הבדלים בין גרסאות בדף "תשסד,סמסטר ב, מועד ב, שאלה 11"
(יצירת דף עם התוכן "השאלה: תהי <math>A \in M_n(C)</math> המטר' הבאה: <math>A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & ... & 0 & 1\\ 1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & 1 & ... & 0 & 0\\ ... & ...") |
|||
שורה 8: | שורה 8: | ||
\end{pmatrix}</math> | \end{pmatrix}</math> | ||
מצא את צורת הז'ורדן שלה. | מצא את צורת הז'ורדן שלה. | ||
+ | |||
מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2004_2_2_1.pdf] | מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2004_2_2_1.pdf] | ||
גרסה מ־17:27, 17 בדצמבר 2011
השאלה: תהי המטר' הבאה: מצא את צורת הז'ורדן שלה.
מקור: [1]
פתרון: דבר ראשון נמצא ע"ע (ואז נראה שהתרגיל ממש קל) ע"י חישוב הפולינום האופייני נפתח דטרמיננטה לפי העמודה הראשונה:
כאשר שתי הדטרמיננטות הנ"ל הן של מטריצות מגודל ... הדטר' הראשונה היא של מטר' משולשית ושווה בדיוק לדטר' השנייה נעשה פיתוח לפי השורה הראשונה:
ולמזלנו קיבלנו מטר' משולשית שבאלכסונה 1-, ולכן (מכיוון שהגודל שלה הוא n-2) הדטר' שלה הוא: עכשיו נציב את כל מה שחישבנו בחישוב של הדטר' המקורית:
וקיבלנו שהפולינום האופייני של A הוא לפולינום זה אנחנו יודעים שיש n שורשים מרוכבים(ז"א n ע"ע של A), ומכיוון ש הריבוי האלגברי של כל אחד מהע"ע הללו [שורשי היחידה] הוא 1, ומכיוון שכל הגורמים הלינאריים של הפולינום האופייני מופיעים בפולינום המינימלי עם דרגה שקטנה מהדרגה בפולינום האופייני, הפולינום המינימלי של A זהה לפולינום האופייני שלה. כמו כן הריבוי הגיאומטרי של ע"ע, קטן מהריבוי האלגברי ולכן במקרה שלנו שווה ל 1.
בצורת ז'ורדן של מטר' הבלוק הגדול ביותר של ע"ע הוא החזקה של בפולינום המינימלי, ומספר הבלוקים שבאלכסונם שווה לריבוי הגיאמורי של .
שני הערכים הנ"ל במקרה שלנו שווים ל 1, ולכן צורת ז'ורדן של A היא מטר' בלוקים-אלכסונית עם בלוקים מגודל 1 (כל בלוק פעם אחת בלבד), ז"א שעל האלכסון שלה מופיעים כל הע"ע של A בדיוק פעם אחת. [ז"א ש A לכסינה]
אם נהיה יותר ספיציפים: יהיו שורשי היחידה מסדר n, אז צורת ז'ורדן של A היא: (כפי שלמדנו, סדר הבלוקים לא משנה)
הערה: החישוב שביצענו על מנת למצוא את הפולינום האופייני של A לא תקף עבור n=1,2 ולכן במקרים אלו צריך חישוב מיוחד שאכן נותן את הפולינומים בהתאמה, מה שמתאים להמשך הפתרון.