פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מועד א, שאלה 5

[math]\displaystyle{ p_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2) }[/math]

הפ"מ מחלק את הפ"א, ולכן ישנן 9 אפשרויות עבור הפ"מ (באופן כללי - מס' הפ"מ האפשריים הוא כפל כל המעריכים שבפ"א - קומבינטוריקה פשוטה). מדובר בבדיקה מייגעת ולא מתוחכמת, אבל כנראה שאין ברירה -- נבדוק את כל האפשרויות.

נזכור ראשית שהחזקה של הגורם [math]\displaystyle{ \ x-2 }[/math] בפולינום המינימלי של A = גודל הבלוק הגדול ביותר המתאים לע"ע 2 בצורת ז'ורדן של המטריצה = 1; לכן מופיע בלוק ז'ורדן של 2 מסדר 1. אבל הריבוי האלגברי של הע"ע 2 בפולינום האופייני = סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- 2 בצורת ז'ורדן=1, ולכן בכל צורות ז'ורדן האפשריות יש בדיוק בלוק אחד שמתאים ל-2, והוא מסדר 1.

1) עבור פ"מ [math]\displaystyle{ M_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2)=p_A(x) }[/math], צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.

2) עבור פ"מ [math]\displaystyle{ M_A(x)=x^{3}(x-1)^{2}(x-2) }[/math], צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.

3) עבור פ"מ [math]\displaystyle{ M_A(x)=x^{2}(x-1)^{3}(x-2) }[/math], צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.

4) עבור פ"מ [math]\displaystyle{ M_A(x)=x^{2}(x-1)^{2}(x-2) }[/math], צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.

5) עבור פ"מ [math]\displaystyle{ M_A(x)=x^{2}(x-1)(x-2) }[/math], ישנן 2 אפשרויות לצורות ז'ורדן: השוני ביניהן הוא בבלוקים המתאימים לע"ע 1.

6) עבור פ"מ [math]\displaystyle{ M_A(x)=x(x-1)^{2}(x-2) }[/math], ישנן 2 אפשרויות לצורות ז'ורדן: השוני ביניהן הוא בבלוקים המתאימים לע"ע 0. בכך ענינו על סעיף ב'.

7) עבור פ"מ [math]\displaystyle{ M_A(x)=x^{3}(x-1)(x-2) }[/math], צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.

8) עבור פ"מ [math]\displaystyle{ M_A(x)=x(x-1)^{3}(x-2) }[/math], צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.

9) לבסוף, עבור הפ"מ [math]\displaystyle{ M_A(x)=x(x-1)(x-2) }[/math], צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד, שכן כל הבלוקים הם מסדר 1, והרי המספר של הבלוקים המתאימים לכל ע"ע נקבע חד-משמעית ע"י הפ"א.

נותר רק לסכם את המספרים שקיבלנו (ולהוסיף פירוט אם המרצים יבקשו, אבל זה באמת תהליך רפטטיבי), ולקבל [math]\displaystyle{ 7+2*2=11 }[/math] צורות ז'ורדן אפשריות!