[/math] שדות. אזי [math]\displaystyle{ [L:F]=[L:K]\cdot[K:F] }[/math].
הרעיון של ההוכחה: אם [math]\displaystyle{ A }[/math] הוא בסיס ל-[math]\displaystyle{ L }[/math] כמרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ K }[/math] ו-[math]\displaystyle{ B }[/math] הוא בסיס ל-[math]\displaystyle{ K }[/math] כמרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] אז הקבוצה [math]\displaystyle{ \{ab~|~a\in A, b\in B\} }[/math] היא בסיס ל-[math]\displaystyle{ L }[/math] כמרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] והיא בעלת [math]\displaystyle{ [L:K][K:F] }[/math] איברים (זה לא טריוויאלי).
תכונה: אם [math]\displaystyle{ F }[/math] שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של [math]\displaystyle{ F }[/math] הוא גם שדה.
הגדרה: נניח ש-[math]\displaystyle{ L }[/math] שדה ו-[math]\displaystyle{ F,K }[/math] תת שדות של [math]\displaystyle{ L }[/math]. הקומפוזיטום של [math]\displaystyle{ F,K }[/math] הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את [math]\displaystyle{ F,K }[/math]. הוא יסומן ב-[math]\displaystyle{ FK }[/math].
איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים
הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ K/F }[/math] הרחבת שדות ו-[math]\displaystyle{ a\in K }[/math]. האיבר [math]\displaystyle{ a }[/math] נקרא אלגברי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] אם קיים פולינום [math]\displaystyle{ f(x)\neq 0 }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ f(a)=0 }[/math]. אם לא קיים פולינום כזה, [math]\displaystyle{ a }[/math] נקרא טרנסצנדנטי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math].
דוגמא: [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math] הוא אלגברי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] כי הוא מאפס את [math]\displaystyle{ x^2-2\in\mathbb{Q} }[/math]. לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים [math]\displaystyle{ e,\pi }[/math] הם טרנסצנדנטיים מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math].
הערה: לא קשה להראות כי כמות המספרים המרוכבים האלגבריים מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] היא בת מנייה. לכן, בהכרח קיימים ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] (וגם ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]) איברים טרנסצנדנטיים. (זו הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך שקיימים מספרים טרנצנדנטיים).
דוגמא: יהיה [math]\displaystyle{ F }[/math] שדה ויהי [math]\displaystyle{ F(t) }[/math] שדה השברים של [math]\displaystyle{ F[t] }[/math]. קל לבדוק כי [math]\displaystyle{ t }[/math] טרנסצנדנטי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math]. למעשה, כל איבר ב-[math]\displaystyle{ F(t)\setminus F }[/math] הוא טרנסצנדנטי.
הערה: אם [math]\displaystyle{ F\subseteq K\subseteq L }[/math] שדות ו-[math]\displaystyle{ a\in L }[/math] אלגברי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] אז הוא גם אלגברי מעל [math]\displaystyle{ K }[/math]. (נובע ישירות ע"י שימוש בהגדרה מכך ש-[math]\displaystyle{ F[x]\subseteq K[x] }[/math].)
הגדרה: הרחבת שדות [math]\displaystyle{ K/F }[/math] נקראת אלגברית אם כל איבר ב-[math]\displaystyle{ K }[/math] אלגברי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math].
סימון: תהי [math]\displaystyle{ K/F }[/math] הרחבת שדות ו-[math]\displaystyle{ a\in K }[/math]. מסמנים [math]\displaystyle{ F[a]=\{f(a)~|~f\in F[x]\} }[/math].
טענה: תהי [math]\displaystyle{ K/F }[/math] הרחבת שדות ו-[math]\displaystyle{ a\in K }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a }[/math] אלגברי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] אם ורק אם המימד של [math]\displaystyle{ F[a] }[/math] כמרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] סופי. במקרה זה [math]\displaystyle{ F[a] }[/math] שדה.
הוכחה: כוון אחד: נניח ש-[math]\displaystyle{ \dim_FF[a]=n\lt \infty }[/math]. אזי הקבוצה [math]\displaystyle{ \{1,a,a^2,\ldots,a^n\} }[/math] היא בגודל [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] ולכן תלויה לינארית מעל [math]\displaystyle{ F }[/math]. לכן קיימים [math]\displaystyle{ \alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in F }[/math], לא כולם 0, כך ש-[math]\displaystyle{ \alpha_0+\alpha_1a+\ldots+\alpha_na^n=0 }[/math]. אם נגדיר [math]\displaystyle{ f(x)=\alpha_0+\alpha_1x+\ldots+\alpha_nx^n\in F[x] }[/math] אז [math]\displaystyle{ f(x)\neq 0 }[/math] ובעצם הראינו [math]\displaystyle{ f(a)=0 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ a }[/math] אלגברי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math].
כוון שני: נניח שקיים [math]\displaystyle{ f(x)\neq 0 }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ f(a)=0 }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ n=\deg f }[/math]. מספיק להראות ש-[math]\displaystyle{ \{1,a,a^2,\ldots,a^{n-1}\} }[/math] קבוצה פורשת (מעל [math]\displaystyle{ F }[/math]) ל-[math]\displaystyle{ F[a] }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ b\in F[a] }[/math] אזי [math]\displaystyle{ b=g(a) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ g(x)\in F[x] }[/math] כלשהו. קיימים פולינומים [math]\displaystyle{ q(x),r(x)\in F[x] }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ g(x)=q(x)f(x)+r(x) }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \deg r\lt \deg f=n }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ g(a)=q(a)f(a)+r(a)=r(a) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ r(a)\in\mathrm{span}\{1,a,\ldots,a^{n-1}\} }[/math] כי [math]\displaystyle{ \deg r\lt n }[/math].
כדי לראות שבמקרה זה [math]\displaystyle{ F[a] }[/math] שדה, נשים לב ש-[math]\displaystyle{ F[a] }[/math] הוא תחום שלמות ממימד סופי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] ולכן סיימנו הודות לתרגיל הבא:
תרגיל: יהי [math]\displaystyle{ R }[/math] תחום שלמות ו-[math]\displaystyle{ F\subseteq R }[/math] שדה כך ש-[math]\displaystyle{ \dim_FR\lt \infty }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ R }[/math] שדה. [רמז: לכל [math]\displaystyle{ r\in R }[/math] ההעתקה [math]\displaystyle{ x\mapsto rx }[/math] היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).]
מסקנה: אם [math]\displaystyle{ K/F }[/math] הרחבת שדות ממעלה סופית (כלומר [math]\displaystyle{ [K:F]\lt \infty }[/math] היא הרחבה אלגברית.
תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו
תרגיל: תהי [math]\displaystyle{ L/F }[/math] הרחבת שדות ו-[math]\displaystyle{ a_1,\ldots,a_n\in L }[/math] אלגבריים מעל [math]\displaystyle{ F }[/math]. הראו כי [math]\displaystyle{ F[a_1,\ldots,a_n] }[/math] שדה והמימד שלו מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] סופי. הראו כי זה תת השדה הקטן ביותר המכיל את [math]\displaystyle{ F }[/math] ואת [math]\displaystyle{ a_1,\ldots,a_n }[/math]. (הערה: [math]\displaystyle{ F[a_1,\ldots,a_n] }[/math] מוגדר באופן אינדוקטיבי ע"י [math]\displaystyle{ F[a_1,\ldots,a_n]=F[a_1,\ldots,a_{n-1}][a_n] }[/math]. קיימות גם הגדרות שקולות אחרות.)
תרגיל: תהי [math]\displaystyle{ L/F }[/math] הרחבת שדות, [math]\displaystyle{ a_1,\ldots,a_n\in L }[/math] אלגבריים מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] ו-[math]\displaystyle{ F\subseteq K\subseteq L }[/math]. הוכיחו כי הקומפוזיטום של [math]\displaystyle{ F[a_1,\ldots,a_n] }[/math] ו-[math]\displaystyle{ K }[/math] הוא [math]\displaystyle{ K[a_1,\ldots,a_n] }[/math].
איברים אלגבריים - מבט מעמיק
טענת עזר: תהי [math]\displaystyle{ K/F }[/math] הרחבת שדות ו-[math]\displaystyle{ a,b\in K }[/math] אלגבריים. אזי [math]\displaystyle{ F[a,b]/F }[/math] הרחבה אלגברית.
הוכחה: לפי טענה מקודם מספיק להראות ש-[math]\displaystyle{ [F[a,b]:F]\lt \infty }[/math]. מתקיים [math]\displaystyle{ [F[a,b]:F]=[F[a,b]:F[a]]\cdot [F[a]:F] }[/math] ולכן מספיק להראות סופיות של כל אחד מהגורמים במכפלה. לפי אותה טענה [math]\displaystyle{ [F[a]:F]\lt \infty }[/math] כי [math]\displaystyle{ a }[/math] אלגברי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math]. בנוסף, [math]\displaystyle{ b }[/math] אלגברי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] ולכן גם מעל [math]\displaystyle{ F[a] }[/math]. כעת, אותה טענה גם אומרת כי [math]\displaystyle{ [F[a,b]:F[a]]\lt \infty }[/math] ולכן גמרנו.
מסקנה: אם [math]\displaystyle{ K/F }[/math] הרחבת שדות ו-[math]\displaystyle{ a,b\in F }[/math] אלגבריים מעל [math]\displaystyle{ F }[/math], אז גם [math]\displaystyle{ ab,a+b }[/math] אלגבריים מעל [math]\displaystyle{ F }[/math].
תרגיל: בהנחות של המסקנה, אם [math]\displaystyle{ a\neq 0 }[/math] אז גם [math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math] אלגברי.
מסקנה: תהי [math]\displaystyle{ K/F }[/math] הרחבת שדות. נסמן ב-[math]\displaystyle{ A }[/math] את כל האיברים ב-[math]\displaystyle{ K }[/math] שאלגבריים מעל [math]\displaystyle{ F }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ A }[/math] שדה. למעשה, [math]\displaystyle{ A }[/math] הוא תת השדה הגדול ביותר של [math]\displaystyle{ K }[/math] שאלגברי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math].
דוגמא: לפי מה שעכשיו הראינו, אוסף האיברים האלגבריים מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] הוא שדה. (למעשה, זה הסגור האלגברי של [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math].)
דוגמא: יהי [math]\displaystyle{ F }[/math] שדה ויהי [math]\displaystyle{ K=F(t) }[/math] (שדה השברים של [math]\displaystyle{ F[t] }[/math] = שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה [math]\displaystyle{ t }[/math]). אזי האיברים האלגבריים מעל [math]\displaystyle{ K }[/math] הם רק השדה [math]\displaystyle{ F }[/math].
טענה: יהיו [math]\displaystyle{ F\subseteq K\subseteq L }[/math] שדות כך ש-[math]\displaystyle{ K/F }[/math] הרחבה אלגברית. אזי איבר [math]\displaystyle{ a\in L }[/math] הוא אלגברי מעל [math]\displaystyle{ K }[/math] אם ורק אם הוא אלגברי הוא אלגברי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math].
הוכחה: כוון אחד ברור מאליו -- אם [math]\displaystyle{ a }[/math] אלגברי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] אז הוא גם אלגברי מעל [math]\displaystyle{ K }[/math]. הכוון השני לא טריוויאלי. נניח ש-[math]\displaystyle{ a }[/math] אלגברי מעל [math]\displaystyle{ K }[/math] אזי קיים פולינום [math]\displaystyle{ 0\neq f(x)\in K[x] }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ f(a)=0 }[/math]. יהיו [math]\displaystyle{ b_0,b_1,b_2,\ldots,b_n\in K }[/math] מקדמי הפולינום [math]\displaystyle{ f }[/math]. היות ו-[math]\displaystyle{ K/F }[/math] הרחבה אלגברית, אז כל האיברים [math]\displaystyle{ b_0,b_1,\ldots,b_n }[/math] אלגבריים מעל [math]\displaystyle{ F }[/math]. לכן, לפי תרגיל מקודם, [math]\displaystyle{ K_0=F[b_0,\ldots,b_n] }[/math] הוא שדה ממימד סופי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math]. בנוסף, [math]\displaystyle{ f(x)\in K_0[x] }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ a }[/math] אלגברי מעל [math]\displaystyle{ K_0 }[/math]. לפי טענה ממקודם, זה אומר ש-[math]\displaystyle{ [K_0[a]:K_0]\lt \infty }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ [K_0[a]:F]=[K_0[a]:K_0]\cdot [K_0:F]\lt \infty }[/math]. לפי מסקנה מקודם, זה אומר שההרחבה [math]\displaystyle{ K_0[a]/F }[/math] אלגברית ולכן [math]\displaystyle{ a }[/math] אלגברי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math].
הערה: בהוכחה היינו צריכים להגדיר את [math]\displaystyle{ K_0 }[/math] כי לא היה נתון ש-[math]\displaystyle{ [K:F]\lt \infty }[/math].
מסקנה: תהי [math]\displaystyle{ K/F }[/math] הרחבת שדות ויהי [math]\displaystyle{ A }[/math] שדה האיברים ב-[math]\displaystyle{ K }[/math] שאלגבריים מעל [math]\displaystyle{ F }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ A' }[/math] שדה האיברים ב-[math]\displaystyle{ K }[/math] שאלגבריים מעל [math]\displaystyle{ A }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ A=A' }[/math].
שדות סגורים אלגברית
הגדרה: שדה [math]\displaystyle{ F }[/math] נקרא סגור אלגברית אם לכל [math]\displaystyle{ f(x)\in F[x] }[/math] ממעלה 1 או יותר קיים [math]\displaystyle{ a\in F }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ f(a)=0 }[/math]. (כלומר, לכל פולינום ממעלה 1 או יותר מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] יש שורש ב-[math]\displaystyle{ F }[/math].)
טענה: יהי [math]\displaystyle{ F }[/math] שדה. אזי התנאים הבאים שקולים:
- [math]\displaystyle{ F }[/math] סגור אלגברית
- ל-[math]\displaystyle{ F }[/math] אין אף הרחבה אלגברית חוץ מ-[math]\displaystyle{ F/F }[/math] (ההרחבה הטריוויאלית).
- כל פולינום ממעלה 1 או יותר מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] מתפרק לגורמים לינאריים.
הוכחה: תרגיל.
דוגמא: המשפט היסודי של האלגברה אומר ששדה המספרים המרוכבים, [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math], הוא סגור אלגברית.
משפט: לכל [math]\displaystyle{ F }[/math] קיים שדה [math]\displaystyle{ K\supseteq F }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ K/F }[/math] הרחבה אלגברית ו-[math]\displaystyle{ K }[/math] סגור אלגברית. השדה [math]\displaystyle{ K }[/math] יחיד עד כדי איזומורפיזם של שדות.
סימון: את השדה [math]\displaystyle{ K }[/math] מהמשפט האחרון נהוג לסמן ב-[math]\displaystyle{ \overline{F} }[/math]. שדה זה נקרא הסגור האלגברי של [math]\displaystyle{ F }[/math].
עוד תרגילים
תרגיל: תהי [math]\displaystyle{ K/F }[/math] הרחבת שדות ונניח ש-[math]\displaystyle{ K }[/math] סגור אלגברית. יהי [math]\displaystyle{ A }[/math] שדה האיברים האלגבריים מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] ב-[math]\displaystyle{ K }[/math]. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ A }[/math] הוא הסגור האלגברי של [math]\displaystyle{ F }[/math].
תרגיל: האם [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] סגור אלגברית? מדוע?
תרגיל: יהי [math]\displaystyle{ F }[/math] שדה אינסופי. הוכיחו שהעוצמה של [math]\displaystyle{ \overline{F} }[/math] שווה לעוצמה של [math]\displaystyle{ F }[/math].