פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5

אלו מבין המטריצות הבאות דומות?

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 2 &8 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2 &0 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 2 &4 \\ 4 &2 \end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix} }[/math]

אנו יודעים כי מטריצות בעלות צורת ג'ורדן תיקון:(עמנואל, הסתכלו על ההיסטוריה כדי לראות הגרסה הקודמת) זהה (עד כדי שינוי סדר הבלוקים) הינן דומות, לכן נחשב את מטריצות הגו'רדן של המטריצות הנ"ל.

נתחיל במטריצה הקלה ביותר, [math]\displaystyle{ D }[/math]. היא אלכסונית, ולכן [math]\displaystyle{ P_{D}(x)=(x+2)(x-6) }[/math] וקל לראות כי גם [math]\displaystyle{ M_{D}(x)=(x+2)(x-6) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ J_{D}=\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix} }[/math]

נחשב את צורת הג'ורדן של[math]\displaystyle{ A }[/math]: [math]\displaystyle{ P_{A}(x)=\begin{vmatrix} x-2 &8 \\ 2 &x-2 \end{vmatrix}=(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2) }[/math] ונקבל כי גם [math]\displaystyle{ M_{A}(x)=(x+2)(x-6) }[/math] ולכן גם [math]\displaystyle{ J_{A}=\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix} }[/math]

נחשב את צורת הגו'רדן של[math]\displaystyle{ B }[/math]: [math]\displaystyle{ P_{B}(x)=\begin{vmatrix} x-2 &0 \\ 2 &x-2 \end{vmatrix}=(x-2)^{2}-0=(x-2)^{2} }[/math] כעת צריך לחשב את הפולינום המינימלי של [math]\displaystyle{ B }[/math]. קל לראות כי [math]\displaystyle{ M_{B}(x)=(x-2)^{2} }[/math] (שכן [math]\displaystyle{ (B-2I)\neq 0 }[/math] ) ולכן [math]\displaystyle{ J_{B}=\begin{pmatrix} 2 &1 \\ 0 &2 \end{pmatrix} }[/math]

וכעת נחשב את צורת הג'ורדן של [math]\displaystyle{ C }[/math] : [math]\displaystyle{ P_{C}(x)=\begin{vmatrix} x-2 &4 \\ 4 &x-2 \end{vmatrix}=(x-2)^{2}-16=x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2) }[/math] ולכן גם [math]\displaystyle{ M_{B}(x)=(x+2)(x-6) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ J_{B}=\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix} }[/math]

ובסה"כ קבלנו כי[math]\displaystyle{ A\sim C\sim D }[/math] ו [math]\displaystyle{ B }[/math] אינה דומה לאף מטריצה מבניהם.