פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מועד א, שאלה 5: הבדלים בין גרסאות בדף
מאין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 11: | שורה 11: | ||
כעת, עבור כל פ"מ, נמקם ראשית את <math>J_1(2)</math> בצורת הז'ורדן, ואז נוכל להתעלם מהע"ע 2, ונשים בכל פעם את הבלוקים שחייבים להופיע לפי החזקה המתאימה בפ"מ, ונראה כמה חופש בחירה נותר לנו. | כעת, עבור כל פ"מ, נמקם ראשית את <math>J_1(2)</math> בצורת הז'ורדן, ואז נוכל להתעלם מהע"ע 2, שכן <math>J_1(2)</math> חייב להיות המופע היחיד של הע"ע 2 בצורת ז'ורדן (כי סכום גדלי הבלוקים המתאימים לע"ע 2 צריך להיות 1=המעריך המתאים בפ"א), ונשים בכל פעם את הבלוקים שחייבים להופיע לפי החזקה המתאימה בפ"מ, ונראה כמה חופש בחירה נותר לנו. | ||
גרסה מ־19:08, 26 בדצמבר 2011
[math]\displaystyle{ p_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2) }[/math]
הפ"מ מחלק את הפ"א, ולכן ישנן 9 אפשרויות עבור הפ"מ (באופן כללי - מס' הפ"מ האפשריים בהינתן פ"א הוא כפל כל המעריכים שבפ"א - קומבינטוריקה פשוטה). מדובר בבדיקה מייגעת ולא מתוחכמת, אבל כנראה שאין ברירה -- נבדוק את כל האפשרויות.
נזכור ראשית שהחזקה של הגורם [math]\displaystyle{ \ x-2 }[/math] בפולינום המינימלי של A = גודל הבלוק הגדול ביותר המתאים לע"ע 2 בצורת ז'ורדן של המטריצה = 1; לכן מופיע בלוק ז'ורדן של 2 מסדר 1. אבל הריבוי האלגברי של הע"ע 2 בפולינום האופייני = סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- 2 בצורת ז'ורדן=1, ולכן בכל צורות ז'ורדן האפשריות יש בדיוק בלוק אחד שמתאים ל-2, והוא מסדר 1.
באופן דומה הריבוי האלגברי של הע"ע 0 בפולינום האופייני = סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- 0 בצורת ז'ורדן=3, ו- הריבוי האלגברי של הע"ע 3 בפולינום האופייני = סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- 3 בצורת ז'ורדן=3.
כעת, עבור כל פ"מ, נמקם ראשית את [math]\displaystyle{ J_1(2) }[/math] בצורת הז'ורדן, ואז נוכל להתעלם מהע"ע 2, שכן [math]\displaystyle{ J_1(2) }[/math] חייב להיות המופע היחיד של הע"ע 2 בצורת ז'ורדן (כי סכום גדלי הבלוקים המתאימים לע"ע 2 צריך להיות 1=המעריך המתאים בפ"א), ונשים בכל פעם את הבלוקים שחייבים להופיע לפי החזקה המתאימה בפ"מ, ונראה כמה חופש בחירה נותר לנו.
1) עבור פ"מ [math]\displaystyle{ M_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2)=p_A(x) }[/math], צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
הרי אנו יודעים שבצורת ז'ורדן חייב להופיע בלוק המתאים לע"ע i, מסדר השווה לחזקה שלו בפ"מ - ונקבל שהמטר' שקיבלנו היא כבר מסדר [math]\displaystyle{ 7\times7 }[/math], ולכן היא צורת ז'ורדן.
2) עבור פ"מ [math]\displaystyle{ M_A(x)=x^{3}(x-1)^{2}(x-2) }[/math], צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
3) עבור פ"מ [math]\displaystyle{ M_A(x)=x^{2}(x-1)^{3}(x-2) }[/math], צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
4) עבור פ"מ [math]\displaystyle{ M_A(x)=x^{2}(x-1)^{2}(x-2) }[/math], צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
5) עבור פ"מ [math]\displaystyle{ M_A(x)=x^{2}(x-1)(x-2) }[/math], ישנן 2 אפשרויות לצורות ז'ורדן: השוני ביניהן הוא בבלוקים המתאימים לע"ע 1.
6) עבור פ"מ [math]\displaystyle{ M_A(x)=x(x-1)^{2}(x-2) }[/math], ישנן 2 אפשרויות לצורות ז'ורדן: השוני ביניהן הוא בבלוקים המתאימים לע"ע 0.
בכך ענינו על סעיף ב'.
7) עבור פ"מ [math]\displaystyle{ M_A(x)=x^{3}(x-1)(x-2) }[/math], צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
8) עבור פ"מ [math]\displaystyle{ M_A(x)=x(x-1)^{3}(x-2) }[/math], צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד.
9) לבסוף, עבור הפ"מ [math]\displaystyle{ M_A(x)=x(x-1)(x-2) }[/math], צורת ז'ורדן נקבעת באופן יחיד, שכן כל הבלוקים הם מסדר 1, והרי המספר של הבלוקים המתאימים לכל ע"ע נקבע חד-משמעית ע"י הפ"א.
נותר רק לסכם את המספרים שקיבלנו (ולהוסיף פירוט אם המרצים יבקשו, אבל זה באמת תהליך רפטטיבי), ולקבל
[math]\displaystyle{ 7+2*2=11 }[/math] צורות ז'ורדן אפשריות!
למרצים: השאלה במבחן הדוגמא המתאים לאותה השנה זהה לחלוטין עד כדי מספרים שונים. האם צריך לפתור גם אותה?
הערה: בפתרון הנחתי שצורת ז'ורדן שמתקבלת מסדר שונה של הבלוקים באלכסון היא זהה. (זה בסדר כי הן דומות; אם רוצים דווקא להחשיב אותן בנפרד, צריך להכפיל את האפשרויות שבכל מקרה ב(עצרת של (מס' הבלוקים שבצורת ז'ורדן)))